作业(6) 函数与方程、不等式之间的关系、函数的应用(一)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点 2.下列函数的图像均与x轴有交点,其中不宜用二分法求交点横坐标的是 (　　) A B C D 3.已知实数x0是函数f(x)=-的一个零点,若0<x1<x0<x2,则 (　　) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 4.一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是 (　　) A. B.(-∞,-5) C. D. 5.已知α,β(α<β)是函数y=(x-a)(x-b)+2(a<b)的两个零点,则α,β,a,b的大小关系是 (　　) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 6.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km),以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价),则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为 (　　) A B C D 7.若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,1-]∪[1+,+∞) B.(-∞,1-)∪(1+,+∞) C. D. 8.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.函数f(x)=x3+3x-2的一个正零点所在的区间不可能是 (　　) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 10.狄利克雷函数f(x)满足:当x取有理数时,f(x)=1;当x取无理数时,f(x)=0.则下列选项成立的是 (　　) A.f(x)≥0 B.f(x)≤1 C.f(x)-x3=0有1个实数根 D.f(x)-x3=0有2个实数根 11.定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示,则下列说法正确的有 (　　) A.方程f[g(x)]=0有两正数解和一负数解 B.方程g[f(x)]=0最多只有三个解 C.方程f[f(x)]=0可能存在五个解 D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解 12.已知函数f(x),g(x)的图像分别如图1,2所示,方程f[g(x)]=1,g[f(x)]=-1,g[g(x)]=-的实根个数分别为a,b,c,则 (　　) 图1 图2 A.a+b=c B.b+c=a C.ab=c D.b+c=2a 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.函数y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)零点的个数为　　　　　.  14.若二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,则2a+b的值为　　　　　.  15.若关于x的方程x2-3ax+a2-1=0有两个实数根x1,x2,且0<x1<1<x2,则实数a的取值范围为　　　　　.  16.若函数f(x)=只有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)在答题卷上画出函数f(x)的图像,并根据图像写出f(x)的单调区间; (3)若关于x的方程f(x)=2a+1有三个不同的解,求a的取值范围. 18.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.旅游点规定:每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元? 作业(六)　函数与方程、不等式之间的 关系、函数的应用(一) 1.C　解析:由题知f(0)·f(1)<0,所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点,又f(1)·f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点,选C. 2.C　解析:由题可知:利用二分法求函数与x轴交点的横坐标,该函数的零点必须是变号零点,所以不宜用二分法求交点横坐标的是选项C,选C. 3.B　解析:因为y=与y=-是增函数,则f(x)=-在(0,+∞)上递增,且f(x0)=0,因此,当0<x1<x0<x2时,有f(x1)<f(x0)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0,选B. 4.C　解析:设f(x)=x2-5x+1-m,则二次函数y=f(x)的图像开口向上,对称轴为直线x=>2.由于一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则解得-≤m<-5,因此,实数m的取值范围是,选C. 5.A　解析:设g(x)=(x-a)(x-b),则g(x)向上平移2个单位长度得到y=(x-a)(x-b)+2的图像, 由图易知a<α<β<b,选A. 6.B　解析:∵出租车起步价为5元(起步价内行驶的里程是3 km),∴(0,3]对应的值都是5,∵以后毎1 km价为1.8元,不足1 km按1 km计价,∴3<x≤4时,y=5+1.8=6.8,4<x≤5时,y=5+1.8+1.8=8.6,选B. 7.D　解析:函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,即函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图像与x轴的交点一个在(-1,0)内,一个在(1,2)内,列出不等式组解得∴-<m<-,∴实数m的取值范围是,选D. 8.C　解析:由f(-4)=f(0)得16-4b+c=c,① 由f(-2)=-2得4-2b+c=-2,② 由①②得b=4,c=2,所以f(x)= 当x≤0时,由f(x)=x得方程x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2; 当x>0时,由f(x)=x得x=2,故方程共有3个解,选C. 9.ABC　解析:因为f(x)=x3+3x-2在R上是增函数,所以f(x)至多有一个零点,又因为f(0)=-2<0,f(1)=2>0,所以f(x)有且仅有一个零点且零点在(0,1)内,所以f(x)的正零点不可能在(3,4),(2,3),(1,2)内,故选ABC. 10.ABC　解析:因为f(x)的值域为{0,1},故AB成立,f(x)-x3=0只有一个根1,故C成立,选ABC. 11.ABCD　解析:设f(x)的零点分别为x1,x2,x3,则x1<x2<0<x3,设g(x)的零点为x4,x4>0.f(g(x))=0,即g(x)=x1,有一个解为正数,g(x)=x2,有一个解为正数,g(x)=x3有一个解为负数,故A正确;g[f(x)]=0,则f(x)=x4,根据图像知:函数最多有三个交点,故B正确;f[f(x)]=0,即f(x)=x1,可能为一个解,f(x)=x2,可能为三个解,f(x)=x3可能为一个解,故C正确;g[g(x)]=0,故g(x)=x4,故方程有且仅有一个解,D正确,选ABCD. 12.AD　解析:由图,方程f[g(x)]=1,-1<g(x)<0,此时对应4个解,故a=4; 方程g[f(x)]=-1,得f(x)=-1或者f(x)=1,此时有2个解,故b=2; 方程g[g(x)]=-,g(x)取到4个值,如图所示: 即-2<g(x)<-1或-1<g(x)<0或0<g(x)<1或1<g(x)<2,则对应的x的解,有6个,故c=6.根据选项,可得A,D成立,选AD. 13.2　解析:函数y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)零点的个数,即方程(x2-2x-3)(x2-2x+3)=0实数根的个数.由(x2-2x-3)(x2-2x+3)=0,即x2-2x-3=0或x2-2x+3=0,由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0得x=3或x=-1.由x2-2x+3=(x-1)2+2=0无实数根. 所以函数y=(x2-2x-3)(x2-2x+3)的零点有2个. 14.-4　解析:由于二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3,由韦达定理得,解得,因此,2a+b=2×(-5)+6=-4. 15.(1,3)　解析:设f(x)=x2-3ax+a2-1,由题知:解得1<a<3. 16.(-∞,-1]∪(0,1]　解析:函数y=x2-1的零点为±1. ①当a≤-1时,函数y=f(x)在区间(-∞,a)上无零点,则函数y=f(x)在区间[a,+∞)上有零点-a,可得-a≥a,解得a≤0,此时a≤-1;②当-1<a≤1时,函数y=f(x)在区间(-∞,a)上有零点-1,则函数y=f(x)在区间[a,+∞)上无零点,则-a<a,解得a>0,此时0<a≤1;③当a>1时,函数y=f(x)在区间(-∞,a)上的零点为±1,不合乎题意. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪(0,1]. 17.解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0; ②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 综上,f(x)= (2)图像如图所示. 单调增区间为(-∞,-1],[1,+∞), 单调减区间为(-1,1). (3)∵方程f(x)=2a+1有三个不同的解, ∴-1<2a+1<1, ∴-1<a<0. 18.解:(1)由题知:当x≤6时,f(x)=50x-115, 令50x-115>0,解得x>2.3,因为x∈N,所以3≤x≤6,x∈N. 当6<x≤20时,f(x)=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115,6<x≤20,x∈N, 所以f(x)= (2)当3≤x≤6,且x∈N时,f(x)=50x-115为增函数,所以f(x)max=f(6)=185元. 当6<x≤20,且x∈N时,f(x)=-3x2+68x-115=-3+, 当x=11时,f(x)max=270元. 综上所述,当每日自行车日租金定为11元时,日净收入最多,为270元. 学科网（北京）股份有限公司 $