作业12 三角函数的图象与性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　为了调查学习强国平台的应用,某市组织了一次学习强国知识竞赛,统计局调查队从甲,乙两单位中分别随机抽取了部分职工的成绩,数据如下: 甲单位:88,87,91,93,91,92,88,90 乙单位:86,90,91,93 (1)根据数据.分别求出样本中甲,乙两单位职工成绩的平均数和方差,并判断哪个单位职工对学习强国知识的掌握更为稳定; (2)求被抽取的这12名职工成绩的平均数和方差. 【解析】　(1)甲单位职工成绩的平均数=(88+87+91+93+91+92+88+90)=90, 方差=[(88-90)2+(87-90)2+(91-90)2+(93-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(88-90)2+(90-90)2]=4. 乙单位职工成绩的平均数=(86+90+91+93)=90, 方差=[(86-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=6.5. ∵=,<, ∴甲单位职工对学习强国知识的掌握更为稳定. (2)∵甲单位职工的权重w甲=,乙单位职工的权重w乙=,由分层随机抽样的平均数和方差的公式可得,这12名职工成绩的平均数=×90+×90=90,这12名职工成绩的方差s2=w甲[+(-)2]+w乙[+(-)2]=×[4+(90-90)2]+×[6.5+(90-90)2]=. 【名师点睛】　利用统计量进行决策的方法 运用数字特征进行评价时,应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析,全面考虑各数字特征的优缺点,从不同层面或两两综合进行评价,才能得到较为可靠的估计. 一、选择题 1.如果想用统计图来反映各数据的变化趋势,比较合适的统计图是 (　　) A.条形图 　　　　 B.折线图 C.扇形图 D.其他图形 2. (多选)如图为某商场一天营业额的扇形统计图,根据统计图可知下列信息正确的有 (　　) A.家用电器部所得利润最高 B.服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元 C.副食的销售额为该商场营业额的10%左右 D.该商场家用电器销售额为全商场营业额的40% 3.比较甲、乙两名学生的数学学科核心素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是 (　　) A.乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力 B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 4.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2xn,下列结论正确的是 (　　) A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4 C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8 5.(多选)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,这5天中14时的气温数据(单位:℃)如下: 甲　28　26　29　31　31 乙　28　29　30　32　31 根据这些数据能得到的统计结论有 (　　) A.甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温 B.甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温 C.甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差 D.甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差 6.对某种灯泡随机地抽取200个样品进行使用寿命调查,结果如下: 寿命(天) 频数 频率 [100,200) 20 0.10 [200,300) 30 y [300,400) 70 0.35 [400,500) x 0.15 [500,600] 50 0.25 合计 200 1.00 规定:使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,小于300天是次品,其余的是正品.某人从这种灯泡中随机地购买了n(n∈N+)个,若这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层随机抽样所得的结果相同,则n的最小值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数为5,方差为2,另一组数据x5,x6,x7,x8,x9,x10的平均数为2,方差为3,则数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10的方差为 (　　) A.3.2 B.2.5 C.4.76 D.2.41 二、填空题 8.某市要对两千多名出租车司机的年龄(单位:岁)进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45]内, 根据调查结果得到司机的年龄情况的频率分布直方图(有残缺),如图所示,利用这个频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是　　　　岁,平均数大约是　　　　岁.  9.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图(如图),则此班的模拟考试成绩的80%分位数是　　　　分.(结果保留两位小数)  三、解答题 10.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示: (1)平均数和方差相结合,分析谁的成绩好些; (2)平均数和中位数相结合,分析谁的成绩好些; (3)平均数和命中9环及以上的次数相结合,分析谁的成绩好些; (4)从折线图上两人射击命中环数的走势,分析谁更有潜力. 11.某市2021年4月1日到4月30日对空气质量指数的监测数据如下: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)作出频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据国家标准,质量指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,空气质量为良;在101~150之间时,空气质量为轻度污染;在151~200之间时,空气质量为中度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量作出一个简短评价. 作业12　三角函数的图象与性质 1.A　易知不是关键点. 2.B　∵sin=-sin=-cos 2x, ∴f(x)=-cos 2x. ∴又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数. 3.D　当x=-时,y=-sinx取得最大值1,当x=时,y=-sinx取得最大值1,故选D. 4.D　由诱导公式知,只有④中,y=sin(2π+x)=sin x. 5.C　作出函数y=|cos x|的图象(图略),由图象可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C. 6.D　sin=cos,-cos=cos. ∵π>>->π->0,而y=cos x在[0,π]上单调递减, ∴cos<cos<cos, 即cos<sin<-cos.故选D. 7.C　令-2x=,k∈Z,得x=-. 令k=0,得x=; 令k=1,得x=-; 令k=2,得x=-.故选C. 8.B　设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象,如图所示.由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点,则方程x+sinx=0仅有一个根.故选B. 9.±π　T==2,∴|ω|=π,∴ω=±π. 10.∪∪　由题意,得x满足不等式组即作出y=cos x的图象,如图所示. 结合图象可得x∈∪∪. 11.[-4,4]　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1. 令tan x=t,则t∈[-1,1], ∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4. 当t=1,即x=时,ymax=4. 故所求函数的值域为[-4,4]. 12.解析:y=2sin=-2sin, 令z=x-,则y=-2sin z. 因为z是x的一次函数,所以要求y=-2sin z的单调递增区间,即求y=sin z的单调递减区间, 即2kπ+≤z≤2kπ+(k∈Z). ∴2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z), 即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴函数y=2sin的单调递增区间为(k∈Z). 13.解析:(1)当x∈时, 2x-∈,由函数图象知, f(x)=sin∈=. 所以,f(x)在上的最大值和最小值分别为1,-. (2)f(x)=-2(1-sin2x)+2sin x+3 =2sin2x+2sin x+1=2+. 因为x∈,所以≤sin x≤1. 当sin x=1时,ymax=5; 当sin x=时,ymin=. 所以,f(x)在上的最大值和最小值分别为5,. 14.C　作出y=sin x的一个简图,如图所示, ∵函数的值域为, 且sin=sin=,sin=-1, ∴定义域[a,b]中,b-a的最小值为-=, 定义域[a,b]中,b-a的最大值为2π+-=, 故可得,最大值与最小值之和为2π. 15.　∵f(x)=sinx的周期T==6, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015)+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018) =336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 017)+f(2 018) =336+f(336×6+1)+f(336×6+2) =336×0+f(1)+f(2) =sin+sinπ =. 16.解析:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=. 因为ω>0,所以ω=2, 从而f(x)=tan(2x+φ). 因为函数y=f(x)的图象关于点M对称, 所以2×+φ=,k∈Z, 即φ=+,k∈Z. 因为0<φ<,所以 φ=, 故f(x)=tan. (2)令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z, 得-+kπ<2x<kπ+,k∈Z, 即-+<x<+,k∈Z. 所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间. (3)由(1)知,f(x)=tan. 由-1≤tan≤, 得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z, 即-+≤x≤+,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $