作业2 空间向量的应用-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

　 一、选择题 1.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 (　　) A.(0,1,2) B.(3,6,9) C.(-1,-2,3) D.(3,6,8) 3.若直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m为 (　　) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 4.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m= (　　) A.-2 B.2 C.10 D.6 5.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面α内,平面α内两共点向量,,下列关系中一定能表示l∥α的是 (　　) A.a= B.a=k C.a=p+λ D.以上均不能 6.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为 (　　) A.10 B.-10 C. D.- 7.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 (　　) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 8.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为 (　　) A. B. C. D. 二、填空题 9.在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-1,1).已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d=　　　　.  10.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论: ①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1); ②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1); ③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0); ④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是　　　　.(填序号)  11.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=　　　　.  三、解答题 12.如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证: (1)MN∥平面PAD; (2)平面QMN∥平面PAD. 13.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 14.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. 15.在空间直角坐标系Oxyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　.  16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由; (2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 作业2　空间向量的应用 1.B　由l1∥l2,得v1∥v2,得==,故λ=2. 2.B　向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线. 3.C　∵l∥α,平面α的法向量为, ∴(2,m,1)·=0.∴2+m+2=0.∴m=-8. 4.C　因为a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10. 5.D　A,B,C中均能推出l∥α或l⊂α,但不能确定一定能表示为l∥α. 6.B　因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10. 7.C　由题意知=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z),又PA⊥平面ABC,所以有·=(-1,-1,-1)·(x,-1,z)=0,得-x+1-z=0.　①,·=(2,0,1)·(x,-1,z)=0,得2x+z=0,　②,联立①②得x=-1,z=2,故点P的坐标为(-1,0,2). 8.C　线面角的范围是. ∵<a,n>=,∴l与法向量所在直线所成角为, ∴l与α所成的角为. 9.2　解析:d===2. 10.①②③　解析:DD1∥AA1,=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,∴④错. 11.　解析:平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则 即3x=4y=az,取z=1,则u=. 而cos<n,u>==,又∵a>0,∴a=. 12.证明:(1)如图以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0), 因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点, 所以M,N,Q, 所以=. 因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0), 且·m=0,即⊥m. 又MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD. (2)=(0,-d,0),⊥m, 又QN不在平面PAD内,所以QN∥平面PAD. 又因为MN∩QN=N,MN,QN⊂平面MNQ 所以平面MNQ∥平面PAD. 13.解:(1)证明:以A为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0),C1(,1,3),D1(0,3,3). 易知=(,1,0),=(-,3,-3), ∴·=0, ∴AC⊥B1D. (2)设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z), =(,1,0),=(0,3,3), 则即令x=1, 则y=-,z=, ∴平面ACD1的一个法向量为m=(1,-,), 设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ, ∵=(0,1,0),∴sin θ==, ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. 14.D　分别以PA,PB,PC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d==. 15.x-y+2z+1=0 解析:由题意知·n=0, 即x-y+2z+1=0. 16.解:(1)梯形ABCD中,AB与CD不平行, 延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下: 由已知得,BC∥ED,且BC=ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB. 又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE, 所以CM∥平面PBE. (2)由已知得,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD, 所以CD⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD, 所以CD⊥PD. 从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA⊥AB,PA⊥CD,AB∩CD=M,AB,CD⊂平面ABCD,可得PA⊥平面ABCD. 设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2. 作Ay⊥AD,以A为坐标原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), 所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2), 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z), 由得 取x=2,得n=(2,-2,1). 设直线PA与平面PCE所成角为α, 则sin α===. 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $