作业4 二次函数与一元二次方程、不等式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

　　【例题】　解关于x的不等式:x2-(a+)x+1<0(a≠0). 【思路点拨】　将不等式左边的关于x的二次三项式分解,由根的大小关系分类讨论求解. 【解析】　原不等式对应方程的两根为 x1=a,x2=. ①当a>,即a∈(-1,0)∪(1,+∞)时, 不等式的解集为{x|<x<a}. ②当a<,即a∈(-∞,-1)∪(0,1)时, 不等式的解集为{x|a<x<}. ③当a=,即a=±1时,原不等式可化为(x±1)2<0,解集为⌀. 综上,当a∈(-1,0)∪(1,+∞)时,原不等式的解集为(,a); 当a∈(-∞,-1)∪(0,1)时,原不等式的解集为(a,); 当a=±1时,原不等式的解集为⌀. 【名师点睛】　解含参数的一元二次不等式时,需对参数进行分类讨论.一般有四种情况: (1)二次项系数不含参数,且二次三项式可分解时,根据两根大小分情况进行讨论. (2)二次项系数不含参数,且二次三项式不能分解时,对Δ的取值分三种情况进行讨论. (3)二次项系数含参数,且二次三项式可分解时,先考虑二次项系数是否为0.当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合两根的大小分若干类进行讨论. (4)二次项系数含参数,且二次三项式不可分解时,先考虑二次项系数是否为0.当二次项系数不为0时,再对二次项系数的正负情况,结合判别式的取值分若干类进行讨论. 一、选择题　 1.不等式>0的解集为 (　　) A.(2,+∞) B.(-∞,-3) C.(-3,2) D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 2.下列四个不等式中解集为R的是 (　　) A.-x2+x+1≥0 B.x2-2x +5 >0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0 3.在R上定义运算􀱋:a􀱋b=ab+2a+b,则满足x􀱋(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　　) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 4.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是 (　　) A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|x>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是⌀ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{x|-1<x<3} 5.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为 (　　) A.(-,1) B.(-∞,1)∪(,+∞) C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 6.设m+n >0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　) A.(-∞,-n)∪(m,+∞) B.(-n,m) C.(-∞,-m)∪(n,+∞) D.(-m,n) 7.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,2] D.(-∞,-2] 8.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集不可能是 (　　) A.{x|x<-1或x>a} B.R C.{x|-1<x<a} D.{x|a<x<-1} 二、填空题 9.不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.(用区间表示)  10.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为{x|1<x<m},则实数a的值为　　　　,实数m的值为　　　　.  三、解答题 11.设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0.命题q:实数x满足≥0. (1)若a=1,且p,q均为真命题,求实数x的取值范围; (2)􀱑p是􀱑q的充分而不必要条件,求实数a的取值范围. 12.设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表知,每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系:m=x-,n=-x2+5x+.当m-n≥0时,称为不亏损企业;当m-n<0时,称为亏损企业,且n-m为亏损额. (1)企业要成为不亏损企业,每月至少生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少? 作业4　二次函数与一元 二次方程、不等式 1.D　解析:方法一　将原不等式转化为或解得x>2或x<-3. 故原不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞). 方法二　将>0转化为(x+3)(x-2)>0,由一元二次不等式的解法得x>2或x<-3. 故原不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞). 2.C　解析:利用“Δ”判断,在不等式x2+6x+10>0中,Δ=62-40<0,∴不等式x2+6x+10>0的解集为R,其他可类似判断.故选C. 3.B　解析:∵x􀱋(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0, ∴x2+x-2<0,即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1.故选B. 4.BD　解析:选项A,假设结论成立,则无解,故选项A错误; 选项B,当a=1,b=0时,不等式x2+3>0恒成立,则解集是R,故选项B正确; 选项C,当x=0时,ax2+bx+3=3>0,则解集不可能为⌀,故选项C错误; 选项D,假设结论成立,则解得符合题意,故选项D正确. 故选BD. 5.A　解析:由不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),知a<0且-4,1是方程ax2+bx+c=0的两根, 则-4+1=-,-4×1=,即b=3a,c=-4a. 故所求不等式为3a(x2-1)+a(x+3)-4a >0, 即3x2+x-4<0,解得-<x<1. 6.B　解析:方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,∵m+n>0,∴m>-n.结合函数y=(m-x)(n+x)的图象,得原不等式的解集是(-n,m).故选B. 7.C　解析:原不等式即(a-2)x2+(2a-4)x-4<0, 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,恒成立; 当a-2≠0时,依题意得 解得-2<a<2. 综上可知,a的取值范围是(-2,2]. 8.B　解析:当a>0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x<-1或x>a; 当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,无解; 当-1<a<0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1<x<a; 当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,无解; 当a<-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得a<x<-1. 故ACD都有可能,B不可能. 9.(-4,1)　解析:不等式两边同乘以-1,化为x2+3x-4<0,对应方程的根为x1=-4,x2=1,故解集为(-4,1). 10.2　2　解析:由题意可知不等式ax2-6x+a2<0可化为a(x-1)(x-m)<0的形式且a>0,所以解得m=2,a=2. 11.解:(1)由x2-4ax+3a2<0(a>0),得a<x<3a. 当p为真命题时,a<x<3a. 由≥0,得 即2<x≤3. 当q为真命题时,2<x≤3. 当a=1时,p:1<x<3. 由p,q均为真命题,得解得2<x<3,所以实数x的取值范围为{x|2<x<3}. (2)设A={x|a<x<3a},B={x|2<x≤3}. 由题意知q是p的充分而不必要条件,所以B⫋A, 所以所以1<a≤2, 所以实数a的取值范围为{a|1<a≤2}. 12.解:(1)由题意知, m-n=x--≥0, 即x2-2x-8≥0,解得x≤-2(舍负值)或x≥4. ∴x≥4,即每月至少生产4台电机可使企业为不亏损企业. (2)企业亏损最严重,即n-m取最大值. n-m=-x2+5x+-x+ =-[(x-1)2-9]=-(x-1)2, ∴当x=1时,最大亏损额为万元,此时m=-=. ∴当月总产值为万元时,企业亏损最严重,最大亏损额为万元. 学科网（北京）股份有限公司 $