作业13 导数与函数的单调性-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)上是增函数,则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图所示的是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断正确的是 (　　) A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数 B.在(1,3)上f(x)是减函数 C.在(4,5)上f(x)是增函数 D.在(-3,-2)上f(x)是增函数 3.函数f(x)=ln x-4x+1的单调递增区间为 (　　) A. B.(0,4) C. D. 4.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为 (　　) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0) D.(0,2) 5.已知函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式f'(x)≤0的解集为 (　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪[0,1]∪[5,6] 6.若a>0,且f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 (　　) A.(0,3) B.(0,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) 7.(多选)已知函数f(x)=xln(1+x),则 (　　) A.f(x)在(0,+∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点 C.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为0 D.f(x)是偶函数 8.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是 (　　) A. B. C.(-∞,3) D.(3,+∞) 二、填空题 9.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　.  10.若函数f(x)=ax3+x(a≠0)在R上是增函数,则a的取值范围是　　　　.  11.已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　.  三、解答题 12.求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间. 13.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若a>0,求函数f(x)的单调区间. 14.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为 (　　) A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 15.设f(x)=-x3+x2+2ax,若f(x)在上存在单调递增区间,则a的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=x2+2aln x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围. 作业13　导数与函数的单调性 1.A　f(x)=x3在(-1,1)上是增函数,但f'(x)=3x2≥0(-1<x<1),故甲是乙的充分不必要条件,选A. 2.C　由题图知当x∈(4,5)时,f'(x)>0,所以在(4,5)上,f(x)是增函数. 3.A　f(x)=ln x-4x+1的定义域是{x|x>0},f'(x)=-4=,当f'(x)>0时,解得0<x<,故选A. 4.D　f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的递减区间为(0,2). 5.A　不等式f'(x)≤0的解集即函数y=f(x)的减区间,由题图知y=f(x)的减区间为,,故f'(x)≤0的解集为∪. 6.B　由题意得,f'(x)=3x2-a≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,即a≤(3x2)min=3,又a>0,∴0<a≤3. 7.AC　由题意,x∈(-1,+∞),在f(x)=xln(1+x)中,f'(x)=ln(1+x)+,∴当x=0时,f(0)=0,f'(0)=0,∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为0,C正确;A项,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,A正确;B项,当-1<x<0时,ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+x)>0,当x>0时,ln(1+x)>0,f(x)=xln(1+x)>0,所以f(x)只有0一个零点,B错误;D项,函数的定义域为(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)不是偶函数,D错误.故选AC. 8.C　因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价为f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3). 9.(-2,4)　解析:由f(x)的导函数图象知,f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数. 当x≤0时,f(x)<1=f(-2),∴-2<x≤0, 当x≥0时,f(x)<1=f(4),∴0≤x<4. 综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4). 10.(0,+∞)　解析:f'(x)=3ax2+1,∵f(x)在R上为增函数,∴3ax2+1≥0在R上恒成立.又a≠0,∴a>0. 11.[-1,1)　解析:f'(x)≤0,即3x2-12≤0,得-2≤x≤2. ∴f(x)的减区间为[-2,2], 由题意得(2m,m+1)⊆[-2,2], ∴得-1≤m<1. 12.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=6x-=. 令f'(x)>0,即>0, ∵x>0,∴x>. ∴函数f(x)的单调递增区间是. 令f'(x)<0,即<0, ∵x>0,∴0<x<. ∴函数f(x)的单调递减区间是. ∴函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是. 13.解:(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2, ∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.又f(1)=3, ∴切点坐标为(1,3),∴所求切线方程为y-3=4(x-1), 即4x-y-1=0. (2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a), 由f'(x)=0得x=-a或x=. 又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<, 由f'(x)>0,得x<-a或x>, 故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为(-∞,-a)和. 14.C　设g(x)=,则g'(x)=. ∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0, 即函数g(x)在R上单调递减. ∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, 则不等式等价于g(x)<g(0). ∵函数g(x)单调递减, ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞). 15.　解析:f'(x)=-x2+x+2a=-+2a+,对f(x)在上存在单调递增区间,由题意知,只需f'=-++2a>0,a>-. 16.解:(1)f'(x)=2x+=, 函数f(x)的定义域为(0,+∞). ①当a≥0时,f'(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); ②当a<0时,f'(x)= 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下: x (0,) (,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ ↗ 由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞). (2)由g(x)=+x2+2aln x得g'(x)=-+2x+,由已知得函数g(x)在[1,2]上是减函数,则g'(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立. 即a≤-x2在[1,2]上恒成立. 令h(x)=-x2,在[1,2]上h'(x)=--2x=-<0,所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=-,所以a≤-. 故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $