专题05 一次函数（14大类基础+5大类提升）（高效培优期末专项训练）数学浙教版2024八年级上学期

专题05 一次函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 用关系式表示变量间的关系 1 题型2 用图象表示变量间的关系 2 题型3 函数图像的识别 2 题型4 函数的概念 3 题型5 从函数的图象获取信息 3 题型6 求一次函数自变量或函数值 7 题型7 求一次函数的解析式 7 题型8 正比例函数的性质 7 题型9 已知函数经过的象限求参数范围 8 题型10 根据一次函数解析式判断其经过的象限 8 题型11 一次函数平移问题 9 题型12 一次函数的性质 9 题型13 一次函数与不等式的问题 10 题型14 一次函数与二元一次方程组问题 10 【优选提升题】 11 题型1 动点问题的函数图象 11 题型2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 12 题型3 一次函数的实际应用 13 题型4 一次函数与几何综合 17 题型5 一次函数中新定义问题 19 【经典基础题】 题型1 用关系式表示变量间的关系 1．如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 题型2 用图象表示变量间的关系 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 2．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（   ） A．B． C． D． 题型3 函数图像的识别 1．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A．B．C． D． 2．匀速向如图所示的烧瓶中注水，直到把容器注满．在注水过程中，下列图象能正确描述水面高度h随时间t的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 题型4 函数的概念 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ）． A．B． C． D． 2．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 题型5 从函数的图象获取信息 1．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 2．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．小明在某次降水中使用了以下三个雨量器的其中一个（雨量器由三个圆柱构成，无盖，底面半径由小到大之比为），其水面高度随时间t的变化规律如图所示，则该次降雨量最接近（    ） A． B． C． D． 3．某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题： (1)机动车行驶__________小时后，在途中加油站加油__________升． (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有300千米，车速为60千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 4．王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示．刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚一段时间出发，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段所示． (1)刘叔叔到达甲地后，再经过　　　小时，王叔叔到达乙地； (2)王叔叔骑自行车的速度是　　　千米/时（不包括休息时间），刘叔叔开车的速度是　　　千米/时； (3)王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距 15 千米？ 5．小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整． (1)在取值范围内取和的几组对应值列表如下： 其中 ______， ______． (2)根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象． (3)观察图象，写出该函数的两条性质：①______，②______． (4)进一步探究： ①不等式的解是______． ②若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 题型6 求一次函数自变量或函数值 1．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 3．已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 求一次函数的解析式 1．已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 2．已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 3．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 题型8 正比例函数的性质 1．若函数的图象经过第二、四象限，则的值可以为（    ） A．0 B．3 C．2 D． 2．已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 题型9 已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 2．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 3．若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 题型10 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．已知一次函数，且，则它在直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 3．两条直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的（    ） A．B．C． D． 题型11 一次函数平移问题 1．把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是 ． 2．已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 3．将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 题型12 求一次函数的性质 1．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C．图象不经过第二象限 D．点和都在该函数图象上，若，则 2．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 3．一次函数图象与x轴交于点，已知点，点均在此函数图象上．若，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 题型13 一次函数与不等式的问题 1．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是 ． 3．同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 题型14 一次函数与二元一次方程组问题 1．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【优选提升题】 题型1 动点问题的函数图象 1．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 1．如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型3 一次函数的实际应用 1．某经销商计划用40000元一次性采购A，B两种计算器共100 台，这两种计算器的进价和售价如下表： A品牌计算器 B品牌计算器 进价(元/台) 700 100 售价(元/台) 900 160 设经销商购进A品牌计算器x台，售完这批计算器获利y元． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)若要求售完后获利不少于12720元，该经销商有哪几种进货方案？ 2．如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 3．阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．    素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式； 任务2 求素材2的图象中a的值； 任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 4．数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 5．已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 6．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 题型4 一次函数与几何综合 1．如图，平面直角坐标系中，正方形顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 2．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 3．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 4．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． (1)求k，m的值； (2)如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 题型5 一次函数中新定义问题 1．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数．已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 用关系式表示变量间的关系 1 题型2 用图象表示变量间的关系 2 题型3 函数图像的识别 3 题型4 函数的概念 4 题型5 从函数的图象获取信息 5 题型6 求一次函数自变量或函数值 7 题型7 求一次函数的解析式 9 题型8 正比例函数的性质 11 题型9 已知函数经过的象限求参数范围 11 题型10 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13 题型11 一次函数平移问题 15 题型12 一次函数的性质 15 题型13 一次函数与不等式的问题 17 题型14 一次函数与二元一次方程组问题 19 【优选提升题】 25 题型1 动点问题的函数图象 25 题型2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 26 题型3 一次函数的实际应用 31 题型4 一次函数与几何综合 41 题型5 一次函数中新定义问题 49 【经典基础题】 题型1 用关系式表示变量间的关系 1．如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 【详解】解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 题型2 用图象表示变量间的关系 1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 2．如图，这是一家游泳池的横断面示意图，分深水区和浅水区，现游泳池刚清理消毒完毕，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解题关键是能看懂图中容器． 先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，由此判断进水的快慢，再作出选择． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：D． 题型3 函数图像的识别 1．长方体水槽里面放有一酒瓶，示意图如图所示，现向水槽内匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x的关系是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据水槽的横断面示意图，可知注水速率不变时，水面上升的快慢取决于当时水面所“拥有”的横截面积大小，瓶底较窄，水初淹没瓶底时，周围可盛水的面积较大，水面上升较慢；随着瓶身最鼓处被淹没，瓶子占去的空间最大，水可盛放的面积减小，水面上升加快；继续往上到瓶颈较细处时，瓶子占用的面积又变小，水面上升又转慢，故水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由水槽的横断面示意图可得，水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：B． 2．匀速向如图所示的烧瓶中注水，直到把容器注满．在注水过程中，下列图象能正确描述水面高度h随时间t的变化规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，正确识图是解题的关键． 根据烧瓶分三部分，最下边是“球肚”状、上边是圆柱，即可判断求解， 【详解】解：在球形底部部分，随着水位的升高，接触水的横截面积逐渐增大．在开始时，由于横截面积较小，同样的注水量会导致水面高度迅速上升，但随着水位的增加，横截面积变大，水面高度的上升速度会逐渐减慢，到球形瓶身最粗以后横截面逐渐变小，速度再变快． ∴水面高度随时间的变化曲线应该是先快速上升，然后逐渐变缓，再变快， 当水位到达细长圆柱部分时，横截面积保持不变，因此水面高度将随时间以恒定的速度上升，直到容器被注满． ∴水面高度随时间的变化曲线应该是直线， 选项 C 显示了初始阶段曲线变化较大，随后逐渐变小，进入圆柱部分后变为一条直线，这符合烧瓶的结构特点．其他选项不符合这一变化规律． 故选：C． 题型4 函数的概念 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】根据函数的概念，可知对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应； D选项，当取值时，有不止一个值与之对应，故D不能表示是的函数． 故选：D． 2．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量，若对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，那么是的函数，据此求解即可． 【详解】解：A、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意； C、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故不是的函数，不符合题意； D、对于x的任意值，y都有唯一值与之对应，故是的函数，符合题意； 故选：D． 题型5 从函数的图象获取信息 1．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（   ） A．小丽家到便利店距离500米 B．小丽在便利店停留了5分钟 C．小丽步行的速度是 D．小丽骑共享单车的速度是步行速度的1.5倍 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．根据图象逐项分析即可． 【详解】解：由图象可得， A．小丽家到便利店距离，正确； B． ∴小丽在便利店停留了5分钟，正确； C． ∴小丽步行的速度是，正确； D．小丽骑自行车的速度为 ∴ ∴小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故选项错误． 故选：D． 2．降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．小明在某次降水中使用了以下三个雨量器的其中一个（雨量器由三个圆柱构成，无盖，底面半径由小到大之比为），其水面高度随时间t的变化规律如图所示，则该次降雨量最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对降雨量的定义理解，圆柱体积公式的应用，比例关系的处理以及对折线图的识别．值得注意的是“降雨量”是雨水在水平面上积聚的水层深度，仅由“总雨水体积”和“水平投影面积（取最大底面积）”决定，与容器具体形状（分段圆柱）无关．本题需要先通过折线图识别出“雨量器”，再计算总雨水体积，确定水平投影面积，即可计算降雨量． 【详解】解：由折线图可知小明选择的第二个雨量器． 三个圆柱半径由小到大之比为， 设三个圆柱半径分别为、、 总雨水体积 降雨量的“水平投影面积”取雨量器最大底面面积即， 降雨量更接近22mm． 故选：C． 3．某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量（升）与行驶时间（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题： (1)机动车行驶__________小时后，在途中加油站加油__________升． (2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有300千米，车速为60千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)5，24 (2) (3)够用，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象的应用，函数关系式，有理数加、减、乘、除的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油升，计算求解即可； （2）由图可知，出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升），则每小时耗油量为（升），进而可求函数关系式； （3）由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米），由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由图得机动车行驶5小时后，在途中加油站加油（升）， 故答案为：5，24． （2）解：出发前油箱内余油量为42升，行驶5小时后余油量为12升，共用去（升）， ∴每小时耗油量为（升）， ∴； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米）， ∵， ∴油箱中的油够用． 4．王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示．刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚一段时间出发，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段所示． (1)刘叔叔到达甲地后，再经过　　　小时，王叔叔到达乙地； (2)王叔叔骑自行车的速度是　　　千米/时（不包括休息时间），刘叔叔开车的速度是　　　千米/时； (3)王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距 15 千米？ 【答案】(1)1 (2)15；60 (3)小时或小时 【分析】本题考查根据图象解决实际问题，读懂图象，找出相关信息是解题的关键． （1）由图可知，刘叔叔在王叔叔出发8小时时到达甲地，王叔叔出发9小时到达乙地，据此即可求解； （2）根据速度＝路程÷时间即可求解； （3）设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距 15 千米，分两人相遇前或相遇后相距15千米两种情况，分别列方程求解． 【详解】（1）解：（小时） 即刘叔叔到达甲地后，再经过1小时，王叔叔到达乙地． 故答案为：1 （2）解：由图可知，从甲地到乙地共千米，王叔叔骑车共用（小时）， 所以王叔叔骑自行车的速度是（千米/时）， 刘叔叔开车共用（小时）， 速度是（千米/时）， 答：叔叔骑自行车的速度是15千米/时（不包括休息时间），刘叔叔开车的速度是60千米/时． 故答案为：15；60 （3）解：设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距 15 千米， 若两人在相遇前相距15千米，则 ， 解得， 若两人在相遇后相距15千米，则 ， 解得， 答：王叔叔出发小时或小时后与刘叔叔相距 15 千米． 5．小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整． (1)在取值范围内取和的几组对应值列表如下： 其中 ______， ______． (2)根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象． (3)观察图象，写出该函数的两条性质：①______，②______． (4)进一步探究： ①不等式的解是______． ②若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①函数的图象关于直线对称；②当时，随的增大而减小 (4)①且；② 【分析】本题考查了函数的图象和性质、函数与不等式的关系，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论． （1）把代入解析式即可求得的值，把代入解析式即可求得的值； （2）根据表格中的数据画出函数图象即可； （3）观察函数图象，即可得到函数的两条性质； （4）①结合函数图象求解即可；②结合函数图象求解即可． 【详解】（1）把代入得，， ， 把代入得，， 解得或， ， 故答案为：，； （2）补全函数的图象如图： （3）由函数图象可知：函数的图象关于直线对称， 当时，随的增大而减小， 故答案为：函数的图象关于直线对称；当时，随的增大而减小； （4）根据图象可得：不等式的解是且； 根据图象可得，当直线过点时，直线与函数的图象有两个交点， 把点代入得， 若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是． 故答案为：且；． 题型6 求一次函数自变量或函数值 1．下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，故点不满足， A选项错误． B、当时，，故点不满足， B选项错误． C、当时，，故点满足， C选项正确． D、当时，，故点不满足，D选项错误． 故选：C． 2．下列各点在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解答的关键．判断点是否在直线上，需验证点的坐标是否满足直线方程，故将各选项的x值代入方程，计算对应的y值进行判断即可． 【详解】选项A：当时，，与点的y值相等，满足方程，故点在直线上，符合题意； 选项B：当时，，与点的y值不相等，不满足方程，故点不在直线上，不符合题意； 选项C： 当时，，与点的y值不相等，不满足方程，故点不在直线上，不符合题意； 选项D：当时，，与点的y值不相等，不满足方程，故点不在直线上，不符合题意； 故选：A． 3．已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 题型7 求一次函数的解析式 1．已知一次函数的图象过点． (1)求的值； (2)试说明两点是否在函数图象上． 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （2）由（1）可知一次函数解析式为，然后分别令和1进行求解即可 【详解】（1）解：∵一次函数图象过点． ∴， 解得； （2）解：由（1）可知：一次函数解析式为， ∴当时，；当时，． ∴点在函数图象上，点不在函数图象上． 2．已知与成正比例，且当时，．求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)若点，在该一次函数的图象上，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据一次函数的增减性，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：设， 将，代入得， ， 解得， ∴， 整理，得． 即y与x之间的函数表达式为． （2）∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，在该一次函数的图象上，且， ∴， ∴． 3．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的平移． （1）将代入即可求出m的值，将A点坐标代入即可求出k的值； （2）设点坐标为，则点平移后得到的点坐标为，点代入计算求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）将代入， 得， 将代入， 得， 解得； （2）已知点在函数图象上，设点坐标为， 则点平移后得到的点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 所以点坐标为． 题型8 正比例函数的性质 1．若函数的图象经过第二、四象限，则的值可以为（    ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质．由正比例函数的图象经过的象限判断出k的取值范围，由此即可确定最后的答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴k的值可以为， 故选：D． 2．已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的增减性，熟练掌握时，y随x的增大而减小是解题的关键．根据正比例函数y随x的增大而减小可作出判断． 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， 又∵点和点中，， ∴， 故选：A． 题型9 已知函数经过的象限求参数范围 1．已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 2．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、四象限；的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 分两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：分两种情况考虑： 当一次函数的图象经过第二、四象限时，得 解得：； 当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，得 ， 解得：． ∴k的取值范围是． 故答案为：． 3．若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 题型10 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．已知一次函数，且，则它在直角坐标系内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象，根据解析式中k的值及b的值直接判断即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象过一、三、四象限， 故选：D． 2．一次函数（为常数，）部分自变量的值与函数值的对应关系如下表，则这个函数的图象可能是（   ）． … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，从表中可以看出，自变量和函数值的关系，即可判定． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加个单位，函数值减小， ∴这个函数的图象可能是C， 故选：C． 3．两条直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是下图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．由一次函数图象与性质得到的正负，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、对于直线，则，，对于直线， ，，本选项符合题意； B、对于直线，则，，对于直线， ，，本选项不符合题意； C、对于直线，则，，对于直线， ，，本选项不符合题意； D、对于直线，则，，对于直线， ，，本选项不符合题意； 故选：A． 题型11 一次函数平移问题 1．把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减” ．直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把直线向下平移1个单位长度，所得直线的解析式是． 故答案为：． 2．已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．先结合直线是由直线平移得到的，则，故，再令，求出对应的的值，即可作答． 【详解】解：∵直线是由直线平移得到的， ∴， 故， 令，所以， 解得， 即直线与轴的交点坐标是， 故答案为： 3．将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是， 故选：A． 题型12 求一次函数的性质 1．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36 C．图象不经过第二象限 D．点和都在该函数图象上，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图像及其性质及一次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图像与坐标轴交点的求法是解题的关键． 令，即可确定图象与轴的交点是；令，图象与轴的交点是，便可求出图象与坐标轴形成的三角形的面积，根据一次函数性质即可判断C、D选项． 【详解】解：A．令，则，即，图象与轴的交点是，故本选项不符合题意； B．令，则，图象与轴的交点是，则图象与坐标轴形成的三角形的面积为，故本选项不符合题意； C．一次函数，，，则图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项不符合题意； D．一次函数，，函数值随自变量的增大而减小，所以若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 2．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数增减性，再结合点的横坐标大小比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵直线中， ∴函数值随增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 3．一次函数图象与x轴交于点，已知点，点均在此函数图象上．若，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵一次函数图象与x轴交于点， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，点均在此函数图象上，且， ∴． 故答案为：． 题型13 一次函数与不等式的问题 1．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方， ∴不等式的解为， 故答案为：A． 2．如图，一次函数的图象经过，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察函数图象，即可得出：当时， 本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出时x的取值范围是解题的关键． 【详解】解：观察图形，可知：当时， 故答案为： 3．同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，结合一次函数与正比例函数的图象性质，运用数形结合思想，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察一次函数与正比例函数的图象， 得出这两直线的交点的横坐标为, 运用数形结合思想得关于的不等式的解集是， 故选：C． 题型14 一次函数与二元一次方程组问题 1．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 3．如图，一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组，依据题意，由两个一次函数交点的坐标就是方程组的解，进而可以判断得解，解题时要熟练掌握并能根据两个一次函数交点的坐标就是方程组的解进行判断是关键． 【详解】解：∵一次函数与（a，b为常数且）交点的横坐标为2， ∴交点的纵坐标为 又∵一次函数与（a，b为常数且）交点坐标是方程组的解 则方程组的解为， 故选A． 【优选提升题】 题型1 动点问题的函数图象 1．如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 1．如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间t（单位：s）变化的函数图象如图②所示，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，由图2可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式，求出的值即可求得答案．注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题关键． 【详解】解：由图2可知，，，当点到达点时，的面积为， ，即， 解得：． 故选：B． 题型2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 2．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解： ， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，    ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 3．已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． (1)直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） (2)点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接， ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N， 由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型3 一次函数的实际应用 1．某经销商计划用40000元一次性采购A，B两种计算器共100 台，这两种计算器的进价和售价如下表： A品牌计算器 B品牌计算器 进价(元/台) 700 100 售价(元/台) 900 160 设经销商购进A品牌计算器x台，售完这批计算器获利y元． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)若要求售完后获利不少于12720元，该经销商有哪几种进货方案？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)经销商有以下三种进货方案．方案一：A品牌计算器48台，B品牌计算器52台；方案二：A品牌计算器49台，B品牌计算器51台；方案三：A品牌计算器50台，B品牌计算器50台 【分析】此题考查求一次函数的实际应用，不等式的应用， （1）根据利润(A的售价A的进价)乘A的计算器的数量（B的售价B的进价）乘B的计算器的数量，根据总资金不超过40000元得出x的取值范围，列式整理即可； （2）由获利不少于12720元及x的取值范围得到进货方案； 【详解】（1）解： ． 由题意，得，得， ∴ （，且x为整数）． （2）当，则，解得， 又∵ ， ∴ ． ∴ 经销商有以下三种进货方案． 方案一：A品牌计算器48台，B品牌计算器52台； 方案二：A品牌计算器49台，B品牌计算器51台； 方案三：A品牌计算器50台，B品牌计算器50台． 2．如图，反映了某公司产品的销售收入（千元）与销售量x（吨）之间的关系，反映了该公司产品的销售成本（千元）与销售量x（吨）之间的关系，其中点A的坐标为，点P的坐标为． (1)当销售量________时，销售收入等于销售成本；当销售量x________时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）． (2)求和的表达式． (3)当该公司盈利（销售收入销售成本）10千元时，销售量是多少？ 【答案】(1)6； (2)； (3)26吨 【分析】本题考查了函数图象的识别，一次函数解析式的求解，一元一次方程的求解，解决本题的关键是正确识别图象并会使用待定系数法求解函数解析式． （1）观察函数图象，根据函数图象即可求解； （2）设出一次函数解析式，将点代入函数解析式，使用待定系数法求解即可； （3）根据盈利即为销售收入销售成本列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，与相交于点， ∴当销售量时，销售收入等于销售成本； 由函数图象可知，当位于上方时，公司盈利， 即当销售量时，该公司盈利（销售收入大于销售成本）； 故答案为：6；； （2）解：设的表达式为． 把点代入，得．解得． ∴的表达式为． 设的表达式为． 把点，代入， ，解得， ∴的表达式为． （3）解：由（2）知，，， ∴该公司盈利10千元时， 即． 解得． 答：当该公司盈利（销售收入-销售成本）10千元时，销售量是26吨． 3．阅读素材，完成下列任务． 如何购买才能使分拣速度最快 背景 随着技术的快速发展，越来越多的行业借助人工智能来提高工作效率，某快递公司准备购买甲、乙两种不同型号的人工智能机器人帮忙分拣快递． 素材1 甲、乙两种机器人的单价分别为3万/台和2万/台． 素材2 甲种机器人开到最大功率时，分拣速度件/时与工作时间小时的函数关系如图所示．    素材3 经厂家介绍，为了延长机器人的使用寿命，可以适当降低功率，使机器人以固定的速度分拣快递．已知降低功率后，甲种机器人以素材2中的速度a工作，乙种机器人以600件/时的速度工作． 解决问题 任务1 若甲种机器人开到最大功率工作，当时，求分拣速度v与工作时间t的函数关系式； 任务2 求素材2的图象中a的值； 任务3 该快递公司计划用不超过10万元的钱购买4台甲、乙两种机器人，当甲、乙两种机器人都降低功率工作时，如何购买才能使分拣速度最快？ 【答案】任务1：；任务2：800；任务3：购买甲种机器人、乙种机器人各2台． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 任务1：根据待定系数法解答即可； 任务2：当时，求出对应v的值，即a的值即可； 任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台，根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最大，从而求出的值即可． 【详解】解：任务1：当时，设分拣速度v与工作时间t的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，分拣速度v与工作时间t的函数关系式为； 任务2：当时，， ； 任务3：设购买甲种机器人x台，则购买乙种机器人台， 根据题意，得， 解得， 设4台甲、乙两种机器人总的分拣速度为y件/小时，则， ， 随x的增大而增大， ， 当时y值最大，台 答：当购买甲种机器人、乙种机器人各2台才能使分拣速度最快． 4．数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． (2)求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． (3)如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】(1)见解析，这些点分布在同一直线上 (2)，弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 (3)购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【详解】（1）描点并连线如图所示： 由图象可知，这些点分布在同一直线上． （2）由（1）可知，与之间是一次函数关系， 设关于的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； （3）设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 5．已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． (2)求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ (3)若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】(1)；； (2)甲出发小时后与乙在途中相遇 (3)甲乙两人能够通讯的最大时长为小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【详解】（1）解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时； （2）解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； （3）解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 6．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 题型4 一次函数与几何综合 1．如图，平面直角坐标系中，正方形顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，求出过边界点时k的值的大小是解题的关键．当直线过正方形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，符合题意的k就在这两个k值之间． 【详解】解：∵正方形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是或． 故选：B． 2．如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 3．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)求的面积； (4)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）已知的解析式，令求出的值即可； （2）设的解析式为，由图联立方程组求出，的值； （3）联立方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （4）与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由，令，得， ， ； （2）解：设直线的解析式表达式为， 把，；， 代入表达式得， 解得， 直线的解析式表达式为； （3）解：由， 解得， ， ， ； （4）解：与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍， 即纵坐标的绝对值，则到距离， 点纵坐标是， ，， ， 解得， ， ，， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 4．如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，， ①求出点、点的纵坐标用含字母的代数式表示； ②若线段长为，求的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点的纵坐标为；点的纵坐标为 ；②或 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把点坐标代入直线解析式中求出点的坐标，再把点的坐标代入直线解析式中即可求出的值； （2）①令，分别求出即可得到答案；②根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线：上， ； 点在直线：上， ， ． 的值为，的值为； （2）解：由（1）知直线：， 又直线与直线，分别交于点，， 当时， 点的纵坐标为； 点的纵坐标为． 当 ， ， 即或， 所以或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． (1)求k，m的值； (2)如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的存在性问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）①先确定点在直线上，在轴正半轴上截取，连接，证明，则，那么，当点三点共线时，取得最小值即为； ②可得，则，而，则，而，那么当是等腰直角三角形时，只能是，得到，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 将代入，则， 解得； （2）解：①对于，当 ∴， 由（1）可得直线的解析式为， 当， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∵轴，记垂足为点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最小值即为； ②如图： 由题意得，， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴ ∴当是等腰直角三角形时，只能是， ∴， 解得：或 ∴当是等腰直角三角形时，或． 题型5 一次函数中新定义问题 1．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) ；存在， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解． 【详解】（1）证明：作的中线，如图：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； （2）解：①过B作于K，如图：    ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 当时，如图：    设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， 过点D作于点H， ∴， 即， ∴． ∵为的“中根线”，， ∴， ∵点C落在直线上， ∴由垂线段最短可得， ∴当有且只有一个点C落在直线上时，， ∴， ∴． 当时，如图：    同理可得． 综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上． 2．定义：对于给定的一次函数，把形如的函数称为一次函数的衍生函数．已知矩形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①在网格中画出该函数的衍生函数图象． ②若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ③若点在这个一次函数的衍生函数图象上，则 ． ④这个一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为 ． (2)当函数的衍生函数的图象与矩形有个交点时，的取值范围是 ． 【答案】(1)①画见解析；②；③或；④和 (2) 【分析】）①写成一次函数的衍生函数，进而根据解析式画出函数图象即可；②把点的坐标代入对应的衍生函数解析式解答即可；③分和，代入对应的衍生函数解析式解答即可；④根据函数图象解答即可求解； （）分两种情况：当直线在位置①时，函数图象和矩形有一个交点，求出的值；当直线在位置②时，函数图象和矩形有一个交点，求出的值，即可知当直线在位置①②之间的位置时，函数和矩形有两个交点，据此即可求解； 本题为一次函数的几何应用，画一次函数图象，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：：①∵， ∴一次函数的衍生函数为， 画函数图象如下： ②∵， ∴， 故答案为：； ③∵点在这个一次函数的衍生函数图象上， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或； 故答案为：或； ④由函数图象可知，一次函数的衍生函数图象与矩形的边的交点坐标分别为和， 故答案为：和； （2）解：函数的衍生函数为，画图如下所示： ∵当直线在位置①时，函数图象和矩形有个交点， ∴把代入，得， 解得； ∵当直线在位置②时，函数图象和矩形有个交点， 把代入，得， 解得； 当直线在图①②之间的位置时，直线与矩形有个交点， ∴ ， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $