作业3 不等式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（湘教版）

　　【例题】　对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为　　　　.  【思路点拨】　基本不等式→求|2a+b|的最大值→用a表示b,c→用配方法求++的最小值 【解析】　由题意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab. ∵2ab≤()2,当且仅当2a=b时取等号, ∴-6ab≥-3()2,∴c=(2a+b)2-6ab≥(2a+b)2-3()2,即c≥, ∴|2a+b|≤2,∴当且仅当2a=b时,|2a+b|有最大值2,此时|2a+2a|=2,即c=4a2, ∴++=++=+=(+1)2-1≥-1, ∴++的最小值为-1. 【答案】　-1 【名师点睛】　解答此类问题的步骤: 一、选择题 　　 1.(多选)下面列出的几种不等关系中,正确的为 (　　) A.x与2的和是非负数,可表示为“x+2>0” B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮,可表示为“x>y” C.△ABC的两边之和大于第三边,记三边分别为a,b,c,则可表示为a+b>c且a+c>b且b+c>a D.若某天的温度为t℃,最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃” 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有 (　　) A.> B.< C.> D.< 3.下列不等式中正确的是 (　　) A.a+≥4 B.x2+≥2 C.≥ D.a2+b2≥4ab 4.代数式y=x+-1(x>0)有 (　　) A.最小值2-1 B.最大值2-1 C.最大值-2-1 D.最大值-2+1 5.已知x>1,-1<y<0,a=x-y,b=x+y2,c=x2-y,则 (　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c >b>a 6.已知正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.不存在 7.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 8.(多选)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是 (　　) A.ab≤1 B.+≤ C.a2+b2≥2 D.+≥2 二、填空题 9.已知a=2+,b=4,则a与b的大小关系为a　　　　b.  10.已知12<a<60,15<b<36,则a-b的取值范围为　　　　　　　,的取值范围为　　　　.  三、解答题 11.若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 12. 如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小? 作业3　不等式 1.CD　解析:对于A,x与2的和是非负数,应表示为“x+2≥0”,故A错误;对于B,小明比小华矮,应表示为“x<y”,故B错误;C,D正确.故选CD. 2.B　解析:因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以>>0.又a>b>0,所以>,所以<. 3.B　解析:对于A,当a<0时,a+<0,故A错误; 对于B,x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号,故B正确; 对于C,当a≥0,b≥0时,≤,当且仅当a=b时取等号,故C错误; 对于D,由基本不等式得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选B. 4.A　解析:由基本不等式可得x+≥2,当且仅当x=时,等号成立,故y有最小值2-1,无最大值. 5.B　解析:∵x>1,-1<y<0,∴c-a=x(x-1)>0,a-b=-y(1+y)>0,∴c>a>b. 6.B　解析:因为正数a,b满足a+2b=1, 所以+=(a+2b)=1+++4≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时,等号成立.故选B. 7.B　解析:∵不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴(x+y)(+)≥(1+)2≥9,∴≥2,即a≥4,故正实数a的最小值为4. 8.ACD　解析:由2=a+b≥2,得ab≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立,故A正确; 令a=b=1,可知B错误; a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故C正确; +==≥2,故D正确. 9.>　解析:a-b=(2+)-4=-2. 方法一　∵()2-22=7-4=3>0,∴a>b. 方法二　∵-2=>0,∴a>b. 方法三　∵-2>-2=0,∴a>b. 10.(-24,45)　　解析:由15<b<36得-36<-b<-15.又因为12<a<60,所以-24<a-b<45. 由15<b<36得<<.又因为12<a<60,所以<<4. 11.解:方法一　- = = = ∵a>b>0,c<d<0, ∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0, ∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. ∵e<0, ∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0. 又(a-c)2(b-d)2>0,∴->0, 即>. 方法二　=. ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0, ∴0<<1,∴0<<1. 又e<0,∴<0,∴>. 方法三　∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0, 上式两边同乘以,得<. 又e<0,∴>. 12.解:方法一　设矩形广告的高为x cm,宽为y cm,则每栏的高和宽分别为(x-20)cm, cm,其中x>20,y> 25,则两栏面积之和为2(x- 20)·=18 000,由此得y=+25, ∴矩形广告的面积S=xy=x(+25)=+25x,整理得 S=+25(x-20)+18 500. ∵x-20>0, ∴S≥2+18 500=24 500, 当且仅当=25(x-20)时取等号,此时有(x-20)2=14 400,解得x=140,代入y=+25,得y=175. 即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当矩形广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小. 方法二　设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab=9 000,其中a>0,b>0,则广告的高为(a+20)cm,宽为(2b+25) cm. 故矩形广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b≥18 500+2=24 500,当且仅当25a=40b,ab=9 000,即a=120,b=75时取等号,S取得最小值24 500.此时a+20=140,2b+25=175. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小. 学科网（北京）股份有限公司 $