作业3 直线的方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.(多选)下列四个结论,其中正确的有 (　　) A.方程y=x与方程=1表示同一条直线 B.直线y-1=k(x-2)恒过定点(2,1) C.直线x+y-3=0的倾斜角为135° D.过点(2,1),且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条 2.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是 (　　) A. B.- C.2 D.-2 4.(多选)对于直线l:x=my+1,下列说法错误的是 (　　) A.直线l恒过定点(1,0) B.直线l斜率必定存在 C.当m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 D.当m=时,直线l的倾斜角为60° 5.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是 (　　) 6.以点A(-3,0),B(3,-2),C(-1,2)为顶点的三角形是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 7.点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,则a+b= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.0 8.在平面直角坐标系中,直线y=2x+1关于y=x-2对称的直线l的方程为 (　　) A.x-4y-11=0 B.4x-y+11=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0 二、填空题 9.当a取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0恒过一个定点,这个定点的坐标为　　　　.  10.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值为　　　　.  11.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　.  三、解答题 12.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l'的方程: ①过点(-1,3),且与l平行; ②过点(-1,3),且与l垂直. 13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着点A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围; (2)求d取最大值时,两条直线的方程. 14.已知入射光线在直线l1:2x-y=3上,经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点,则点P到直线l3的距离为 (　　) A.6 B.3 C. D. 15.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是　　　　.  16.如图,直线l过点P(0,1),且分别与直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0交于B,A两点,线段AB恰被点P平分. (1)求直线l的方程; (2)设点D(0,m),且AD∥l1,求△ABD的面积. 作业3　直线的方程 1.BC　对于A,由方程y=x中的x∈R,而方程=1中的x≠0,所以两个方程表示不同的直线,故A错误;对于B,当x=2时,不管k为何值,总有y=1,所以直线y-1=k(x-2)恒过定点(2,1),故B正确;对于C,由x+y-3=0,得y=-x+3,即直线斜率为k=-1,所以其倾斜角为135°,故C正确;对于D,当直线在坐标轴上的截距都为0时,此时直线方程为y=x,当直线在坐标轴上的截距都不为0时,可设其方程为+=1,则+=0,解得a=3,此时直线方程为x+y-3=0,所以过点(2,1),且在两坐标轴上截距相等的直线有2条,故D错误.故选BC. 2.B　由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立.故方程有两相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在.设两根为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2,故选B. 3.B　由kPQ=kMN,即=,得m=-.经检验知,m=-符合题意. 4.BD　对于A,直线l:x=my+1恒过定点(1,0),A正确;对于B,当m=0时,直线l:x=1垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在,B错误;对于C,当m=2时,直线l:x=2y+1与x轴、y轴分别交于点(1,0),0,-,此时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为×1×-=,C正确;对于D,当m=时,直线l:x=y+1的斜率k=,因此倾斜角为30°,D错误.故选BD. 5.D　对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,而由l2得a>0,b>0.故选D. 6.C　|AB|====2, |BC|====4, |AC|===2, ∵|AC|2+|BC|2=|AB|2, ∴△ABC为直角三角形.故选C. 7.B　∵点P(a,b)关于l:x+y+1=0对称的点仍在l上,∴点P(a,b)在直线l上,∴a+b+1=0,即a+b=-1. 8.D　∵直线y=2x+1关于y=x-2对称的直线是直线l,联立得 ∴直线l过点(-3,-5). 在直线y=2x+1上取一点A(0,1), 设点A关于y=x-2对称的点为B(a,b), 则点B在直线l上. 设AB与直线y=x-2的交点为M,则M, ∴解得 ∴直线l过点(-3,-5)和(3,-2), ∴直线l的方程为=,整理得x-2y-7=0. 9.(-1,-2)　解析:直线方程可写成a(x+y+3)+2x-y=0,则该直线系必过直线x+y+3=0与直线2x-y=0的交点,即(-1,-2). 10.　解析:由于A,B,C三点共线,所以此直线的斜率既可用A,B两点的坐标表示,也可用A,C两点的坐标表示,于是=,由此可得a+b=ab,两边同时除以ab,得+=. 11.(5,-3)　解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小, 直线MP的方程为y-1=-(x-2), 解方程组得 ∴所求点的坐标为(5,-3). 12.解:方法一　①l的方程可化为y=-x+3, ∴l的斜率为-. ∵l'与l平行,∴l'的斜率为-, 又∵l'过点(-1,3),由点斜式可得方程为 y-3=-(x+1), 即3x+4y-9=0. ②∵l'与l垂直,∴l'的斜率为, 又l'过点(-1,3), 由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0. 方法二　①由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).将(-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. ②由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 13.解:(1)设经过A点和B点的直线分别为l1,l2, 显然当时,l1和l2的距离最大, 且最大值为|AB|==3, ∴d的取值范围为(0,3]. (2)由(1)知dmax=3,此时k=-3, 两直线的方程分别为3x+y-20=0或3x+y+10=0. 14.C　如图所示,结合图形可知,直线l1∥l3,则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离. 由题意知l1与l2关于x轴对称,故l2的方程为y=-2x+3,l2与l3关于y轴对称,故l3的方程为y=2x+3. 由两平行线间的距离公式,得l1与l3间的距离 d==. 即点P到直线l3的距离为. 15.8　解析:由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方, 所以(x2+y2)min==8. 16.解:(1)∵点B在直线l1上, ∴可设B(a,8-2a). 又P(0,1)是AB的中点, ∴A(-a,2a-6). ∵点A在直线l2上, ∴-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,即B(4,0), 故直线l的方程为x+4y-4=0. (2)由(1)知A(-4,2), 又AD∥l1,则kAD==-2, ∴m=-6,则D(0,-6), ∴点A到直线l1的距离为 d==, |AD|==4, ∴S△ABD=|AD|·d=×4×=28. 学科网（北京）股份有限公司 $