作业(9) 直线与圆锥曲线的位置关系-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知椭圆+=1,直线l:x+my-m=0(m∈R),直线l与椭圆的位置关系是 (　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 2.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= (　　) A.16 B.12 C.10 D.8 3.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 4.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为 (　　) A.3 B.2 C.2 D.4 5.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·= (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 6.(核心素养·逻辑推理)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 (　　) A.(-,) B.(0,) C.(-,0) D.(-,-1) 7.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为 (　　) A.- B. C.-2 D.2 8.若抛物线y=x2上存在不同两点A,B关于直线y=kx+对称,则k的取值范围是 (　　) A.k>或k<- B.k>或k<- C.k>1或k<-1 D.k>2或k<-2 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.设椭圆+=1的右焦点为F,直线y=m(0<m<)与椭圆交于A,B两点,则 (　　) A.|AF|+|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6,12] C.当m=时,△ABF为直角三角形 D.当m=1时,△ABF的面积为 10.已知抛物线y2=2px(p>0)上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),焦点为F,O为坐标原点,以下选项不是“直线AB经过焦点F”的充要条件的是 (　　) A.x1x2= B.y1y2=-p2 C.·=-p2 D.+= 11.已知椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O(O为坐标原点),且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.直线AB与OM垂直 B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0 C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M坐标为(,) D.若直线AB的方程为y=x+2,则|AB|= 12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A、B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则以下结论正确的是 (　　) A.p=4 B.= C.|BD|=2|BF| D.|BF|=4 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为　　　　　.  14.斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线的离心率e的取值范围是　　　　　.  15.已知椭圆+=1(a>b>0)与抛物线y2=4px(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个公共点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率是　　　　　.  16.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　　;+=　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,右顶点为(1,0). (1)求双曲线C的方程; (2)已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点为M(x0,y0),当x0≠0时,求的值. 18.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为θ的直线l交抛物线C于A,B两点. (1)过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A',若直线A'F的斜率为-,且|AF|=4,求抛物线C的方程; (2)当直线l的倾斜角θ为多大时,弦AB的长度最小. 作业(九)　直线与圆锥曲线的位置关系 1.C　解析:由题意知l:x+my-m=0(m∈R)恒过点(0,1),因为+<1,所以点(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆相交.故选C. 2.B　解析:由题意得p=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+6=12.故选B. 3.C　解析:易知过点(0,1)且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立,整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程有一个解,满足直线y=kx+1与抛物线y2=4x只有一个公共点;当k≠0时,由Δ=0,可得k=1,满足直线y=kx+1与抛物线y2=4x只有一个公共点.综上,满足题意的直线有3条,故选C. 4.C　解析:由题意,可设椭圆的方程为mx2+ny2=1(0<m<n),由,消去x得(3m+n)y2+8my+16m-1=0,所以Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,整理得3m+n=16mn,即+=16　①.由题意,知c=2,所以-=4　②,联立①②可得,故椭圆的长轴长为2.故选C. 5.D　解析:方法一:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2),由,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4,所以或,不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以=(0,2),=(3,4),所以·=8.故选D. 方法二:过点(-2,0)且斜率为的直线的方程为y=(x+2), 由,得x2-5x+4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1>0,y2>0, 根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4. 易知F(1,0),所以=(x1-1,y1),=(x2-1,y2), 所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=4-5+1+8=8.故选D. 6.D　解析:把y=kx+2代入x2-y2=6,得x2-(kx+2)2=6,化简得(1-k2)x2-4kx-10=0, 由题意知,即, 解得-<k<-1.故选D. 7.A　解析:设以P(4,2)为中点的弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),所以由中点坐标公式可得,把A,B两点坐标代入椭圆方程得,两式相减可得+=0,所以=-=-=-,即所求的直线AB的斜率为kAB=-,选A. 8.A　解析:当k=0时,显然抛物线y=x2上不存在不同两点A,B关于直线y=kx+对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点M(x0,y0),直线AB:y=-x+m,,两式相减得=x1+x2,即x0=-,因为M在直线y=kx+上,所以y0=k·(-)+=4,因为M在直线AB上,所以4=+m,即m=4-,由得x2+x-(4-)=0,由于直线AB与抛物线有两个不同的交点,则+4(4-)>0,即<16,解得k<-或k>,选A. 9.ACD　解析:设椭圆的左焦点为F',则|AF'|=|BF|, ∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=6为定值,A正确;△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,因为|AF|+|BF|为定值6,∴|AB|的范围是(0,6),∴△ABF的周长的范围是(6,12),B错误;将y=与椭圆方程联立,可解得A(-,),B(,), 又∵F(,0),∴·=(+)(-)+()2=0,∴△ABF为直角三角形,C正确;将y=1与椭圆方程联立,解得A(-,1),B(,1),∴S△ABF=×2×1=,D正确,故选ACD. 10.ACD　解析:设直线AB的方程为x=my+t,则直线AB交x轴于点T(t,0),且抛物线的焦点F的坐标为(,0).将直线AB的方程与抛物线的方程联立,得,消去x得,y2-2pmy-2pt=0,则y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.对于选项A,x1x2====t2-,得t=±,所以“x1x2=”是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件;对于选项B,y1y2=-2pt=-p2,得t=,此时直线AB过抛物线的焦点F,所以“y1y2=-p2”是“直线AB经过焦点F”的充要条件;对于选项C,·=x1x2+y1y2=t2-2pt=-p2,即t2-2pt+p2=0,解得t=或t=,所以“·=-p2”是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件;对于选项D,+=+=+== = = =,化简得t2=,得t=±,所以“+=”是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件.综上所述,不是“直线AB经过焦点F”的充要条件的选项是A,C,D.故选ACD. 11.BD　解析:对于A,根据椭圆的中点弦的性质知,kAB·kOM=-=-2≠-1,所以A项不正确;对于B,kOM=1,根据kAB·kOM=-2,知kAB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,所以选项B正确;对于C,直线AB的方程为y=x+1,M(,),则kAB·kOM=1×4=4≠-1,所以C项不正确;对于D,若直线AB的方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,得2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x=0或x=-,所以|AB|=|--0|=,所以D正确.故选BD. 12.ABC　解析:如下图所示: 分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线, 垂足分别为点E、M. 抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p, 由于直线l的斜率为,其倾斜角为60°, ∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,由抛物线的定义可知, |AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=60°,则∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,得p=4,A选项正确; ∵|AE|=|EF|=2|PF|,又PF∥AE,∴F为AD的中点,则=,B选项正确; ∵∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|(抛物线定义),C选项正确; ∵|BD|=2|BF|,∴|BF|=|DF|=|AF|=,D选项错误,选ABC. 13.48　解析:由,得x2-10x+9=0,解得x=1或9,不妨设A(1,-2),B(9,6),则梯形APQB的面积S=×(1+9+2)×|-2-6|=48. 14.(2,+∞)　解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,∴>,∴b>a,∴b2>3a2,∴c2-a2>3a2,∴e2-1>3,又e>1,∴e>2. 15.-1　解析:依题意,抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)也是椭圆+=1(a>b>0)的焦点,所以a2=b2+p2.因为点A是两曲线的一个公共点,且AF⊥x轴,所以点A的横坐标为p,代入抛物线方程得A(p,2p)或A(p,-2p),将其代入椭圆方程得+=1,又a2=b2+p2,所以+=1.又椭圆的离心率e=,e2=,所以+=+=e2+=1,解得e2=3±2.因为椭圆离心率的取值范围为(0,1),所以e2=3-2=(-1)2,即e=-1. 16.2　1　解析:由题意知=1,得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.当直线l的斜率不存在时,将x=1代入y2=4x,得y=±2,所以|AF|=|BF|=2,所以+=1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),联立,得,整理得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,从而+=+===1. 17.解:(1)由题意知=,a=1,解得b=, 所以双曲线的方程为x2-=1. (2)由,消去y,得2x2-2mx-m2-3=0, 则Δ=4m2+8(m2+3)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=m, 则x0=,y0=x0+m=m, 所以=3. 18.解:(1)由题意得∠AA'F=60°,|AA'|=|AF|=4,|A'F|=2p, 所以△AA'F为等边三角形,|A'F|=2p=4,所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)因为F(,0),所以直线l的方程可设为x=my+, 由,得y2-2mpy-p2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2mp,y1y2=-p2,所以x1x2=, 所以|AB|=x1+x2+p≥2+p=2p, 当且仅当x1=x2=时等号成立,此时θ=. 故当直线l的倾斜角θ=时,弦AB的长度最小. 学科网（北京）股份有限公司 $