作业12 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

1.五点法作正弦型函数的图象 令X=ωx+φ,则将X分别取0,,π,,2π并求出对应的x值,列表如下: x - X=ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.函数y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 函数y=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0)的图象可以由y=sin x的图象通过“相位变换→周期变换→振幅变换”或“周期变换→相位变换→振幅变换”得到,具体变换方法如下所示. 3.函数y=Asin(ωx+φ)的性质 函数 y=Asin (ωx+φ) 定义域 R 值域 [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时,将ωx+φ视为整体,代入y=sin x相应的单调区间求解;当A<0或ω<0时,注意单调性的变化 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数, 当φ=kπ±(k∈Z)时为偶函数 周期性 T= 图象的 对称性 将ωx+φ视为整体,代入函数y=sin x图象相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解 　　【例题】　已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是 (　　)　　 A.[,] B.[,] C.(0,] D.(0,2] 【思路点拨】　先根据正弦函数y=sin x的单调递减区间,确定函数f(x)的单调递减区间,再根据函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间(,π)上单调递减,建立不等式组,即可求出ω的取值范围. 【解析】　令2kπ+≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为[+,+],k∈Z,又f(x)在(,π)上单调递减,所以k∈Z,所以k∈Z,又ω>0,∴当k=0时,解得≤ω≤,当k≠0时,不等式组无解.综上,ω的取值范围是[,]. 【解题通法】　1.函数y=Asin(ωx+φ)在其单调区间的子区间上也单调. 2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间求ω或φ,一般将ωx+φ代入y=sin x的相应单调区间所对应的不等式组,求出x的范围,结合已知的单调区间建立关于ω或φ的不等式(组)求解. 3.利用正弦型函数的周期与单调性的关系,即“正弦型函数的一个单调递增(减)区间的长度最大是周期的一半”也可解题. 一、选择题 1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点 (　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移π个单位长度 D.向右平移π个单位长度 2.(多选)下列四种变换方式中,能将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin(2x+)的图象的是 (　　) A.向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 C.将每个点的横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位长度 D.将每个点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度 3.若函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ等于 (　　) A.0 B. C. D.π 4.函数f(x)=sin(x+)图象的一条对称轴方程为 (　　) A.x=- B.x= C.x= D.x=π 5.函数y=2sin(x+),x∈[-π,0]的单调递减区间是 (　　) A.[-,-] B.[-π,-] C.[-,0] D.[-,0] 6.若函数f(x)=sin(x-)在区间[π,α]上的最小值为-1,则α的最小值为 (　　) A. B. C.2π D.- 7.(多选)如图所示是函数y=sin (ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= (　　) A.sin(x+) B.sin(-2x) C.cos(2x+) D.cos(-2x) 8.已知函数f(x)=sin(2x+)在区间[0,a](其中a>0)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|0<a≤} B.{a|0<a≤} C.{a|a=kπ+,k∈N+} D.{a|2kπ<a≤2kπ+,k∈N+} 二、填空题 9.把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为　　　　　　　　,其对称轴方程为 　.  10.将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位,若所得图象过点(,),则φ的最小值为　　　　.  三、解答题 11.函数y=5sin (2x+)+1的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 12.已知函数f(x)=2sin(2x+)+2. (1)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若对任意的x∈[,],不等式f(x)>m-3恒成立,求实数m的取值范围. 作业12　函数y=Asin(ωx+φ)的 图象与性质 1.A　解析:由图象平移的规律“左加右减”,可知选A. 2.AD　解析:由A,D中的变换方式可以实现将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin(2x+)的图象; 由B中的变换方式可以实现将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin(2x-)的图象,故不满足要求; 由C中的变换方式可以实现将函数y=sin x的图象变换成函数y=sin(2x-)的图象,故不满足要求. 3.C　方法一　因为函数y=sin x的图象的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z, 所以函数y=sin(x+φ)的图象的对称轴方程应满足x+φ=+kπ,k∈Z. 又函数y=sin(x+φ)是偶函数, 所以直线x=0是其图象的一条对称轴, 所以φ=+kπ,k∈Z, 又0≤φ≤π,所以φ=, 方法二　若函数f(x)为偶函数,则f(0)=1或f(0)=-1,即sin φ=1或sin φ=-1, 又0≤φ≤π,所以φ=. 4.B　解析:对于函数f(x)=sin(x+),由x+=kπ+,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,令k=0,得x=,可得函数f(x)=sin(x+)的图象的一条对称轴方程为x=,故选B. 5.B　解析:对于函数f(x)=2sin(x+),令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,故函数的单调减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.又x∈[-π,0],所以原函数的单调递减区间为[-π,-],故选B. 6.A　解析:对于函数f(x)=sin(x-),令2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),当k=0时,f(x)在[,]上单调递减,当x=时,f()=-1.又f(x)在[π,α]上的最小值为-1,所以α的最小值为.故选A. 7.BC　解析:由函数图象可知,=-=,则ω===2,所以A错误; 当x==时,y=-1, 所以2×+φ=+2kπ(k∈Z), 故φ=2kπ+(k∈Z), 即函数的解析式为y=sin(2x++2kπ)=sin(2x++)=cos(2x+)=sin(-2x). 而cos(2x+)=-cos(-2x), 故B,C正确,D错误. 8.A　解析:由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 取k=0,得-≤x≤, 则函数f(x)=sin(2x+)的一个增区间为[-,]. ∵函数f(x)=sin(2x+)在区间[0,a](其中a>0)上单调递增,∴0<a≤. 9.y=sin 4x　x=+(k∈Z)　解析:将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin[2(x-)+]=sin 2x的图象,将y=sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的,得到图象对应的函数解析式为y=sin 4x.令4x=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以所得图象的对称轴方程为x=+(k∈Z). 10.　解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位,得y=sin[2(x+φ)]的图象,所以sin[2(+φ)]=,所以2(+φ)=+2kπ或+2kπ,k∈Z,得φ=kπ或+kπ,k∈Z.又φ>0,所以φ的最小值为. 11.解:方法一　将函数y=sin x的图象依次进行如下变换: (1)函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象. (2)把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象. (3)把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变),得到函数y=5sin(2x+)的图象. (4)把得到的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=5sin(2x+)+1的图象. 经过上述变换,就得到函数y=5sin(2x+)+1的图象. 方法二　将函数y=sin x的图象依次进行如下变换: (1)把函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin2x的图象. (2)把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)的图象. (3)把得到的图象上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变),得到函数y=5sin(2x+)的图象. (4)把得到的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=5sin(2x+)+1的图象. 经过上述变换,就得到函数y=5sin(2x+)+1的图象. 12.解:(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),则 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), ∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). 故分别取k=0,1,可得当x∈[0,π]时,函数f(x)的单调递增区间为[0,]和[,π]. (2)对任意的x∈[,],有≤2x+≤, -≤sin(2x+)≤,∴1≤f(x)≤2+, ∴要使f(x)>m-3恒成立,只需函数f(x)的最小值大于m-3, ∴m-3<1,解得m<4. 故所求实数m的取值范围为(-∞,4). 学科网（北京）股份有限公司 $