数学-【衡水真题密卷】2026年高三学科素养月度测评（一）

2025一2026学年度学科素养月度测评 光题 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x-1≤x<2},B={xx-1<2},则A∩B= () A.[-1,2) B.[-1,3) C.(-1,2) D.(2,3) 2.若角a的终边上有一点P(一2，m),且sina=- ,则m 5 ( A.4 B.±4 C.-1 D.±1 3.从2,4,8,16中任取两个数，分别记作a,b,则使1ogab为整数的概率是 ( 1 1 1 2 b.3 C.2 0.3 4已l。}=则coe+ π5 () B.、 5 c25 D.、26 5 5.在自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有 时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约，其增长符合 模型：N(t)=Noe,其中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体 数量.当t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4)=150,则N(10)=() A.300 B.450 C.600 D.750 1,x∈Q, 6.十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”D(x)= “狄利克雷函数”在 0,x∈CRQ, 现代数学的发展过程中起着重要作用.已知a,b∈R,则“D(a)≠D(b)”是“a≠b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题（一）第1页（共4页） 真题密卷·学 4-2x,x≤1， 7.已知函数f(x)= ,若f(x)的值域为[2，十∞)，则实数a的取值范 班级 1+log.(x+1),x>1, 围是 姓名 A.(1,2] B.（W2,2 C.(1,2] D.(2,2 8.已知正数a,b,c满足a+log4a=3,3b十log2b=8,5c十log2c=14,则 得分 A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是 A.数据5,9,12,17,26,27,19,29,14,30的第75百分位数为27 A已知随机变址XB,》,若E(X)-则m=4 C.已知回归直线方程为y=ax十7，若样本中心为（一5,22），则样本点(3，一2.5)处的残 差为-0.5 D.若变量x和y之间的样本相关系数r=一0.9989，则变量x和y之间的相关性很小 a,a≥b, 10.定义max{a,b}= 若函数f(x)=max{x2十x一6，一4x},则下列结论正确 b,a<b, 的是 () A.f(-1)=-4 B.f(a2+1)=a4+3a2-4 C.若直线y=t与f(x)的图象有3个交点，则t=0 D.若f(x)在区间[m,n]上的值域为[-4,0]，则n一m的最大值为3 11.已知实数a,b,c满足c>1且c2十ab=c十abc,则下列结论正确的是 A.a+b>2 B.若c=a+b,则3a+4b的最小值为7+43 C.1og2a+log2b|-log2(1+c2)的最大值为-1 D.若4c2一a4一b4=6,则c的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.已知a,b为单位向量，且a十7b= =之，则a,b的夹角为 18,若存在实数x,使得不等式x十1十2z-1≤名二成立，则实数。的取值范围是 斗素养月度测评 数学试题（一）第2页（共4页） 14.设x,y为实数，且满足 a-1)2+2025x=2024,则x+y= (y-1)2o25+2025y=2026, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数fx)=sin2x-sin2x+写)】 (1)求f(x)的最小正周期； 2)若x(3,）求f)的值城： (3)已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=3,若f(A)= 2 ,求△ABC的面积. 16.(15分)已知函数f(x)在（一1,1）上有意义，且对Hx,y∈(-1,1)，f(x)+f(y)= +恒成文 (1)求f(0)的值. (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论， (3)若fx)在(-1,1)上单调递减，且f(-2)=1,请问是否存在实数m,使得f(x)+ f(m)十1≥0恒成立？若存在，给出实数m的一个取值；若不存在，请说明理由. 17.(15分)已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若a1=1,S6=3a7. (1)求{am}的通项公式； (2)若bn=(一1)"a,求数列{bn}的前2n项和T2m· 数学试题（一）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)如图，在△ABC中，∠C=90,AB=2AC=4,AD=2AC,AE=AB,将 △ADE沿DE折起得到四棱锥A'-BCDE,且平面A'DE⊥平面BCDE. I)证明：四棱锥A'BCDE的高为 1 (2)求直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值. 19.17分>已知双曲线后若=1a>0b>0),A20,5(--c8}, x2 y2 D(一1,0)，E(4,0)五点中恰有三点在2上. (1)求2的方程. (2)设P是2上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点Q(m,0)(m<0),使得 ∠PQA十∠PAE=受若存在，求出点Q的坐标；若不存在，游说明理由 学科素养月度测评 数学试题（一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养月度测评 数学（一） 命题要素细目表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力Ⅳ.数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 ⅡⅢW V ① ②③④⑤⑥ 等级系数 1 单选题 5 集合的交集、绝对值不等式 0.80 单选题 单位圆上的点坐标、正弦值 0.80 单选题 组合数、对数性质 多 0.70 单选题 诱导公式、三角恒等变换 中 0.65 单选题 指数函数模型、倍增问题 中 0.60 单选题 特殊函数性质、充要条件 中 0.60 单选题 5 分段函数、对数函数 中 0.50 8 单选题 5 对数方程、比较大小 难 /0.40 百分位数、二项分布、线性回归、 9 多选题 6 相关系数 0.80 10 多选题 6 函数定义、函数值、函数图象 / 0.55 11 多选题 6 不等式性质、最值问题 0.40 填空题 5 单位向量、向量加法、向量夹角 易 0.75 三 填空题 绝对值不等式、参数范围 L L 0.50 14 填空题 函数的构造与性质 L 0.35 15 解答题 13 三角恒等变换、三角函数的周期 性、值域、解三角形 L 0.75 16 解答题 15 抽象函数的性质，函数单调性 应用 L 中 0.65 四 17 解答题 15 等差数列的通项公式与前n项 中 和公式 0.60 18 解答题 17 立体几何中的面面垂直性质，线 中 面角的求解 0.55 19 解答题 17 双曲线的方程求解，解析几何中 的定点问题 难 0.40 数学答案（一）第1页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 精典评析 TIANSHUJIAOYU 1,x∈Q, ★十九世纪德国数学家狄利克雷提出“狄利克雷函数”D(x) 狄利克雷函数”在现代数学 0,x∈CRQ, 的发展过程中起着重要作用.已知a,b∈R,则“D(a)≠D(b)”是“a≠b”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【试题解读】 第6题主要考查充分条件和必要条件的判断，同时涉及狄利克雷函数的理解，需要结合函数定义以及 充分、必要条件的逻辑关系来解题，考查学生对基本概念的掌握与运用能力， (x-1)2025+2025x=2024, ★设x,y为实数，且满足{ 则x十y= (y-1)2025+2025y=2026, 【试题解读】 第14题以指数高次幂等式为背景，形式上有一定创新性，需要学生突破常规解方程思路，转向函数角度 思考，强调知识的灵活迁移应用.引导学生体会函数与方程思想的紧密联系，培养学生遇到复杂等式时，通过 构造函数利用函数性质解题的意识，提升学生解决非常规问题的能力，加深对函数单调性等性质实际应用的 理解，符合高中数学对学生思维能力培养和核心素养提升的要求. 大17分已知双曲线n导-若=1a>05>0)A.0.B(-：,-.c8,）D(-10, E(4,0)五点中恰有三点在2上. (1)求2的方程. (2)设P是n上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点QOm,0)(m<0),使得∠PQA+2∠PAE= 2?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【试题解读】 第19题以双曲线为背景，融合了双曲线的性质、待定系数法、角度关系转化等多个知识点，第(2)问将 几何角度条件与双曲线动，点问题结合，形式新颖，需要综合运用解析几何与三角知识，对学生知识融合应 用能力要求高.引导学生深入理解双曲线的定义与性质，培养学生在解析几何问题中综合运用知识的能 力，提升学生将几何条件转化为代数语言的能力，强化数学核心素养中逻辑推理、数学运算、直观想象等的 培养，让学生体会解析几何问题中“几何直观一代数运算一逻辑推理”的解题思路，符合高中数学对学生综 合能力和核心素养提升的教学要求」 数学答案（一）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 一、选择题 l0g2x交点的横坐标 1.C【解析】由题意可得B={x||x-1<2}= y {x|-1<x<3},又A={x|-1≤x<2},则A∩B =(-1,2). 6 5 y 2.C【解析】由已知得sina= m x2+y√-2》}m 3 2 、 1 y-logx 5,解得m=一1 0人234x 3.B【解析】由题意得有序数对(a,b)可以为(2， 由于上述三条直线相交于点P(2,2),曲线y-log2x 4),(2,8),(2,16),(4,2),(4,8),(4,16),(8,2), 经过，点(2,1)，结合函数图象可得a>c>b. (8,4),(8,16),(16,2),(16,4),(16,8),共12 二、选择题 组，使10gb为整数的有序数对为(2,4)，(2,8)， 9.ABC【解析】对于A,先将这组数据由小到大排 《2,16),4,6,共4组，故概率P三多- 列：5,9,12,14,17,19,26,27,29,30，则这10个 4.B【解析】由题唐知，o(e+)=os受+(a 数的第75百分位数为第8个数27，故A正确；对 于B.由XB,号》可得ECX)-智-号部 5 得n=4,故B正确；对于C,将样本中心（一5,22） 5.C【解析】因为当t=3时，种群个体数量是起始 代入回归方程，得22=a(一5)十7，解得a=一3， 个体数量的2倍，所以N(3)=Ne3r=2N。,即 则y=一3x+7,当x=3时，y=-3×3十7= e3r=2,又N(4)=Noer=150,则N(10)= -2,故样本点(3，-2.5)处的残差为y一y= Noe1or=Noer·er=150×22=600. -2.5一(-2)=一0.5，故C正确，对于D,相关 6.A【解析】由题意可知，若D(a)≠D(b),则a卡 系数r=一0.9989，绝对值接近1，所以是负相 b;但当a≠b时，D(a)有可能等于D(b),如a= 关，且相关性强，故D错误 1,b=2,满足a≠b,但D(a)=D(b)=1,所以 10.ABD【解析】当x≤0时，x2+x-6-(-|4x|) “D(a)≠D(b)”是“a≠b”的充分不必要条件. =x2+x-6-4x=x2-3x-6,由于x≤0，令x2- 7.D【解析】当x≤1时，f(x)=4-2≥4-2=2，值 域为[2,4)；当x>1时，f(x)=1+log(x+1),由 3红-60，解得x<3质◆-3红一60，解 于f(x)的值域为[2，十∞)，则a>1且2≤1+ 得3，图0当>0时x2+x-6-（《-14红） 1og.(1+1)<4,即1≤1og.2<3,解得2<a≤2. 2 综上，实数a的取值范围是(2,2]. =x2+x-6+4x=x2+5x-6,由于x>0,令x2+ 8.D【解析】由a十log4a=3,得log2a=6-2a,由 5x-6>0,解得x>1;令x2+5x-6<0,解得0<x 此可得x=a是方程log2x=6一2x的根，也是直 x2+x-6x3-V 线y=6一2x与曲线y=log2x交点的横坐标.同 2或x>1, <1,所以f(x)= 理可得，b是直线y=8一3x与曲线y=log2x交 lM5ss. 点的横坐标：0是直线y=?-x与曲线y= 作出f(x)的大致图象如图所示： 数学答案（一）第3页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 1 log2=-1,故C错误；对于D,由4c2-a-b =6,得4c2=a4十b4+6≥2√ab+6=2a2b2+6 3-√33 =2c2+6,即c2≥3，当且仅当a2=b2=c=√3时 2 取等号，由c>1,得c≥3，故c的最小值为√3，故 -2 D正确. 三、填空题 12号760【锦折1a+动-号 =2两边平方得a2十 a.6 67 4 2=4又a=b=1,所以1+a…b+ 1、7 1 1 6-233 41 4则a·五—，所以cs<a,b>—ab 对于A,f(一1)=一|4×(-1)|=一4，故A正确； 1 对于B,因为a2+1≥1，所以f(a2+1)=(a2+1)2 是2又a,b∈0，同，所以a,b的夫角为 十(a2+1)一6=a4+3a2-4,故B正确；对于C,由图 13.[-2,1)【解析】令y=|x十1+2x-11,当 可知，若直线y=t与f(x)的图象有3个交点，则 x≤-1时，y=-3x+1;当-1<x≤1时，y= t=0或t=一4，故C错误；对于D,由图可知，当x< -x十3；当x>1时，y=3x-1,由函数的单调 3-√3 2 °时，由-4≤f(x)≤0，得-4≤x2+x-6≤ 性和连续性，可得当x=1时，ymin=2.由题意知 a-4 0,解得-3≤≤-2，当3)≤≤1时，由-4长 a-≥ym=2,解得-2≤a<l,即实教a的取 2 值范围是[-2,1) f(x)≤0，可得-4≤-|4x≤0，解得-1≤x≤1；当14.2【解析】依题意，设f(x)=x225十2025x,其 x>1时，由-4≤f(x)≤0，得-4≤x2十x-6≤0，解 定义域为R,因为y=x2025,y=2025x在R上 得1≤x≤2.当f(x)在区间[m,n]上的值域为 均单调递增，所以∫(x)在R上单调递增，又 [-4,0),且n-m取最大值时，[m,n]=[-1,2], f(-x)=(-x)2025+2025(-x)=-(x2025+ 故n-m的最大值为3，故D正确. 2025x)=一f(x),所以f(x)为奇函数， 11.ABD【解析】由c2+ab=c+abc,得(c-ab)· 1(x-1)2025+2025.x=2024, (c-1)=0,而c>1,则c=ab>1.对于A,a|+ 因为 (y-1)2025+2025y=2026, |b|≥2√abT>2,故A正确；对于B,若c=a十b 1(x-1)2025+2025(x-1)=-1, 1,1 所以 >1,则b=a+b,显然a6均为正数，即有。+方 (y-1)2025+2025(y-1)=1, f(x-1)=-1, 1网光+=+6店+)-告-华+7 即 f(y-1)=1, 所以f(y-1)=-f(x-1)=f(1-x),因为 ≥况6'a 。0.地+7=7+43，当且仅当0-0 ,即 f(x)在R上单调递增，所以y-1=1一x,即 a=23+362+5 x+y=2. -,b= 3 2 时取等号，故B正确；对 四、解答题 于C,显然1og2|a|+log2|b|-log2(1+c2)= 15.解：1)fx)=sin2z-sin(2x+】 1o=lke千a=lhg士由6≥1得 C +c =sin2z-sin2xcos-cos2xsin c 1十c>2,因此logaa+-log-log(1+c2)< -n2aos2a-ne-） 1 数学答案（一）第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 所以f(x)的最小正周期T= 2x-1=3 2 =元 (4分) 整理可得m≤-2c2十2， ②由于x(侣引 因为x∈(-1,1)，所以x-2∈(-3，-1)， 则2红-晋∈（←）， 所以3g+2E(-1,D,故m≤-1,13分) 这与m∈(-1,1)矛盾，故不存在. (15分) 故fx)=sin2z）(l], 17.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, ,6×5 即)值城(-小 (8分) 由S,=3a,得6a1+2d=3(a,+6d), 又a1=1,所以d=1, (3分) (3)因为fx)=sim2x-）, 故an=a1十(n-l)d=n, 因此{an}的通项公式为am=n. (6分) 苏以/)-smA-》- 2 (2)由bn=(-1)"a,得bn=(-1)”·n2 则T2n=b1十b2十b3十b4十…+b2m-1+b2m 又<A<经所以-8<2A-智<， 33 =-12+22-32+42+…+(-1)(2n-1)2+(2n)2 所以2A-3=3' ππ =(1+2)(2-1)+(3+4)(4-3)+…+(2n-1 +2n)[2n-(2n-1)] 所以A=务 =1+2+3+4+…+(2n-1)+2m 2n(1+2n) 又b=2,c=3, 2 =2n2+n 1 π_3√3 所以△ABC的面积S=2×2X3Xsin3-2, 所以数列{b,}的前2n项和T2m=2n2十n. (15分) (13分) 16.解：(1)取x=y=0得到f(0)十f(0)=f(0), 18.(1)证明：依题意可知cos∠BACG-, 故f(0)=0. (2分) 则∠BAC=60°， (2分) (2)f(x)为奇函数. 证明如下： 因为AB=2AC=4,AD=号AC,AE=7AB, 1 取y=-,由f)+f0)=f(+) 所以AD=AE=1, 所以△ADE与△ADE都是边长为1的正三角形. 得f(x)+f(-x)=f(0)=0, (4分) 即∫(x)=-f(-x), 取DE的中点M,连接A'M,则A'M⊥DE. 又函数定义域为（一1,1），故f(x)为奇函数. 又因为平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩ (8分) 平面BCDE=DE,A'M平面A'DE, (3)不存在 所以A'M⊥平面BCDE. (7分) 理由如下：由于f(x)十f(m)+1≥0， 3 即fa)tfm)+f(-2）≥0， 因为AM-怎所以四棱维以CDE的高为号 (8分) (2)解：如图，以直线CB为x轴，直线CD为y 即 ≥-f(m)=f(-m),(10分) 轴，MA'的方向为之轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系， 由于f(x)在(-1,1)上单调递减， 1 故 2+x ≤-m, (11分) 1-22 数学答案（一）第5页（共6页） 真题密卷 学科素养月度测评 则C(0,0,0),B(2√5,0,0)，E 因为∠PQA+日∠PAE-, 停》 所以2∠PQA十∠PAE=π， 所以2∠PQA=π-∠PAE, 所以2∠PQA=∠PAQ. (8分) 故C=(23,0,0),CA= W353 4’4’2 ①当PA⊥x轴时，因为A(2,0),所以P(2,3), A它-(5,1，-3 4’4-2 (11分) ∠PQA=7∠PAQ=, 在Rt△PQA中，QA|=|PA|, 设n=(x,y,z)为平面A'BC的一个法向量， 所以3=2-m,即m=-1,此时Q(-1,0) 则n·CB=n·CA'=0, (11分) 23x=0, 即55+3 4z+4y+2=0, 取之=5，得x=0,y=-23, 所以n=(0,-2√5,5)为平面A'BC的一个法 向量， (14分) (15分) 所以cos〈n,A它)= n·A它 -3√3 ②当PA不与x轴垂直时，假设Q(-1,0)满足 nA√37×1 2∠PQA=∠PAQ. 3√111 37 故直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值为 3√111 37 (17分) 19.解：(1)若A(2,0),D(-1,0),E(4,0)在双曲线 2上，则A(2,0),D(-1,0),E(4,0)只能是双曲 线2的顶点，所以A(2,0),D(-1,0),E(4,0)三 点中只能有一点是顶点，所以B,C都在双曲线2 设P(x0,yo),则3x-y=3, 上因为()c) tan∠PQA= yo xo+1' 所以B,C两点关于(0,0)对称， 2yo 由双曲线顶点的位置特征分析可知，D(一1,0) x十1 2y(x0+1) 所以tan2∠PQA= 在2上， 1- (x+1)2-y8 ”315) xo+1/ 将D(-1,0),B-2 代入双曲线2 2 2yo(xo+1) yo 的方-1 (x0十1)2-3x6+32-x' 又tan∠PAQ=2=xo 915 所以tan2∠PQA=tan∠PAQ, 可得 4a246-1, 解得a2=1,b2=3, 即2∠PQA=∠PAQ,所以假设成立.(15分) 1 a21, 故存在定点Q(-1,0),使得∠POA+2∠PaE-受 数0方程为苦-1 (5分) (17分) (2)假设存在定点Q满足题意， 数学答案（一）第6页（共6页）