4.2.1指数函数的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、特征及应用，通过细胞分裂、庄子木棰截取、碳14衰减三个现实情境问题导入，引导学生从具体实例中抽象函数关系，再归纳共性形成概念，构建“实例—抽象—定义—应用”的学习支架。 其亮点在于以现实与文化情境为载体，培养数学眼光（从现象抽象数量关系）、数学思维（归纳推理定义）和数学语言（符号表达模型）。例题涵盖概念辨析、求值及药物衰减、复利等应用，采用“问题驱动—归纳总结—应用拓展”方法，助学生深化理解，教师可高效开展概念教学与应用训练。

4.2.1 指数函数的概念 情景引入 问题1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？ …… 分裂次数 细胞个数 1次 2次 3次 4次 x次 …… 截取 次数 木棰 剩余 1次 2次 3次 4次 x次 问题2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭. ”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？ 情景引入 问题3.当生物死后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 死亡1年后，生物体内碳14含量为：(1-p)1 ...... 死亡2年后，生物体内碳14含量为：(1-p)2 死亡3年后，生物体内碳14含量为：(1-p)3 死亡5730年后，生物体内碳14含量为：(1-p)5730 情景引入 设生物的死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么. 即 解析：设年衰减率为p，刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位. 归纳总结 思考：函数y=2x，y=()x，有什么共同特征？ (1)都是y=ax的形式； (2)变量在指数位置； (3)底数是一个正的常数. 指数函数 概念讲解 指数函数 一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量 ，函数的定义域是R. 定义 注意：(1)底数a>0，且a≠1. (2)ax的系数为1.  (3)指数函数的指数为自变量x∈R.   思考：指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1? 例题讲解 例1 (1)下列函数中是指数函数的是( ) A.y=2·3x B.y=3x+1 C.y=3x D.y=(-2)x C (2)若函数y=(2a-1)x是指数函数，则a的取值范围是( ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞) C.∪(1，+∞) D. C 《精准讲练》P48 变式：将例1(2)中指数函数的解析式换为“y=(a2-3a+3)·ax”，则a的值为　　. 2 例2 已知指数函数f(x)＝ax(a>0, 且a≠1)，且f(3)=π. 求f(0)， f(1)，f(-3)的值. 例题讲解 练习：已知f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点P(2,4). (1)求a的值； (2)已知f(2x)-3f(x)- 4=0，求x. 例题讲解 例3 已知函数 是指数函数． (1)求 的表达式； (2)判断 的奇偶性，并加以证明. 例题讲解 例4 某种药物的含量在病人血液中以每小时 的比例递减. 现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( ) A. B. C. D. B 概念讲解 指数函数模型 (1)指数型函数：形如y=k·ax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数. (2)指数增长模型：设原有值为N，平均增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x(x∈N). (3)指数减少模型：设原有值为N，平均减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y=N(1-p)x(x∈N). 例5 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为10 000元，每期利率为，本利和为y(单位:元)，存期数为，则 关于 的函数解析式为______________________. 例题讲解 例题讲解 例6 (1)某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子.则第n代得到的种子数y与n的函数关系式为　　 　　　　，第5代得到的种子数为　　　　　　. y=120n-1(n∈N*) 2.073 6×108 (2)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%. 写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式. y=0.84x(x∈N*) 《精准讲练》P48 课堂小结 $