作业7 抛物线-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.已知定点A(1,1)和直线l:x+y-2=0,则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为 (　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为 (　　) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 4.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是2,则点P到该抛物线焦点的距离是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知AB是过抛物线y=2x2的焦点的弦,若|AB|=4,则AB的中点的纵坐标是 (　　) A.1 B.2 C. D. 6.已知抛物线C:y=的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,且|AF|=2y0,则x0= (　　) A.2 B.±2 C.±4 D.4 7.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 (　　) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 8.设A,B是抛物线y2=2x上异于原点的不同两点,则·的最小值为 (　　) A.1 B.-1 C.-2 D.-4 二、填空题 9.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=　　　　,准线方程为　　　　.  10.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　.  11.抛物线y2=12x上一点M的横坐标是3,纵坐标大于0,则点M到焦点的距离是　　　　.  三、解答题 12.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: (1)准线方程为y=; (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; (3)经过点(-3,-1); (4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 13.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程; (2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程. 14.(多选)抛物线τ:x2=2py(p>0)的焦点为F,且过点A(4,4),直线AC,AD分别交τ于另一点C和点D,kAC=-kAD,则下列说法正确的是 (　　) A.kCD=2 B.直线CD过定点 C.τ上任意一点到(0,1)和y=-1的距离相等 D.p=2 15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3︰1,则点A的坐标为　　　　. 16.如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标. 作业7　抛物线 1.D　因为点A(1,1)在直线l:x+y-2=0上,所以到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是过定点A且与直线l:x+y-2=0垂直的直线. 2.D　如图,设P为满足条件的一点,不难得出结论:点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,故点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故点P的轨迹为抛物线. 3.A　由题意知抛物线的准线方程为x=-.因为|AF|=x0,所以根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1. 4.D　根据题意,抛物线的标准方程为y2=8x,则抛物线的准线方程为x=-2.又点P到y轴的距离是2,则点P到准线的距离为4,故点P到该抛物线焦点的距离是4.故选D. 5.D　如图所示,设AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4,|PQ|==2,又|PQ|=y0+,∴y0+=2,∴y0=. 6.C　∵抛物线C:y=,∴x2=8y,∴焦点F(0,2),准线方程为y=-2.∵A(x0,y0)是C上一点,且|AF|=2y0,由抛物线的定义,得y0+2=2y0,∴y0=2,∴=16,∴x0=±4. 7.D　∵双曲线-=1的离心率为2,∴=2,即==4,∴=.抛物线x2=2py的焦点坐标为,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,即y=±x.由题意得=2,∴p=8.∴抛物线C2的方程为x2=16y. 8.B　设直线AB的方程为x=my+t,代入抛物线y2=2x,可得 y2-2my-2t=0,Δ=4m2+8t>0且t>0, 设A,B, 则y1+y2=2m,y1y2=-2t, ·=+y1y2=t2-2t=(t-1)2-1, 当t=1时,·取得最小值-1. 9.2　x=-1　解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以=1,p=2,准线方程为x=-=-1. 10.2　解析:双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),所以-=-,故p=2. 11.6　解析:y2=12x中,2p=12,p=6,焦点坐标是F(3,0). 方法一　将x=3代入y2=12x中,得y2=36,又M的纵坐标大于0,则y=6,所以M(3,6),则|MF|==6. 方法二　由焦半径公式知|MF|=3+=3+3=6. 12.解:(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴,且=,则p=,故所求抛物线的标准方程为x2=-y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. (3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=; 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=. 故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y. (4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4, 所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0). 当焦点为(0,-3)时,=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y; 当焦点为(4,0)时,=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 13.解:(1)因为顶点在原点,焦点在y轴上,点M(m,-3)位于第三或第四象限,故可确定所求抛物线的开口向下. 方法一　设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F. 因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,故 解得 所以m=±2,抛物线方程为x2=-8y,准线方程为x=2. 方法二　如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F,准线l:y=,作MN⊥l,垂足为N,则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+,所以3+=5,解得p=4.又点M在抛物线上,所以m2=24,解得m=±2.所以m=±2,抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2. (2)由题意,可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点F,直线l:x=,所以A,B两点的坐标分别为,,所以|AB|=2|a|. 因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以 a=±2. 故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 14.CD　抛物线τ:x2=2py(p>0)过点A(4,4),所以16=2p×4,p=2,故D正确;抛物线τ:x2=4y,τ上任意一点到F(0,1)和准线y=-1的距离相等,故C正确;设C(x1,y1),D(x2,y2),设kAC=k,则kAD=-k,所以AC的方程为y-4=k(x-4),即y=kx-4k+4,联立得x2-4kx+16k-16=0,当Δ>0时,xAx1=16k-16,得x1=4k-4,-k代换k,得到x2=-4k-4,所以kCD=====-2,故A错误;直线CD的方程为y-y1=-2(x-x1),即y=-2x+2x1+=-2x+2(4k-4)+=-2x+4k2-4,不过定点,故B错误.故选CD. 15.(2,±2)　解析:如图所示,由题意,可得|OF|=1, 由抛物线的定义,得|AF|=|AM|, 因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3︰1, 所以==3. 所以|AF|=|AM|=3|OF|=3。 设A,所以+1=3, 所以=2,解得y0=±2. 所以点A的坐标是(2,±2). 16.解:将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±. ∵>2,∴A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d, 由定义知|PA|+|PF|=|PF|+d. 由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为. 即|PA|+|PF|的最小值为, 此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2. ∴点P坐标为(2,2). 学科网（北京）股份有限公司 $