作业8 直线与圆锥曲线的位置关系-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点,则直线l与抛物线的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.若直线l:2x+by+3=0过椭圆C:10x2+y2=10的一个焦点,则b等于 (　　) A.1 B.±1 C.-1 D.±2 3.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有 (　　) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 4.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标x0=b,则k的值为 (　　) A. B.± C. D.± 5.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是 (　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法判断 6.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　) A. B. C. D. 7.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.6 8.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是 (　　) A. B. C. D. 二、填空题 9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=　　　　.  10.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.  11.已知椭圆+=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是　　　　.  三、解答题 12.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点? 13.已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程. 14.已知直线m:y=kx+1过椭圆+=1(0<b<a)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=1截得的弦长为l,若l≥,则椭圆离心率e的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 15.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是　　　　.  16.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点. (1)若|AB|=10,求实数m的值; (2)若OA⊥OB,求实数m的值. 作业8　直线与圆锥曲线的位置关系 1.D　当直线l与y轴平行或重合时,直线l与抛物线x2=2py(p>0)有一个交点,此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在,直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个交点时,直线l与抛物线相切. 2.B　因为椭圆x2+=1的焦点F1(0,-3),F2(0,3),所以b=1或b=-1. 3.B　因为双曲线方程为x2-=1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的有3条. 4.B　根据椭圆的离心率为,得=.由x0=b,得=b2=,所以y0=±,∴k==±=±. 5.B　直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+<1,所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 6.D　由题意可知,直线AB的方程为y=, 代入抛物线的方程可得4y2-12y-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-,故所求三角形的面积为××=. 7.A　由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知,当AB为通径,即|AB|=2p=4时为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 8.A　联立方程组可得即(m+n)x2-2nx+n-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则x0==,y0=1-x0=1-=,所以kOP===. 9.8　解析:因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 10.6　解析:由+=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,当且仅当x=2时,·取得最大值6. 11.　解析:由题意知a=2,所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8,因为|BF2|+|AF2|的最大值为5,所以|AB|的最小值为3,当且仅当AB⊥x轴时,取得最小值,此时A,B,代入椭圆方程得+=1,又c2=a2-b2=4-b2,所以+=1,即1-+=1,所以=,解得b2=3,所以b=. 12.解:直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,　③ 这个关于x的一元二次方程的判别式 Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)由Δ>0,得-3<m<3. 于是,当-3<m<3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)由Δ=0,得m=±3. 也就是当m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)由Δ<0,得m<-3或m>3. 从而当m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 13.解:方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在, 设直线AB的方程为y-1=k(x-2). 将其代入椭圆方程并整理, 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根, 于是x1+x2=. 又M为线段AB的中点, ∴==2,解得k=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 方法二　点差法 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, ∵M(2,1)为线段AB的中点, ∴x1+x2=4,y1+y2=2. 又A,B两点在椭圆上, 则+4=16,+4=16, 两式相减,得(-)+4(-)=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴=-=-=-, 即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0. 方法三　对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于点M(2,1)为线段AB的中点, 则另一个交点为B(4-x,2-y). ∵A,B两点都在椭圆上, ∴ ①-②,得x+2y-4=0. 即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0. 14.A　圆x2+y2=1的圆心到直线m:y=kx+1的距离为d=, ∵直线m:y=kx+1被圆x2+y2=1截得的弦长l≥, ∴2≥,即2≥, 解得d2≤,∴≤. ∴b=1且c==,即a2=1+, 则e2===≤,得e∈. 15.　解析:设直线x-y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1+x2=-8,y1+y2=2,直线AB的斜率 k==1. 由两式相减得 +=0, ∴=-×=1,∴=, 故椭圆的离心率e===. 16.解:由 得x2+(2m-8)x+m2=0. 由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8-2m,x1x2=m2, y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m. (1)因为|AB|==·=10, 所以m=,经检验符合题意. (2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0, 解得m=-8或m=0(舍去). 所以m=-8,经检验符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $