作业(9) 幂函数、增长速度的比较、函数的应用(二)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.y= B.y=x-2 C.y=x3 D.y=x4 2.已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 3.已知函数f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中a>0且a≠1),在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像,其中正确的是 (　　) A B C D 4.已知幂函数f(x)的图像过点,则f(8)的值为 (　　) A. B. C.2 D.8 5.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为 (　　) A.0 B.1 C.1或2 D.2 6.有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)=.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是 (　　) A.① B.② C.③ D.④ 7.为了提高资源利用率,2019年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12 800万元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301) (　　) A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年 8.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.已知幂函数y=xα(α∈R)的图像过点(2,8),下列说法正确的是 (　　) A.函数y=xα的图像过原点 B.函数y=xα是偶函数 C.函数y=xα是单调减函数 D.函数y=xα的值域为R 10.已知实数a,b满足等式=,则下列四个关系式中可能成立的是 (　　) A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0 C.1<a<b D.-1<b<a<0 11.已知函数f(x)=xα的图像经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　　) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 12.如图某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系:y=at,以下叙述中正确的是 (　　) A.这个指数函数的底数是2 B.第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2 C.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月 D.浮萍每个月增加的面积都相等 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是　　　　　.  14.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面; ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为　　　　　.(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分)  15.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有60 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,1分钟以后物体的温度是50 ℃,则k=　　　　　.(精确到0.01)(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)  16.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数),若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是　　　　　小时.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若函数f(x)=(k∈N)满足f(2)<f(3). (1)求k的值及f(x)的解析式; (2)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在[-1,2]上的取值范围为?若存在,求出正数q的值;若不存在,请说明理由. 18.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是20年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为a. (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)该森林今后最多还能砍伐多少年? 作业(九)　幂函数、增长速度的比较、 函数的应用(二) 1.D　解析:A选项,函数y=的定义域为[0,+∞),所以函数y=是非奇非偶函数,排除A;B选项,幂函数y=x-2在(0,+∞)上单调递减,排除B;C选项,函数y=x3的定义域为R,(-x)3=-x3,所以函数y=x3是奇函数,排除C;D选项,函数y=x4的定义域为R,且(-x)4=x4,所以函数y=x4是偶函数;又由幂函数的性质可得,幂函数y=x4在(0,+∞)上单调递增,故D正确,选D. 2.D　解析:根据函数y=0.3x单调递减知:a=0.30.6<b=0.30.5,根据函数y=x0.5单调递增知:b=0.30.5<c=0.40.5,故c>b>a,选D. 3.C　解析:若a>1,则三个函数在第一象限都是增函数且f1(x)过(0,1),f2(x)过原点,f3(x)过(1,0),故此时C符合要求,选C. 4.A　解析:∵幂函数f(x)=xα的图像过点,∴=2α,∴α=-,∴f(x)=,∴f(8)==,选A. 5.D　解析:由题意f(x)为幂函数,所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2.因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以2m-1>0,即m>,所以m=2,选D. 6.B　解析:①f(x)=x-1只满足值域是{y|y∈R,且y≠0} ;③f(x)=x3只满足在(-∞,0)上是增函数;④f(x)=只满足在(-∞,0)上是增函数;②f(x)=x-2是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,但其值域是{y|y>0},选B. 7.D　解析:设经过n年后的投入资金为y万元,则y=5 000(1+20%)n=5 000×1.2n,令5 000×1.2n>12 800,即1.2n>2.56,两边取对数可得nlg 1.2>lg 2.56=lg=lg 28-2=8lg 2-2=0.408,∴n>≈5.16,故第6年即2025年的投资开始超过12 800万元,选D. 8.B　解析:因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r==0.38,所以I(t)=ert=e0.38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,则=2e0.38t,所以=2,所以0.38t1=ln 2,所以t1=≈≈1.8天,选B. 9.AD　解析:由于幂函数y=xα过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以y=x3,(0,0)满足y=x3,A选项正确;y=x3是奇函数,所以B选项错误;y=x3在R上递增,所以C选项错误;y=x3的值域为R,所以D选项正确,选AD. 10.AC　解析:画出y=与y=的图像(如图),设==m,作直线y=m. 从图像知,若m=0或1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b,故其中可能成立的是AC,选AC. 11.ACD　解析:将点(4,2)代入函数f(x)=xα得:2=4α,则α=,所以f(x)=,显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当若0<x1<x2时,-=-. =- ==-<0, 即<f成立,所以D正确,选ACD. 12.AB　解析:对于A,由图像知,t=2时,y=4,∴a2=4,故a=2,故A正确;对于B,当t=5时,y=25=32>30,故B正确;对于C,当y=4时,由=4,知t1=2,当y=12时,由=12,知t1=log212=log24+log23=2+log23,则t2-t1=log23≠1.5,故C错误;对于D,浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,故D错误,选AB. 13.(0,2)∪(4,+∞)　解析:如图,分别作出y=log2x,y=x2,y=2x的图像,结合图像可知log2x<x2恒成立,当x∈(0,2)时,x2<2x; 当x∈(2,4)时,x2>2x;当x∈(4,+∞)时,x2<2x, 所以不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是(0,2)∪(4,+∞). 14.③④⑤　解析:路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系是: f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数,二次函数,一次函数,和对数型函数模型. 当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,∴命题①不正确; 当x=4时,f1(5)=31,f2(5)=25,∴命题②不正确; 根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合,从而可知当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面,命题③正确;指数函数变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,∴命题⑤正确.结合对数型和指数型函数的图像变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,命题④正确. 15.0.29　解析:把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,经过t分钟后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,60 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,1分钟以后物体的温度是50 ℃,则50=20+(60-20)e-k,∴e-k=,∴k=ln 4-ln 3=2×0.693-1.099≈0.287≈0.29. 16.24　解析:由题意可得,x=0时,y=192,x=22时,y=48,代入函数y=ekx+b,可得eb=192,e22k+b=48,即有e11k=,eb=192,则当x=33时,y=e33k+b=×192=24. 17.解:(1)∵f(2)<f(3),∴<1. 故-k2+k+2>0,解得-1<k<2. 又∵k∈Z,∴k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,∴f(x)=x2. (2)存在q=2,求解如下: 假设存在q>0满足题设,由(1)知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2], ∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在x=-1和x=处取得, g(-1)=2-3q,g=,而g-g(-1)=-2+3q=≥0, ∴g(x)min=g(-1)=2-3q=-4,即q=2,此时g(x)max==,故q=2符合题意. 18.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1-x)20=a,即(1-x)20=, 解得x=1-. (2)设从今年开始,最多可以砍n年,依题意得 a(1-x)n≥a, 即(1-x)n≥,可得≥, ∴≤,解得n≤30, ∴今后最多还能砍30年. 学科网（北京）股份有限公司 $