作业6 函数的基本性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

　　【例题】　已知f(t)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x -2)<f(1-x),则x的取值范围为　　　.  【思路点拨】　 【解析】　由题意,得 解得1≤x≤2　①. 因为f(t)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),所以x-2<1-x,解得x<　②. 由①②得1≤x<. 所以满足题设条件的x的取值范围为[1,). 【答案】　[1,) 【名师点睛】　由于函数f(t)的解析式是未知的,欲求x的取值范围,我们可以依据函数的单调性,由f(x-2)<f(1-x)将符号“f”脱掉,列出关于x的不等式,同时注意函数的定义域。 【解题通法】 利用函数的单调性比较大小或解不等式 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小. 在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 利用函数的单调性比较大小、解不等式时有如下结论. 一是正向应用,即若y=f(x)在给定区间I上单调递增,则当x1<x2且x1,x2∈I时,f(x1)<f(x2);当x1>x2,且x1,x2∈I时,f(x1)>f(x2). 二是逆向应用,即若y=f(x)在给定区间I上单调递增且x1,x2∈I,则当f(x1)<f(x2)时,x1<x2;当f(x1)>f(x2)时,x1>x2. 若y=f(x)在给定区间I上单调递减,同理可得相应结论. 一、选择题　　 1.下列四个函数中为偶函数的是 (　　) A.y=2x B.y= C.y=x2-2x D.y=|x| 2.函数f(x)= (　　) A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(-1,+∞)上单调递减 C.在(1,+∞)上单调递增 D.在(1,+∞)上单调递减 3.若函数y=ax +1在区间[1,3]上的最大值是4,则实数a的值为 (　　) A.-1 B.1 C.3 D.1或3 4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么 (　　) A.f(2)< f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)< f(1) 5.(多选)如果函数f(x)在[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是 (　　) A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b) D.f(x1)≠f(x2) 6.若函数f(x)是R上的减函数,a>0,则下列不等式一定成立的是 (　　) A.f(a2)<f(a) B.f(a)<() C.f(a)<f(2a) D.f(a2)<f(a-1) 7.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.[-3,0) D.[-3,-2] 8.(多选)当x≥1时,下列函数的最小值为4的有 (　　) A.y=4x+ B.y= C.y= D.y=5x- 二、填空题 9.函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是　　　　.  10.已知函数f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=x2,则f(7.5)=　　　　.  三、解答题 11.已知函数f(x)=-(a>0,x>0). (1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若f(x)在区间上取得的最大值为,求实数a的值. 12.已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时,f(x)=-x2+4x-1. (1)求函数f(x)在(0,+∞)上的解析式; (2)求函数f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值. 作业6　函数的基本性质 1.D　解析:由题易知A中函数为奇函数;B中,函数的定义域为{x|x≠1},故y=为非奇非偶函数;C中,函数的定义域为R,令f(x)=x2-2x,则f(-x)≠-f(x),f(x)≠f(-x),故y=x2-2x为非奇非偶函数;D中,函数的定义域为R,令f(x)=|x|,则f(-x)=|-x|=|x|=f(x),故y=|x|为偶函数. 2.C　解析:因为f(x)===1-,画出函数f(x)的图象如图所示.所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,故选C. 3.B　解析:当a>0时,y=ax +1在区间[1,3]上单调递增,则当x=3时,y取得最大值,即3a+1=4,解得a=1; 当a<0时,y=ax +1在区间[1,3]上单调递减,则当x=1时,y取得最大值,即a+1=4,解得a=3,舍去.所以a=1,故选B. 4.A　解析:由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x=2,故f(1)=f(3), 由题意知f(x)在[2,+∞)上单调递增, 所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4). 5.ABD　解析:由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确;对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,所以f(x1)≠f(x2),故D正确. 6.D　解析:函数f(x)是R上的减函数,a>0. A选项,a2-a=a(a-1),当a>1时,a2>a,所以f(a2)<f(a);当0<a<1时,a2<a,所以f(a2)>f(a),即A不一定成立. B选项,当a>1时,a>,所以f(a)<f();当0<a<1时,a<,所以f(a)>f(),即B不一定成立. C选项,当a>0时,2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. D选项,a2-(a-1)=a2-a+1=(a-)2+>0,则a2>a-1,所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立. 故选D. 7.D　解析:由于函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,因此函数h(x)=-x2-ax-5在区间(-∞,1]上单调递增,g(x)=在区间(1,+∞)上单调递增,且a≥h(1),即 解得-3≤a≤-2.故选D. 8.BCD　解析:A.根据对勾函数的单调性可知,y=4x+在[1,+∞)上单调递增,所以函数最小值为4×1+=5,故不符合; B.当x≥1时,2x-1≥1,所以y===(2x-1)+≥2=4,当且仅当即x=时等号成立,所以函数的最小值为4,故符合; C.y===+≥2=4,当且仅当 即x=时等号成立,所以函数的最小值为4,故符合; D.y=5x-在[1,+∞)上单调递增,所以函数的最小值为5×1-=4,故符合. 故选BCD. 9.(0,)　解析:函数f(x)=x+(x>0),根据对勾函数的图象及性质可知,函数f(x)=x+(x>0)在(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减. 10.-　解析:因为f(x+2)=f(x),所以f(7.5)=f(-0.5+2×4)=f(-0.5).又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-0.5)=-f(0.5)=- 11.(1)证明:设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. ∵x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0, ∴>0.∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解:由(1)知,f(x)在上是增函数, ∴f(x)max=f(4)=-=,解得a=. 12.解:(1)设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-x2-4x-1.∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x2-4x-1(x∈(0,+∞)). (2)由(1)得f(x)= ∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,3]上单调递减, ∴f(x)max=f(0)=-1, f(x)min=min{f(-2),f(3)}=f(3)=-22. ∴函数f(x)在[-2,3]上的最大值是-1,最小值是-22. 学科网（北京）股份有限公司 $