作业9 函数与方程、模型及其应用-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

1.确定函数解析式的方法 (1)待定系数法:当已知条件中给出的函数解析式中含有未知参数或根据已知条件可确定函数类型时,可利用待定系数法求出函数解析式中参数的值,进而可得函数的解析式. (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式. (3)方程法:根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数所满足的等式,此种方法在形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含自变量和因变量的方程. 2.函数模型解决实际问题的基本思想 　　【例题】　 某医药研究所开发的一种新药,如果成年入按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t); (2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时,对治疗疾病有效,求服药一次治疗疾病的有效时间, 【思路点拨】　(1)k和a都是常数,y是t的函数,根据点M(1,4)在图象上,可求出常数k和a,进而得到函数关系式y=f(t); (2)分段解不等式,得出治疗疾病的有效时间. 【解析】　(1)由图象可得,当0≤t<1时,y=kt;当t≥1时,y=()t-a. 分别将点M(1,4)的坐标代入,得4=k×1, 4=()1-a,解得k=4,a=3. 故y=f(t)= (2)由题意知f(t)≥0.25,则当0≤t<1时,4t≥0.25,解得≤t<1;当t≥1时,()t-3≥0.25,解得1≤t≤5. 综上所述,≤t≤5. 即服药一次治疗疾病的有效时间为5-=(h). 【名师点睛】　根据函数的图象,可以分段求出其解析式.在解指数不等式时,先化成同底,再利用单调性求解,或两边同时取对数求解. 一、选择题　　 1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点近似值的是 (　　) 2.某次测量中两个变量x,y的一组数据如表所示,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是 (　　) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.函数f(x)=x+的零点个数为 (　　) A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 4.某企业的一个车间有8名工人,以往每人年薪为1万元.从今年起,计划每人的年薪比上一年增加10%,另外每年新招3名工人,每名新工人的第一年年薪为8千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数,其表达式为 (　　) A.y=(3x+5)1.1x+2.4 B.y=8×1.1x+2.4x C.y=(3x+8)1.1x+2.4 D.y=(3x+5)1.1x-1+2.4 5.四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是 (　　) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x 6.(多选)下列函数关系中,不能看作是指数型函数模型y=kax(k≠0且k∈R,a>0且a≠1)的有 (　　) A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系 D.信件的邮资与其质量间的函数关系 7.2019年5月至2020年春季,某地沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8 000倍,引发了蝗灾,到2021年春季蝗灾已波及多地.假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只,则能达到最初的16 000倍至少需要的天数为(参考数据:ln 1.05≈0.048 8,ln 1.5≈0.405 5 ,ln 1 600≈7.377 8,ln 16 000≈9.680 3) (　　) A.198 B.199 C.197 D.200 8.若方程()x=log2x的根为x1,方程()x=lox的根为x2,则x1x2的取值范围为 (　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(1,2) D.[1,+∞) 二、填空题 9.若函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为　　　　.  10.若关于x的方程-x2+a=0有两个不等的实数根,则a的取值范围是　　　　　　　　.  三、解答题 11.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.记鲑鱼的游速为V(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究发现V与log3成正比,且当Q=900时,V=1. (1)求出V关于Q的函数解析式; (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数. 12.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比,图象分别如图(1)(2).已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元. (1)分别写出两类产品的年收益与投资额x的函数关系式; (2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金才能使投资获得最大年收益,最大年收益是多少万元? 作业9　函数与方程、模型及其应用 1.C　解析:由二分法的定义,可知只有当函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,即函数的零点是变号零点时,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值,对各选项分析可知,选项A,B,D都符合,而选项C不符合,因为在零点两侧函数值不异号,因此不能用二分法求函数零点的近似值. 2.D　解析:观察图表中函数值y随自变量x变化的规律可知,随着自变量x增大,函数值也在增大,但是增加的幅度越来越小,因此它最可能的函数模型为对数函数.故选D. 3.A　解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.所以函数f(x)没有零点. 4.A　解析:第一年企业付给工人的工资总额为 8×1.1+3×0.8(万元), 第二年企业付给工人的工资总额为 (8+3)×1.12+3×0.8(万元),…, 以此类推,第x年企业付给工人的工资总额应为 y=[8+3(x-1)]×1.1x+2.4=(3x+5)1.1x+2.4(万元). 5.D　解析:由函数图象(图略)可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大.故选D. 6.ACD　解析:A:竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系; B:我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系; C:如果某人t s内骑车行进了1 km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系; D:信件的邮资与其质量间的函数关系是一次函数关系. 7.B　解析:设至少过x天能达到最初的16 000倍,由已知可得,N0(1+0.05)x=16 000N0, 所以x=≈198.4, 又x∈N,故至少经过199天能达到最初的16 000倍. 8.A　解析:由已知,得(=log2x1,-(=log2x2,在同一平面直角坐标系中,画出函数y=()x,y=-()x及y=log2x的图象,如图所示.观察图象可知,x1>1,0<x2<1,∴0<(<,-(<-,即0<log2x1<,log2x2<-,两式相加,得log2x1+log2x2<0, 所以log2(x1x2)<0,即0<x1x2<1. 9.1+,1　解析:令f(x)-x=0,得或∴或 ∴x=1+或x=1, ∴函数g(x)的零点为1+,1. 10.(-1,+∞)　解析:方程-x2+a=0有两个不等的实根,等价于函数y=与y=x2-a的图象有两个交点.先作出函数y=的图象(可以先作出函数y=(x>0)的图象,再关于y轴作翻折变换得到函数y=的图象), 结合函数y=x2-a的图象与y=的图象有两个交点,画出y=x2-a的大致图象如图所示. 不难发现当-a<1时,两个函数图象有两个交点,从而a的取值范围是(-1,+∞). 11.解:(1)设V=k·log3(k>0), ∵当Q=900时,V=1,∴1=k·log3,∴k=, ∴V关于Q的函数解析式为V=log3. (2)令V=1.5,则1.5=log3,∴Q=2 700, 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数为2 700. 12.解:(1)设两类产品的年收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2(x≥0),结合已知得f(1)==k1,g(1)==k2,即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)设投资稳健型产品x万元,则投资风险型产品(20-x)万元,依题意得,年收益为y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20).令t=(0≤t≤2),则y=+=-(t-2)2+3,所以当t=2,即x=16时,y取得最大值,且ymax=3. 故当投资稳健型产品16万元,风险型产品4万元时,能使投资获得最大年收益,最大年收益是3万元. 学科网（北京）股份有限公司 $