八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷（沪科版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【沪科版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 13．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ． 14．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 16．（8分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 17．（8分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 18．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 19．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 20．（10分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 21．（12分）（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 22．（12分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 23．（14分）（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据轴上点的纵坐标为的特征，建立方程求解． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：由图形知，中，边长为a的对角为，邻角为， 甲中，边长为a的对角为，∴甲中三角形与不一定全等； 乙中，，则边长为a的对角为，邻角为，∴乙中三角形与全等； 丙中，边长为a的对角为，邻角为，∴丙中三角形与全等； 综上可知：能和全等的是乙、丙， 故选：D． 4．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的关系，正确理解坐标系上点的性质是解题的关键． 由于平行于y轴，点M和点N的x坐标相同；根据和点M的坐标，可求出点N的y坐标；再结合点N在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：轴 点N的横坐标与点M的横坐标相同，即 ，即 或 或 又点N在第四象限 且 点的坐标为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据、的符号，分别判断出两个函数图象所经过的象限，注意分类讨论． 【详解】解：若、时， 则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限， 若、时， 则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限， 故选：D． 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．一次函数的斜率，那么随的增大而增大，由可知，选项B中，若，则且，结合，可得和，因此恒成立．其他选项可通过反例排除． 【详解】解：∵中，，且， ∴， 对于选项B： 若，则且， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取，则，但，，不满足； 选项C：取，则，但，，不满足； 选项D：取，则，但 ，，不满足； 因此，只有选项B正确， 故选：B． 9．某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出方案一中的OA和AB表示的解析式以及方案二的解析式，再进行比较即可得到结论． 【详解】解：在方案一中，设OA表示的解析式为，且 解得， 表示的解析式为：； 设表示的解析式为， 又， 解得，， 表示的解析式为：； 方案二的解析式为：； 当时， 故的图象与的图象无交点， 当时，， 所以，当时，两种方案购票总价相同． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点且平行于直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据两直线平行，得到，再代入点求． 【详解】解：因为一次函数平行于直线， 所以． 于是一次函数的解析式为． 又因为一次函数的图象经过点， 所以， 解得：． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到坐标轴的距离公式，点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点A的坐标是，若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 故答案为：或1 13．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故答案为：3． 14．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 16．（8分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 17．（8分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 18．（8分）（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上．    (1)请在所给的网格中建立平面直角坐标系，使顶点A的坐标为； (2)在（1）的平面直角坐标系中，直接写出其他两个顶点的坐标； (3)在（1）的平面直角坐标系中，画出关于y轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称； （1）根据A的坐标为，建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系，写出坐标即可； （3）根据轴对称的特点画出关于y轴对称的图形即可； 【详解】（1）解：如图所示，平面直角坐标系即为所求；    （2）解：由作图可得，，； （3）解：如图所示，即为所求．    19．（10分）（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图像如图： （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 20．（10分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； 故答案为：，； （2）①， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形； ②， 理由：由①知，， ， ， ， ， ． 21．（12分）（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 22．（12分）（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点Q是x轴上的动点，连接， 过点O作于点E； (1)如图1，求证：； (2)如图2，， 连接， 延长交于点D，点P是x轴上的动点(不与点Q重合)，且，连接．当点P、点Q在线段上，且点P在点Q的左侧时．求证：； (3)如图3，当点D在延长线上，且点P在点B右侧，Q在点O左侧运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；理由见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，理解题意，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过点B作交延长线于点M，则 ，如图所示标注角度，根据等边对等角及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （3）过点B作交于N，同理得：，，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）过点B作交延长线于点M，则，如图所示标注角度， ， ， ， ， 又由（1）得 ， ∴在和中 ，，， ， ， 又∵， ， ， 在和中， ，，， ， ， ，即； （3）过点B作交于N， 由（1）（2），同理得：，， ∴， 由(2)得 ， ∴， 在和中， ，，， ∴，     ∴， ， ． 23．（14分）（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：，， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接，   ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $