作业(13) 随机变量-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为 (　　) A.3 B.4 C.1、2、3 D.0、1、2、3 2.下表是离散型随机变量X的分布列,则常数a的值是 (　　) X 3 4 5 9 P +a A. B. C. D. 3.设随机变量ξ的概率分布列如下表,则P(|ξ-3|=1)= (　　) ξ 1 2 3 4 P a A. B. C. D. 4.已知随机变量ξ服从二项分布B(4,),则P(ξ=3)= (　　) A. B. C. D. 5.从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是 (　　) A. B. C. D. 6.有8名学生,其中有5名男生.从中选出4名代表,选出的代表中男生人数为X,则其数学期望为E(X)= (　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 7.已知随机变量ξ服从正态分布N(80,σ2),若P(ξ>120)=0.2,则P(40<ξ≤80)= (　　) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 8.某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布N(75,121),考生共有1000人,估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为 (　　) 参考数据:P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544 A.261人 B.341人 C.477人 D.683人 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是 (　　) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826. A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250 B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 10.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5),则 (　　) A.15a=1 B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2 C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D.P(ξ=1)=0.3 11.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X)、D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= 12.某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C 和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,下列正确的是 (　　) A.游客至多游览一个景点的概率 B.P(X=2)= C.P(X=3)= D.P(X=4)= 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(2<X≤4)等于　　　　.  14.已知随机变量X,Y满足,X+Y=8,且X~B(10,0.6),则D(X)+E(Y)=　　　　.  15.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=　　　　.  16.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974.长沙市教委组织一次10000人参加的高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布N(100,100),则全市学生分数在110~120的人数大约为　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某地A、B、C、D有四人先后感染了新冠状病毒,其中只有A到过疫区. (1)如果B、C、D受到A感染的概率分别为,那么B、C、D三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少? (2)若B肯定受A感染,对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同样也假设D受A、B和C感染的概率都是,在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量,求随机变量X的分布列. 18.某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务(货物全部用统一规格的包装箱包装),现统计了最近100天内每天可配送的货物量,按照可配送货物量T(单位:箱)分成了以下几组:[40,50),[50,60),[60,70), [80,90),[90,100],并绘制了如图所示的频率分布直方图(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率). (1)该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因,并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析,求这3天的数据中至少有2天的数据来自[50,60)这一组的概率. (2)由频率分布直方图可以认为,该物流公司每日的可配送货物量T(单位:箱)服从正态分布N(μ,14.42),其中μ近似为样本平均数. ①试利用该正态分布,估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间(54.1,97.3)内的天数(结果保留整数). ②该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案. 方案一:直接发放奖金,按每日的可配送货物量划分为以下三级:T<60时,奖励50元;60≤T<80,奖励80元;T≥80时,奖励120元. 方案二:利用抽奖的方式获得奖金,其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会,每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会,每次抽奖的奖金及对应的概率分别为 奖金 50 100 概率 小张恰好为该公司装卸货物的一名员工,试从数学期望的角度分析,小张选择哪种奖励方案对他更有利? 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9544. 作业(十三)　随机变量 1.D　解析:同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0、1、2、3,选D. 2.C　解析:++a++=1,解得a=,故选C. 3.A　解析:∵+a++=1,∴a=, 由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4, P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=+=,选A. 4.D　解析:ξ~B(4,)表示做了4次独立试验,每次试验成功概率为,则P(ξ=3)=×()3×()1=4×=,选D. 5.C　解析:设X为抽出的5张牌中含A的张数,可知X服从超几何分布,其中N=52,n=5,M=4,则P(X=3)=,选C. 6.B　解析:随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=,选B. 7.D　解析:由题可知:μ=80,所以P(ξ>120)=P(ξ<40)=0.2,所以P(40<ξ≤80)=0.5-P(ξ<40)=0.3,选D. 8.B　解析:正态总体的取值关于x=75对称,位于(64,86)之间的概率是P(75-11<X<75+11)=0.6826,则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为×1000×0.6836≈341人,选B. 9.ABD　解析:对于选项A:μ+30=280,μ=250,正确;对于选项BC:σ越小越集中,30小于40,B正确,C不正确;对于选项D:P(280<X<320)=P(μ<X<μ+σ)≈0.6826×≈0.3413,正确,选ABD. 10.ABC　解析:∵P(ξ=)=ak(k=1,2,3,4,5), ∴P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=)+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;∴P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=)=3×=0.2,故B正确;∴P(0.1<ξ<0.5)=P(ξ=)+P(ξ=)=+2×=0.2,故C正确;∴P(ξ=1)=5×=≠0.3,故D错误,选ABC. 11.AB　解析:随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,∴P(X=1)=,E(X)=0×+1×=,D(X)=(0-)2×+(1-)2×=,在A中,P(X=1)=E(X),故A正确;在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确;在C中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误;在D中,D(X)= ,故D错误,选AB. 12.AB　解析:记该游客游览i个景点为事件Ai,i=0,1, 则P(A0)=(1-)(1-)(1-)(1-)=, P(A1)=(1-)(1-)3+(1-)··(1-)2=, 所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)+P(A1)=+=,故A正确; 随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4, P(X=0)=P(A0)=,P(X=1)=P(A1)=, P(X=2)=×××(1-)2+(1-)××()2×(1-)=,故B正确; P(X=3)=×××(1-)+(1-)××()3=,故C不正确; P(X=4)=×()3=,故D错误,选AB. 13.　解析:∵P(X=i)=(i=1,2,3,4), ∴(1+2+3+4)=1,解得a=5, 则P(2<X≤4)=P(3)+P(4)=+=. 14.4.4　解析:由题意X~B(10,0.6),知随机变量X服从二项分布,n=10,p=0.6,则均值E(X)=np=6,方差D(X)=npq=2.4,又∵X+Y=8, ∴Y=-X+8, ∴E(Y)=-E(X)+8=-6+8=2,D(X)+E(Y)=4.4. 15.1.96　解析:由于是有放回的抽样,所以X服从二项分布,即X~B(100,0.02), 则D(X)=npq=100×0.02×0.98=1.96. 16.1359　解析:由题意该正态分布μ=100,σ=10, 则P(110≤X≤120)=[P(80≤X≤120)-P(90≤X≤110)]=(0.9544-0.6826)=0.1359, 所以全市学生分数在110~120的人数大约为10000×0.1359=1359. 17.解:(1)P=·()·(1-)2=. (2)根据题意:X的可能取值为1,2,3. 则P(X=1)=×=; P(X=2)=×+×=; P(X=3)=×=. 故x的分布列为: X 1 2 3 P 18.解:(1)由分层抽样知识可知,这11天中前3组的数据分别有1个,4个,6个, 所以至少有2天的数据来自[50,60)这一组的概率为P=+=. (2)①由题得μ=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.3+85×0.1+96×0.05=68.5, 所以P(54.1<T<97.3)=P(68.5-14.4<T<68.5+28.8)≈(0.6826+0.9544)=0.8185. 故2000天内日货物配送量在区间(54.1,97.3)内的天数为2000×0.8185=1637. ②易知P(T<μ)=P(T≥μ)=. 对于方案一,设小张每日可获得的奖金为X元,则X的可能取值为50,80,120,其对应的概率分别为0.25,0.6,0.15,故E(X)=50×0.25+80×0.6+120×0.15=78.5. 对于方案二,设小张每日可获得的奖金为Y元,则Y的所有可能取值为50,100,150,200, 故P(Y=50)=×=,P(Y=100)=×+××=, P(Y=150)=2×××=,P(Y=200)=××=. 所以Y的分布列为 Y 50 100 150 200 P 所以E(Y)=50×+100×+150×+200×=90. 因为E(Y)>E(X),所以从数学期望的角度看,小张选择方案二更有利. 学科网（北京）股份有限公司 $