作业15 学业水平测试-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、单项选择题 1.下列叙述正确的是 (　　) A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 D.数列是递增数列 2.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是 (　　) A. B. C. D. 3.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|为 (　　) A. B. C. D.4 4.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为 (　　) A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 6.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n= (　　) A.12 B.14 C.16 D.18 8.函数f(x)=x3-2x2在区间[-1,5]上 (　　) A.有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值- C.有最小值-,无最大值 D.既无最大值也无最小值 二、多项选择题 9.已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结论中,一定成立的是 (　　) A.|++|=|+-| B.|++|2=||2+||2+||2 C.(++)·=0 D.·=·=· 10.已知函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2x,则 (　　) A.f(x)-g(x)=2-x B.f(x)在定义域(-∞,+∞)上单调递增 C.f(x)的导函数f'(x)≥1 D.g(x)≥1 11.已知抛物线C的方程为y2=4x,过点P(2,0)的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的有 (　　) A.若直线l的斜率为2,则△OAB的面积为12 B.|AB|的最小值为4 C.+= D.若M(-2,0),则= 三、填空题 12.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,实数k=　　　　.  13.函数y=x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数,则a的取值范围是　　　　.  14.圆心在抛物线x2=2y上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为　　　　.  四、解答题 15.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn. 16.已知点A(1,2),B(2,1),C(2,3)在圆E上,过点P(1,0)的直线l与圆E相切. (1)求圆E的方程; (2)求直线l的方程. 17.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 18.已知点P在椭圆C1:+=1(a>0)上.设M,N是椭圆C1上的两个动点,且横坐标均不为0,若直线MN的斜率为,设直线PM与PN的斜率分别为k1,k2.证明:k1+k2为定值. 19.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 作业15　学业水平测试 1.D　由数列的通项an=知,an+1-an=-=>0,即数列是递增数列,故选D. 2.B　由得故交点坐标为. 3.C　∵|PF1|+|PF2|=4,|PF1|==,∴|PF2|=4-=. 4.C　两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2,由题意得=3+2,解得m=2或m=-5. 5.A　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,∴A(1,0,0),D1(0,0,2),D(0,0,0),B1(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,1,2).设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cos θ====. ∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 故选A. 6.C　∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 7.B　因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14. 8.B　f'(x)=x2-4x=x(x-4).令f'(x)=0,得x=0或x=4,∴f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,∴f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(4)=-. 9.ABD　由题可知,可作如图所示的长方体,设||=a,||=b,||=c. ++=+=+=,||=,+-=-=,||=,故A正确;|++|2==a2+b2+c2=|2+||2,故B正确;∵AD⊥平面ACEB,∴AD⊥BC,·=0,∴(++)·=(+)·=·,但无法判断AE和BC是否垂直,故C不一定正确;由图易知⊥,⊥,⊥,故·=·=·=0,故D正确.故选ABD. 10.BD　由f(x)+g(x)=2x得f(-x)+g(-x)=2-x,由于函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,所以-f(x)+g(x)=2-x,因此f(x)=,g(x)=,对于A,f(x)-g(x)=-2-x,故A错误;对于B,由于函数y=2x在(-∞,+∞)上单调递增,y=2-x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,f'(x)==≥=ln 2,当且仅当x=0时取等号,而ln 2<1,所以C错误;对于D,g(x)=≥=1,当且仅当x=0时取等号,所以D正确.故选BD. 11.BD　若直线l的斜率为2,则直线l的方程为y=2(x-2),即x=+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得y2-2y-8=0,所以y1+y2=2,y1y2=-8,所以△OAB的面积S=|PO||y1-y2|=|y1-y2|==6,故A错误;由题意知,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my-8=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8,所以|AB|===4=4≥4,当且仅当m=0时等号成立,故B正确;|AP|===|y1|,同理,可得|BP|=|y2|,则+=+====≠,故C错误;kAM+kBM=+=====0,即∠AMP=∠BMP,所以=,故D正确.故选BD. 12.1　解析:∵=++=7e1+(k+6)e2,且与共线,故=x,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又∵e1,e2不共线,∴解得故k的值为1. 13.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:由y'=x2-2ax+1有两个不相等零点,得Δ=(-2a)2-4>0得a2>1,解得a<-1或a>1. 14.(x±1)2+=1　解析:抛物线x2=2y的准线方程为y=-.设所求圆的圆心为(x0,y0),则=2y0,且|x0|=y0+,解得x0=±1,y0=,易得所求圆的半径为1,故所求圆的方程为(x±1)2+=1. 15.解:(1)∵an+2-2an+1+an=0, ∴an+2-an+1=an+1-an, ∴{an}是等差数列且a1=8,a4=2, ∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n. (2)设数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn=8n+×(-2)=9n-n2. ∵an=10-2n,令an=0,得n=5. 当n>5时,an<0; 当n=5时,an=0; 当n<5时,an>0. ∴当n>5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40, 当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2. ∴Tn= 16.解:(1)设圆E的圆心为E(a,b),半径为r,则圆 E:(x-a)2+(y-b)2=r2. 因为点A(1,2),B(2,1),C(2,3)在圆E上, 解得 所以圆E的方程为(x-2)2+(y-2)2=1. (2)当直线l与x轴垂直时,l:x=1符合题意. 当直线l与x轴不垂直时,设直线l:y=k(x-1),即kx-y-k=0. 圆心E(2,2)到直线l:kx-y-k=0的距离d==. 因为直线l与圆E相切,所以d=r,即=1,解得k=. 所以直线l的方程为y=(x-1),即3x-4y-3=0. 综上所述,直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0. 17.解:取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC得AE⊥BC, 从而AE⊥AD,AE===. 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0), N,=(0,2,-4), =,=. 设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则 即可取n=(0,2,1). 于是|cos<n,>|==. 设AN与平面PMN所成的角为θ,则sin θ=, ∴直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为. 18.证明:因为点P在椭圆C1:+=1(a>0)上, 所以+=1,得a2=4, 所以椭圆C1的方程为+=1, 设点M,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线MN的方程为y=x+m, 联立得x2+mx+m2-3=0, Δ=m2-4(m2-3)>0,且x1+x2=-m,x1x2=m2-3, 因为y1=x1+m,y2=x2+m, 所以k1+k2=+ =+ = ==0. 19.解:(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b-4=4, 所以a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2). 令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2. 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2). 学科网（北京）股份有限公司 $