作业5 函数的概念及表示-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

　　【例题】　(1)已知f(+1)=x+2,则f(x)的解析式为 　.　　 (2)已知函数f(x+1)=(x-1)2,则f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=x2-4x+4 C.f(x)=x2-1 D.f(x)=x2+2x+1 【思路点拨】　已知f(g(x))求f(x)有两种思路:一是将g(x)视为一个整体,应用数学的整体化思想,换元求解;二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式. 【解析】　(1)方法一　(换元法)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 方法二(配凑法)　f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1. 因为+1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). (2)方法一(换元法)　令x+1=t,则x=t-1,t∈R,所以f(t)=(t-1-1)2=t2-4t+4,即f(x)=x2-4x+4. 方法二(配凑法)　因为(x-1)2=x2-2x+1=x2+2x+1-4x=(x+1)2-4x-4+4=(x+1)2-4(x+1)+4,所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+4,即f(x)=x2-4x+4. 【答案】　(1)f(x)=x2-1(x≥1)　(2)B 【名师点睛】　利用换元法、配凑法求函数解析式 已知f(g(x))=h(x),求f(x),有两种方法. (1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即为函数f(x)的定义域. (2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 一、选择题 1.下列变化过程中,变量之间不是函数关系的为 (　　) A.地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系 B.在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系 C.某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系 D.近年来中国高铁年运营里程与年份的关系 2.下列图形中,不能表示函数图象的是 (　　) 3.(多选)下列函数中,满足f(2x)≥2f(x)的是 (　　) A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 4.下列函数的定义域不是R的是 (　　) A.y=x+1 B.y=x2 C.y= D.y=2x 5.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为 (　　) A.A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x| B.A=Z,B=Z,f:x→y=x2 C.A=Z,B=Z,f:x→y= D.A={-1,1},B={0},f:x→y=0 6.向高为H,容量为V0的水瓶中匀速注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是 (　　) 7.将函数y=(x+2)2-2的图象先向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为 (　　) A.y=(x+5)2-5 B.y=(x+5)2+1 C.y=(x-1)2-5 D.y=(x-1)2+1 8.已知f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为 (　　) A.[-1,1] B.[-1,2] C.(-∞,1] D.[-1,+∞) 二、填空题 9.已知函数f(x)=-x2+3x+4的定义域为[-2,2],则f(x)的值域为　　　　.  10.设函数f(x)= 若f(f(1))=1,则a=　　　.  三、解答题 11.已知函数f(x)=(x≠-1),g(x)=x2+2. (1)求f(2),g(2),g(a+1)的值; (2)若f(g(b))=,求实数b的值. 12.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿的市场售价与上市时间的关系可用图(1)所示的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间的关系可用图(2)所示的抛物线表示.(市场售价和种植成本的单位:元/( 100 kg).时间单位:天) (1)写出图(1)表示的市场售价P与上市时间t的函数关系式P=f(t)和图(2)表示的种植成本Q与上市时间t的函数关系式Q=g(t); (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,试求收益函数h(t)的表达式. 作业5　函数的概念及表示 1.C　解析:地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间存在函数关系,其中时间是自变量,距离是因变量;在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系是函数关系,其中存款天数是自变量,利息是因变量;根据函数的定义可知某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系;高铁年运营里程与年份的关系是函数关系,其中年份是自变量,年运营里程是因变量.故选C. 2.D　解析:由选项D中的图形可知,当x>0时,对任意一个x的值,都有两个函数值与之对应,所以它不能表示函数图象. 3.ABD　解析:∵|2x|=2|x|,∴选项A满足题意; ∵2x-|2x|=2(x-|x|),∴选项B满足题意; ∵-2x =2(-x),∴选项D满足题意;∵2x+1≠2(x+1),∴选项C不满足题意,故选ABD. 4.C　解析:A中为一次函数,B中为二次函数,D中为正比例函数,定义域都为R;C中为反比例函数,定义域是{x|x≠0},不是R. 5.BD　解析:对于A,A中有元素0,在对应关系下y=0,不在集合B中,不是函数;对于B,符合函数的定义,是从A到B的函数;对于C,A中元素x<0时,B中没有元素与之对应,不是函数;对于D,A中任意元素,在对应关系下y=0,在集合B中,是从A到B的函数,故选BD. 6.D　解析:由题图可得,注水量与水深之间成正比例关系,因此随着水的深度变高,注水量也均匀增加,故水瓶的形状是圆柱. 7.D　解析:根据函数图象的平移原则——“左加右减,上加下减”,可知变换后所得的图象对应的函数解析式为y=[(x-3)+2]2-2+3=(x-1)2+1. 8.A　解析:当x-1≥0,即x≥1时,xf(x-1)=x·1≤1,解得x=1;当x-1<0,即x<1时,xf(x-1)=x·(-1)≤1,解得-1≤x<1.所以不等式xf(x-1)≤1的解集为[-1,1]. 9.　解析:因为函数f(x)=-x2+3x+4图象的对称轴为直线x=,所以在区间[-2,2]上,函数的最大值为f=-+3×+4=,函数的最小值为f(-2)=-(-2)2+3×(-2)+4=-6,所以函数f(x)的值域为. 10.-3或-2　解析:因为1>0,所以f(1)=a+3,所以f(f(1))=f(a+3)=1,所以或解得a=-3或a=-2. 11.解:(1)将x=2分别代入两个函数解析式中,得f(2)==,g(2)=22+2=6. 将x=a+1代入g(x)=x2+2, 得g(a+1)=(a+1)2+2=a2+2a+3. (2)g(b)=b2+2,则f(g(b))=f(b2+2)==,解得b=2或b=-2. 12.解:(1)由图(1)可得市场售价与上市时间之间为分段函数关系. 当0≤t≤200时,设P=at+b, 将(0,300),(200,100)代入,得 解得 所以P=300-t,0≤t≤200. 同理可得,当200<t≤300时,P=2t-300. 故f(t)= 由图(2)可得种植成本与上市时间之间为二次函数关系,设g(t)=m(t-150)2+100. 将(50,150)代入,得150=1002m+100,解得m=,故g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)由题意可知h(t)=f(t)-g(t), 即h(t)= 学科网（北京）股份有限公司 $