八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷（湘教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵米，米， ∴， ∴， 观察四个选项，唯有不满足这个范围， 故选：D 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解和化简求值，熟练掌握提取公因式和完全平方公式是解题的关键．将所求表达式因式分解为，然后代入已知值即可． 【详解】解： ， 又 ，， 原式， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，掌握将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键． 首先将方程右边的分母转化为与左边相同的分母形式，确定最简公分母为，然后两边同乘最简公分母，去分母得到整式方程． 【详解】解： 变形得． 方程两边同乘，得 ， 故选：A． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：由图形知，中，边长为a的对角为，邻角为， 甲中，边长为a的对角为，∴甲中三角形与不一定全等； 乙中，，则边长为a的对角为，邻角为，∴乙中三角形与全等； 丙中，边长为a的对角为，邻角为，∴丙中三角形与全等； 综上可知：能和全等的是乙、丙， 故选：D． 6．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的分式方程的解为2，那么m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查分式方程的解，先将代入分式方程中得到关于m的方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴，解得， 故的值为10， 故答案为：10． 12．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故答案为：3． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）运用分组分解法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）去分母化为整式方程求解，并检验分母是否为零即可； （2）去分母化为整式方程，求解后检验发现增根，因此无解． 【详解】（1）解：， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 即， 解得：． 检验：当时，分母，且， 所以是原方程的解． （2）解：， 方程化为， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 解得：， 检验：当时，分母，无意义， 所以是增根，原方程无解． 19．（8分）（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）（1）计算： ①； ②； （2）化简求值： ，． 【答案】（1）① ；② ； （2）， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键． （1）①先计算二次根式乘法、计算零指数幂，再进一步计算即可； ②先化简二次根式、计算负整数指数幂、化简绝对值，再进一步计算即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 【详解】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2） ， 当时，得 ， 原式 ． 20．（8分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 21．（10分）（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 22．（10分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 【答案】(1)A采血点运送车辆的平均速度是，B采血点运送车辆的平均速度是 (2)B采血点采集的血液不会变质 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，理解题意，确定相等关系列出正确的方程是解本题的关键． （1）设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，再根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时”建立分式方程求解即可； （2）由采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可． 【详解】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为； （2）解：采血点运送车辆的行驶时间为． 依题意，， ∴采血点采集的血液不会变质． 23．（12分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； 故答案为：，； （2）①， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形； ②， 理由：由①知，， ， ， ， ， ． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 25．（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：，， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接，   ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·培优卷 【湘教版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么间的距离不可能是（   ） A．11米 B．15.8米 C．26米 D．米 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 6．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 7．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的分式方程的解为2，那么m的值为 ． 12．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为 ． 13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 15．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，满足，则的值为 ． 16．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·辽宁营口·阶段练习）因式分解： (1) (2) 18．（6分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）解方程： (1) (2) 19．（8分）（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）（1）计算： ①； ②； （2）化简求值： ，． 20．（8分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 21．（10分）（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·河北石家庄·期中）义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 23．（12分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 24．（12分）（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 25．（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $