作业11 数列的综合应用-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的 (　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n-1 B.an=2n C.an= D.an= 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,则an= (　　) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 4.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍): 第1行 1 第2行 2　　3 第3行 4　　5　　6　　7 … … 则第8行中的第5个数是 (　　) A.68 B.132 C.133 D.260 5.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),n∈N*,则S15+S22-S31的值是 (　　) A.13 B.-76 C.46 D.76 6.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an= (　　) A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n+1 D.4n-1 7.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为 (　　) A.11 B.99 C.120 D.121 8.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前99项和为 (　　) A.2100-101 B.299-101 C.2100-99 D.299-99 二、填空题 9.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是　　　　.  10.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=　　　　.  11.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 三、解答题 12.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-3an(n∈N*). (1)求a3,a4的值; (2)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. 13.设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 14.(多选)已知数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,其中bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,则下列四个结论中,正确的是 (　　) A.a1=2 B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{bn}的前n项和为Sn= D.数列{an}为递减数列 15.若数列{an}中,a1=3且an+1=(n是正整数),则它的通项公式an为　　　　.  16.设数列{an}满足a1=0且-=1,n∈N*. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=,记Sn=b1+b2+…+bn,证明:Sn<1. 作业11　数列的综合应用 1.C　解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 2.C　由an+1=2nan,得=2n,即··…=21×22×23×…×2n-1,即=21+2+3+…+(n-1)=,故an=a1=.故选C. 3.A　因为Sn=2an-4,所以n≥2时Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即=2,因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A. 4.B　前7行中共有1+2+22+…+26=27-1=127个数,则第8行中的第5个数是127+5=132. 5.B　S15=-4×7+a15=-28+57=29, S22=-4×11=-44, S31=-4×15+a31=-60+121=61, S15+S22-S31=29-44-61=-76. 故选B. 6.A　由题意,得an-an-1=2n-1,∴a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+21+22+…+2n-1==2n-1,即an=2n-1. 7.C　∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120. 8.A　由数列可知an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以,前99项的和为S99=(2-1)+(22-1)+…+(299-1)=2+22+…+299-99=-99=2100-101. 9.-3　解析:an≤an+1⇔n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)⇔λ≥-(2n+1),n∈N*⇔λ≥-3. 10.4-　解析:原递推公式可化为an+1=an+-,则a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,an=an-1+-,逐项相加得an=a1+1-,故an=4-. 11.1　121　解析:a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1,a2=3,再由an+1=2Sn+1,即an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,所以an+1=3an(n≥1),S5==121. 12.解:(1)a3=4a2-3a1=13,a4=4a3-3a2=40. (2)证明:∵an+2=4an+1-3an, ∴an+2-an+1=3(an+1-an). 又a1=1,a2=4, ∴=3, 则{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,3为公比的等比数列. (3)由(2)得an+1-an=3n, 则当n≥2时,an-an-1=3n-1, 故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1= 3n-1+3n-2+…+3+1==. 又a1=1适合上式,故an=,n∈N*. 13.解:(1)由已知,得当n>1时, an=[(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-3+22n-5+…+2)+2=22n-1, 而a1=2,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.(n∈N*) (2)由bn=nan=n·22n-1知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1,① 从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.　② ①-②得 (1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1, 即Sn=[(3n-1)22n+1+2]. 14.ACD　因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,所以当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),两式相减得(2n-1)an=2,所以an=,又因为当n=1时,a1=2满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=,故A正确,B错误;bn===-,所以Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=,故C正确;因为an=,随着n的增大,an在减小,所以数列{an}为递减数列,故D正确.故选ACD. 15.an=　解析:由题意知an>0,将an+1=两边取对数得lg an+1=2lg an,即=2,所以数列{lg an}是以lg a1=lg 3为首项,2为公比的等比数列,lg an=(lg a1)·2n-1=lg ,即an=. 16.解:(1)由题设-=1知,是公差为1的等差数列, 又=1,故=n, ∴an=1-. (2)证明:由(1)得bn===-, ∴Sn=1-+-+-+…+-=1-<1. 学科网（北京）股份有限公司 $