作业11 三角函数的图象与性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

　　【例题】　(1)已知x∈[-,],求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x的值. (2)求函数y=tan(+),x∈[0,π]且x≠的值域. 【思路点拨】　(1)先化为关于tan x的二次函数,再求解;(2)采用整体代换法,利用y=tan x的图象求解. 【解析】　(1)y=+2tan x+1=+2tan x+1=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1. 因为x∈[-,],所以tan x∈[-,1]. 故当tan x=-1,即x=-时,y取得最小值1;当tan x=1,即x=时,y取得最大值5. (2)因为x∈[0,)∪(,π], 所以+∈[,)∪(,]. 令t=+,由y=tan t,t∈[,)∪(,]的图象(如图所示)可得,函数y=tan(+),x∈[0,)∪(,π]的值域为(-∞,-]∪[,+∞). 【解题通法】　 与正切函数相关的值域(最值)问题的求法 已知角的范围,求正切函数的值域时,若角的范围在一个单调区间内,可直接运用正切函数的单调性得到正切函数的值域;若角的范围不在一个单调区间内,则要结合函数图象求正切函数的值域. 一、选择题　　 1.函数y=tan(x+)的定义域是 (　　) A.{x|x≠kπ+,k∈Z} B.{x|x≠kπ-,k∈Z} C.{x|x≠2kπ+,k∈Z} D.{x|x≠2kπ-,k∈Z} 2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是 (　　) 3.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象 (　　) A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.若函数y=sin x和y=cos x在区间D上都是增函数,则区间D可以是 (　　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) 5.已知m是函数f(x)=cos x图象的一个对称中心的横坐标,则f(m)= (　　) A.-1 B.0 C. D.1 6.方程sin x=lg x的实根有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 7.(多选)已知函数f(x)=cos(x+),则 (　　) A.2π为f(x)的一个周期 B.f(x)在[0,]上的最大值为1 C.f(x)在(,π)上单调递减 D.f(x+π)的一个零点为 8.(多选)已知函数f(x)= sin x-|sin x|,下列结论正确的有 (　　) A.函数f(x)是奇函数 B.函数f(x)是以2π为周期的函数 C.函数f(x)的最小值为-2 D.函数f(x)的图象关于直线x=kπ+,k∈Z对称 二、填空题 9.f(x)=tan(x+)的最小正周期为　　　　　　.  10.已知函数f(x)是定义域为R的周期函数,其最小正周期为2,且当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,则f(3)=　　　　.  三、解答题 11.画出函数y=|cos x|,x∈R的简图,并根据图形求其值域、奇偶性、周期及单调区间. 12.求函数y=tan(3x-)的定义域、值域,并判断它的奇偶性和单调性. 作业11　三角函数的图象与性质 1.A　解析:易知x+≠+kπ,k∈Z,∴x≠+kπ,k∈Z.故函数的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}. 2.B　解析:利用五点法代入验证可得选项B正确. 3.C　解析:因为函数y=cos(2x+1)=cos2(x+),所以要得到函数y=cos (2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位即可. 4.D　解析:方法一　函数y=sin x和y=cos x在区间D上都是增函数,则区间D为(2kπ+,2kπ+2π),k∈Z,当k=0时即为选项D. 方法二　在(0,)上两个函数单调性相反,在(,π)上两个函数单调递减,在(π,)上两个函数单调性相反.故选D. 5.B　解析:函数f(x)=cos x图象的对称中心的横坐标为x=+kπ,k∈Z,则m=+kπ,k∈Z,从而f(m)=f(+kπ)=cos (+kπ)=0. 6.C　解析:在同一平面直角坐标系中作函数y=sin x与y=lg x的图象,如图,由图可以看出两函数图象有3个交点,所以方程sin x=lg x的实根有3个. 7.AD　解析:根据函数f(x)=cos(x+),知f(x)的最小正周期为2π,A正确;因为y=cos t在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减,令2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈[-,].所以f(x)在[0,]上单调递减,所以f(x)在[0,]上的最大值为f(0)=.故B错误;易知函数f(x)=cos(x+)在(,)上单调递减,在(,π)上单调递增,故C错误;因为f(+π)=cos=0,所以D正确.故选AD. 8.BCD　解析:对于A,因为f(-x)=sin(-x)-|sin(-x)|=-sin x-|sin x|≠-f(x),所以f(x)不是奇函数,故选项A错误;对于B,f(x+2π)=sin(x+2π)-|sin(x+2π)|=sin x-|sin x|=f(x),故f(x)是以2π为周期的函数,故选项B正确;对于C,f(x)=sin x-|sin x|=, k∈Z,故f(x)min= -2,故选项C正确;对于D,因为f(π+2kπ-x)=sin(π+2kπ-x)-|sin(π+2kπ-x)|=sin(π-x)-|sin(π-x)|=sin x-|sin x|,k∈Z,所以f(π+2kπ-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=kπ+,k∈Z对称,故选项D正确,故选BCD. 9.2π　解析:最小正周期T==2π. 10.0　解析:因为f(x)是周期为2的函数, 所以f(3)=f(3-2)=f(1)=0. 11.解:先画出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象. 列表: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 描点并用光滑曲线将它们连接起来,再将位于x轴下方的图象沿x轴翻折,并保留位于x轴上及x轴上方的部分,即得到函数y=|cos x|,x∈[0,2π]的图象,最后通过左右扩展得到y=|cos x|,x∈R的简图,如图所示. 性质:值域为[0,1];是偶函数;周期为π; 在区间[-+kπ,kπ](k∈Z)上单调递增,在区间[kπ,+kπ](k∈Z)上单调递减. 12.解:由3x-≠+kπ(k∈Z)得x≠+(k∈Z),故所求函数的定义域为{x|x≠+,k∈Z},值域为R. 函数y=tan(3x-)的定义域关于原点不对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 正切函数y=tan x在区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上单调递增, 令-+kπ<3x-<+kπ(k∈Z). 解得-<x<+(k∈Z), 即函数y=tan(3x-)的单调递增区间为(-,+)(k∈Z),无单调递减区间. 学科网（北京）股份有限公司 $