作业5 椭圆-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.经过点P(3,0),Q(0,2)的椭圆的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 2.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是 (　　) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 4.方程+=10化简的结果是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 5.与椭圆+=1有相同离心率的椭圆方程是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.对于曲线C:+=1,给出下面四个命题: ①曲线C不可能表示椭圆; ②“1<k<4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件; ③“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件; ④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件. 其中真命题的个数为 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,椭圆长轴长的最小值为 (　　) A. B. C.2 D.2 8.如图,椭圆+=1上的一点A关于原点的对称点为B,F为它的右焦点,若AF⊥BF,则△AFB的面积是 (　　) A.2 B.4 C.1 D. 二、填空题 9.已知椭圆+=1,过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,则|AB|=　　　　.  10.椭圆的长轴长是短轴长的2倍,它的一个焦点为(0,),则椭圆的标准方程是　　　　.  11.已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是　　　　.  三、解答题 12.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26; (2)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程. 13.已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率. (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质. 14.(多选)已知椭圆C的方程为+=1,F1,F2为C的左、右焦点,P为C上一点,且PF1⊥F1F2,若PF2交C于点Q,则 (　　) A.△PF1Q的周长为8 B.∠F1PF2< C.△QF1F2的面积为 D.|F1Q|= 15.如图,把椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的左焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=　　　　.  16.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点. (1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围. 作业5　椭圆 1.A　由题易知点P(3,0),Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点,故椭圆的焦点在x轴上,所以a=3,b=2,故椭圆的标准方程为+=1. 2.C　不妨设a>0,因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以c=2,所以a2=4+4=8,所以a=2,所以椭圆C的离心率e==. 3.D　方程x2+ky2=2可化为+=1,若焦点在y轴上,则必有>2,且k>0,即0<k<1. 4.C　由方程左边的几何意义及椭圆定义可知,方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,且c=4,a=5.所以b2=a2-c2=9,故化简结果为+=1. 5.A　方法一　分别算出离心率,进而判断,略. 方法二　椭圆+=1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大小完全一样,只是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同. 6.C　①当1<k<4且k≠2.5时,曲线C表示椭圆,所以①为假.②当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线表示圆,所以②为假.③若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5<k<4,所以“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件,所以③为真.④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<2.5,所以④为真.故选C. 7.D　由题意知,当椭圆上的点为短轴的一个端点时,三角形的面积最大,故·b·2c=1,即bc=1,c=,∴a2=b2+c2=b2+≥2,当且仅当b=1时取等号,∴a≥,∴2a≥2. 8.B　由椭圆的标准方程+=1,可得a=4,b=2,则c==2. ∵点A,B关于原点对称,F为椭圆的右焦点,AF⊥BF, ∴|AO|=|BO|=|OF|=2. 设A(x0,y0),则+=12,与+=1联立,消去x0并化简,可得=,即|y0|=, ∴S△AFB=2S△AOF=2××2×=4. 9.　解析:易求得a=5,b=4,所以|AB|===. 10.x2+=1　解析:依题意得2a=4b,c=,又a2=b2+c2,∴a=2,b=1,故椭圆的标准方程为x2+=1. 11.4　解析:设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,又∵|MF|=2,∴|ME|=8,又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=|ME|=4. 12.解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为2a=26,2c=10,所以a=13,c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 13.解:(1)由椭圆C1:+=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:+=1.性质如下: ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=. 14.AD　由题意,在椭圆C:+=1中,a=2,b=c=,不妨设P在x轴上方,则P(-,1),|PF1|=1,|PF2|=2a-|PF1|=3,cos∠F1PF2=<,所以∠F1PF2>,故B错误;△PF1Q的周长为4a=8,A正确;设|F2Q|=m,|F1Q|=4-m,在△PF1Q中,|F1P|2+|PQ|2-2|F1P|·|PQ|·=|F1Q|2,得1+(m+3)2-2×1×(m+3)×=(4-m)2⇒m=,所以|F1Q|=,D正确;|QF2|=|PF2|,所以==××2×1=,故C错误.故选AD. 15.35　解析:由椭圆的对称性及定义,知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|=2a,|P4F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a.因为a=5,所以所求式子的值为35. 16.解:(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c, 故C的离心率e==-1. (2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,则 |y|·2c=16,·=-1,+=1, 即c|y|=16　①, x2+y2=c2　②, +=1　③. 由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4. 由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2, 从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4. 当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P. 所以b=4,a的取值范围为[4,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $