八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷（浙教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【浙教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此依次分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， 则原变形成立，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， 则原变形不成立，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，该选项不合题意； 故选：． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：由图形知，中，边长为a的对角为，邻角为， 甲中，边长为a的对角为，∴甲中三角形与不一定全等； 乙中，，则边长为a的对角为，邻角为，∴乙中三角形与全等； 丙中，边长为a的对角为，邻角为，∴丙中三角形与全等； 综上可知：能和全等的是乙、丙， 故选：D． 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的关系，正确理解坐标系上点的性质是解题的关键． 由于平行于y轴，点M和点N的x坐标相同；根据和点M的坐标，可求出点N的y坐标；再结合点N在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：轴 点N的横坐标与点M的横坐标相同，即 ，即 或 或 又点N在第四象限 且 点的坐标为． 故选：B． 6．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据、的符号，分别判断出两个函数图象所经过的象限，注意分类讨论． 【详解】解：若、时， 则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限， 若、时， 则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限， 故选：D． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求解不等式组，根据一元一次不等式的整数解求参数的取值范围，掌握知识点是解题的关键． 先求解不等式组，得到解集为．由于恰好有4个整数解，且，整数解必为0，1，2，3．为确保恰好4个整数解，需满足在解集中而不在解集中，从而推导出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴； ∵， 展开得， 移项得， 两边乘得． ∴不等式组的解集为． ∵解集恰好有4个整数解，且， ∴整数解为0，1，2，3． 为确保在解集中，需，即； 为确保不在解集中，需． ∴的取值范围为． 故选C． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽六安·期中）若点在第四象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标特征及解一元一次不等式组，掌握第四象限内点的横坐标是正数、纵坐标都是负数成为解答本题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解； ∴的取值范围是． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据两直线平行，得到，再代入点求． 【详解】解：因为一次函数平行于直线， 所以． 于是一次函数的解析式为． 又因为一次函数的图象经过点， 所以， 解得：． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到坐标轴的距离公式，点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 故答案为：或1 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是遵循不等式的基本性质，正确进行去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的操作． （1）按照解一元一次不等式的步骤，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分． 【详解】（1）解： 去分母：两边同时乘以6，得． 去括号：． 移项：． 合并同类项：； （2）解： 解第一个不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解第二个不等式 去分母，两边同时乘以6，得， 去括号得， 移项、合并同类项得． 取两个不等式解集的公共部分，得． 不等式组的解集为． 18．（6分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 20．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称； （1）根据A的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系，写出坐标即可； （3）根据轴对称的特点画出关于y轴对称的图形即可； 【详解】（1）解：如图所示，平面直角坐标系即为所求；    （2）解：由作图可得，，； （3）解：如图所示，即为所求．    21．（10分）（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? (3)若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 【答案】(1)甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元 (2)该商店有6种进货方案 (3)购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元．根据题意，得 即可求解； （2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱．根据题意，得 即可求解； （3）设商品全部售出后获得的总利润为w元，根据题意，得．即可求解； 【详解】（1）解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． 根据题意，得 解得 答：甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元． （2）解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱． 根据题意，得 解得． 又∵m为正整数， ∴m可以取， ∴该商店有6种进货方案． （3）解：设商品全部售出后获得的总利润为w元， 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最大值为元， ∴． 答：购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元． 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 23．（12分）（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值 【详解】（1）解：∵ ∴ 整理得：； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是 在中， 在中， ∴ ∵ 则 解得 即 在中，由勾股定理，得 24．（12分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过点B作交延长线于点M，则 ，如图所示标注角度，根据等边对等角及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （3）过点B作交于N，同理得：，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）过点B作交延长线于点M，则，如图所示标注角度， ， ， ， ， 又由（1）得 ， ∴在和中 ，，， ， ， 又∵， ， ， 在和中， ，，， ， ， ，即； （3）过点B作交于N， 由（1）（2），同理得：，， ∴， 由(2)得 ， ∴， 在和中， ，，， ∴，     ∴， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【浙教版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）若，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，7，8 4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于的不等式组恰好只有4个整数解，那么的取值范围为（） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·安徽六安·期中）若点在第四象限，则a的取值范围为 ． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 13．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 16．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．若，，则线段 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）解不等式（组）： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 21．（10分）（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? (3)若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 23．（12分）（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 24．（12分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $