作业(3) 等式与不等式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知x2-3x+1=0,则x+= (　　) A.3 B. C.-3 D.- 2.不等式x(4-x)<3的解集为 (　　) A.{x|x<1或x>3} B.{x|x<0或x>4} C.{x|1<x<3} D.{x|0<x<4} 3.已知a<0,关于x的一元二次不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为 (　　) A. B. C. D. 4.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 5.已知x,y>0且x+4y=1,则+的最小值为 (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 6.若m,n满足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,则+的值为 (　　) A. B.- C.- D. 7.若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg,则 (　　) A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q 8.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.已知6<a<60,15<b<18,则下列正确的是 (　　) A.∈ B.a+2b∈(21,78) C.a-b∈(-12,45) D.∈ 10.下列命题为真命题的是 (　　) A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b>0且c<0,则> D.若a>b且>,则ab<0 11.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中正确的有 (　　) A.ab≤1 B.+≤ C.a2+b2≥2 D.+≥2 12.如果a<b<0,那么下列不等式正确的是 (　　) A.< B.ac2<bc2 C.a+<b+ D.a2>ab>b2 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是　　　　　.  14.已知a+2b=1(a>0,b>0),则+的最小值等于　　　　　.  15.已知x>0,y>-1,且x+y=1,则+的最小值为　　　　　.  16.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2-7m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知关于x的一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R. (1)求函数f(m)=m+的最小值; (2)解关于x的一元二次不等式x2+(m-3)x-3m>0. 18.已知函数f(x)=x2+(3-a)x+2+2a+b,a,b∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<-4或x>2},求实数a,b的值; (2)若关于x的不等式f(x)<12+b的解集中恰有3个整数,求实数a的取值范围. 作业(三)　等式与不等式 1.A　解析:x2+1=3x变形为x+=3,选A. 2.A　解析:不等式x(4-x)<3化简为x2-4x+3>0,即(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3,选A. 3.B　解析:依题意ax2-(2+a)x+2>0可化为(ax-2)(x-1)>0,由于a<0,故不等式的解集为,选B. 4.A　解析:原一元二次方程可变为x2+(a+1)x=0,若方程有两个相等的实数根,则有Δ=(a+1)2=0,解得a=-1,选A. 5.B　解析:∵x,y>0且x+4y=1,∴+=(x+4y)=1+4++≥5+2=9. 当且仅当x=,y=时,等号成立,∴+的最小值为9.选B. 6.D　解析:∵m,n满足m2+5m-3=0,n2+5n-3=0,且m≠n,∴m,n可看作方程x2+5x-3=0的两个根. ∴m+n=-5,mn=-3, 所以+===. 故选D. 7.B　解析:由于函数y=lg x在(0,+∞)上是增函数,∵a>b>1,则lg a>lg b>0,由基本不等式可得P=<(lg a+lg b)=lg(ab)=lg<lg=R,因此,P<Q<R,选B. 8.B　解析:由ab=1知,m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值为4,选B. 9.AC　解析:A中,15<b<18⇒<<,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6×<a×<60×⇒<<4,故A正确;B中,30<2b<36,36<a+2b<96,故B错误;C中,-18<-b<-15,-12<a-b<45,故C正确;D中,=+1∈,故D错误,故选AC. 10.BCD　解析:选项A:当c=0时,不等式不成立,故本命题是假命题; 选项B:⇒a2>ab,⇒ab>b2,∴a2>ab>b2,所以本命题是真命题; 选项C:a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<, ∵c<0∴>,所以本命题是真命题; 选项D:>⇒->0⇒>0,∵a>b,∴b-a<0,∴ab<0,所以本命题是真命题,选BCD. 11.ACD　解析:由题:a>0,b>0,a+b=2,由基本不等式可得:ab≤=1,所以A正确;当a=b=1时,+=2>,所以B错误;a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=4,即a2+b2≥2,所以C正确;因为0<ab≤=1,所以≥1,≥2,≥2,即+≥2,所以D正确,选ACD. 12.CD　解析:∵a<b<0,∴b-a>0,a-b<0,ab>0. A.-=>0,故错误; B.ac2-bc2=c2(a-b),当c=0时,ac2-bc2=0,故错误; C.a+-=a-b+=(a-b)<0,故正确; D.a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0,故正确,选CD. 13.3　解析:∵关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(2m+3)2-4m2=12m+9>0, ∴m>-. ∵x1+x2=2m+3,x1·x2=m2, 又∵x1+x2=m2,∴2m+3=m2, 解得m=-1或m=3. ∵m>-,∴m=3. 14.2+2　解析:由题意得+=+=++2≥2+2=2+2,当且仅当a=b=-1时等号成立,所以+的最小值为2+2. 15.2+　解析:+=+,结合x+y=1可知原式=+,且+=×=≥=2+,当且仅当x=3-,y=-2+时等号成立,即+的最小值为2+. 16.(-1,8)　解析:因为+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8(当且仅当=时等号成立),因为x+2y>m2-7m恒成立,所以m2-7m<8,解得:-1<m<8. 17.解:∵x2+2mx+m+2≥0的解集为R, ∴Δ=4m2-4(m+2)≤0, 解得-1≤m≤2, ∴实数m的取值范围为[-1,2]. ∵-1≤m≤2, ∴1≤m+2≤4, ∴f(m)=m+=m+2+-2 ≥2-2=2-2, 当且仅当m+2=,即m=-2时取等号, ∴函数f(m)=m+的最小值为2-2. (2)x2+(m-3)x-3m>0可化为(x+m)(x-3)>0. ∵-1≤m≤2.∴-2≤-m≤1<3, ∴不等式的解集为(-∞,-m)∪(3,+∞). 18.解:(1)因为函数f(x)=x2+(3-a)x+2+2a+b,a,b∈R,f(x)>0的解集为{x|x<-4或x>2}, 所以-4,2是方程x2+(3-a)x+2+2a+b=0的两根. 由解得 (2)由f(x)<12+b,得x2+(3-a)x+2a-10<0. 令h(x)=x2+(3-a)x+2a-10, 则h(x)=(x-2)[x-(a-5)],所以h(2)=0. 故h(x)<0的解集中的3个整数只能是3,4,5或-1,0,1. 若解集中的3个整数是3,4,5,则5<a-5≤6,得10<a≤11; 若解集中的3个整数是-1,0,1,则-2≤a-5<-1,得3≤a<4. 综上,实数a的取值范围为[3,4)∪(10,11]. 学科网（北京）股份有限公司 $