作业10 任意角与弧度制、任意角的三角函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

1. 2.同角三角函数的基本关系式 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α+cos2α=1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tan α=,α≠kπ+(k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 3.诱导公式 sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,tan(α+k·2π)=tan α.　① sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α.　② sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α.　③ sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α.　④ sin(-α)=cos α,cos(-α)=sin α.　⑤ sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α.⑥ 　　【例题】　已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. 【思路点拨】　切化弦→利用sin2θ+cos2θ=1将余弦转化为正弦 →整理得证 【解析】　由tan2α=2tan2β+1,可得 tan2β=(tan2α-1), 即=(-1), 故有=(-1)=×, 即=, 即sin2β(1-sin2α)=(1-sin2β)(sin2α-), 展开得sin2β=sin2α-,即sin2β=2sin2α-1. 【解题通法】　 条件恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明方法与普通恒等式的证明方法基本相同,但应注意条件的利用.证明的常用方法有:①直推法,从条件直推到结论;②代入法,将条件代入到结论中,转化为三角恒等武的证明;③换元法. 一、选择题　　 1.-150°角的弧度数是 (　　) A.- B. C.- D.- 2.若角α的终边经过点M(0,-3),则角α是 (　　) A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三象限角或第四象限角 D.轴线角 3.(多选)下列四个结论中不可能成立的是 (　　) A.sin α=且cos α= B.sin α=0且cos α=-1 C.tan α=1且cos α=-1 D.α是第二象限角时,tan α=- 4.已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为 (　　) A. B.± C. D.± 5.已知α是第二象限角,且cos α=-,则tan α的值是 (　　) A. B.- C. D.-2 6.已知x∈(,π),tan x=-,则cos(-x-)等于 (　　) A. B.- C.- D. 7.设θ是第四象限角,则点P(sin(sin θ),cos(sin θ))在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.设α∈R,且log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,则tan α的值是 (　　) A. B.2 C.或2 D.不存在 二、填空题 9.若cos α=,且α是第四象限角,则cos(α+)=　　　　.  10.已知sin θ-cos θ=,则sin3θ-cos3θ的值为　　　.  三、解答题 11.化简: (1)+; (2); (3)(n∈Z). 12.求证:=. 作业10　任意角与弧度制、 任意角的三角函数 1.A　解析:∵1°=,∴-150°=-150×=-. 2.D　解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,所以角α的终边在y轴负半轴上,所以角α是轴线角. 3.ACD　解析:根据同角三角函数的基本关系式进行验证,因为当α=π时,sin α=0且cos α=-1,所以B成立,易知A,C,D都不成立. 4.A　解析:由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,所以sin αcos α=. 5.D　解析:∵α为第二象限角,∴sin α===,∴tan α===-2. 6.C　解析:∵tan x==-, ∴cos x=-sin x, ∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1, ∴sin2x=.又x∈(,π),∴sin x=, ∴cos(-x-)=cos(+x)=-sin x=-. 7.B　解析:根据题意,令t=sin θ,由θ是第四象限角, 得-1<sin θ<0,即-1<t<0, 则sin t<0,cos t>0. 即点P的横坐标小于0,纵坐标大于0,故点P在第二象限. 8.C　解析:∵log4(2sin α+cos α)+log4(sin α+2cos α)=1,∴log4[(2sin α+cos α)(sin α+2cos α)]=1, 即(2sin α+cos α)(sin α+2cos α)=4, 化简得2sin2α+5sin αcos α+2cos2α=4, ∴=4, 即=4, 即2tan2α-5tan α+2=0,解得tan α=或tan α=2. 9.　解析:因为α是第四象限角,且cos α=,所以sin α=-=-=-,故cos(α+)=-sin α=. 10.　解析:将sin θ-cos θ=两边同时平方,得 1-2sin θcos θ=, 从而可得sin θcos θ=, 故sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ)=×(1+)=. 11.解:(1)原式=+=-sin α+sin α=0. (2)原式= = = = = =-1. (3)方法一　当n=2k,k∈Z时, 原式==. 当n=2k+1,k∈Z时, 原式==-. 所以原式= 方法二　原式=== 12.解:∵右边= = = = = =左边.∴原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $