3.2一定是直角三角形吗 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦“一定是直角三角形吗”核心内容，系统梳理勾股定理逆定理的判定方法、勾股数概念、判定步骤（确定最长边、计算验证、得出结论）及注意事项，衔接勾股定理的逆运用，构建从定义到应用的完整学习支架。 资料含思维导图辅助直观理解，设计分层练习题（如网格判断、管道铺设实际应用），培养学生几何直观（数学眼光）、推理意识（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后学生可针对性练习，有效提升基础薄弱学生的知识掌握。

3.2一定是直角三角形吗 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理） 若一个三角形的三边长(a)、(b)、(c)（(c)为最长边）满足，则这个三角形是直角三角形，其中(c)所对的角是直角。 二、勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数： · 基础勾股数：(3)，(4)，(5)（满足） · 倍数勾股数：若(a)，(b)，(c)是勾股数，则(ka)，(kb)，(kc)（(k)为正整数）也是勾股数，例如(6)，(8)，(10)（(3)，(4)，(5)的(2)倍）。 三、判定三角形是否为直角三角形的步骤 1. 确定最长边：找出三角形三边长中的最长边，设为(c)； 2. 计算验证：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即判断是否等于； 3. 得出结论：若，则为直角三角形；否则不是。 四、注意事项 1. 勾股定理的逆定理适用于任意三角形，但需满足边长为正数且（(c)为最长边）； 2. 勾股数必须是正整数，非整数的边长即使满足，也不能称为勾股数（如(1)，(1)，）。 型 习 练 题 判断三边能否构成直角三角形 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．10，6，8 C．4，5，6 D．12，13，5 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．掌握并熟练应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 先求出两较短边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可判断得出结论． 【详解】解：∵ 选项A：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 选项B：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 选项C：，不能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 选项D：，能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：C 2．分别以下列各数作为一个三角形三边的长，不能构成直角三角形的是（   ） A．7，24，25 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A．，， ， ∴7，24，25作为三边的长，能构成直角三角形，不符合题意； B．，， ， ∴，，作为三边的长不能构成直角三角形，符合题意； C．，， ， ∴0.3，0.4，0.5作为三边的长，能构成直角三角形，不符合题意； D．，， ， ，，作为三边的长能围成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段是否满足两条较小线段的平方和等于最大线段的平方． 【详解】解：选项A：，不能构成直角三角形； 选项B：，不能构成直角三角形； 选项C：，能构成直角三角形； 选项D：，，通分后，不能构成直角三角形； 故选：C． 4．以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理， 使用勾股定理判断每组边长是否能构成直角三角形，即检查两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①∵，∴不能构成直角三角形； ②∵，则，∴不能构成直角三角形； ③∵，∴能构成直角三角形； ④∵，∴能构成直角三角形. ∴只有③和④两组能构成直角三角形. 故选：B． 5．以下各组数，可以作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．3，4，5 C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理，验证各组数中较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：∵最大边为，，，，∴不可以作为直角三角形三边长． 选项B：∵最大边5，，，∴可以作为直角三角形三边长． 选项C：∵，，，最大边为，，，，∴不可以作为直角三角形三边长． 选项D：∵最大边为，，，，∴不可以作为直角三角形三边长． 故选B． 在网格中判断直角三角形 6．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 8．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 9．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 10．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，，， A．∵，，， ∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； B．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 利用勾股定理逆定理求解 11．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 12．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 13．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 14．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 15．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 勾股数问题 16．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故7，8，9不是勾股数，不符合题意； B、，故1，1，2不是勾股数，不符合题意； C、，故9，12，15是勾股数，符合题意； D、，故2，3，4不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 17．当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 18．下列各组数不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．9，40，41 D．8，12，18 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．根据勾股数的定义，判断各组数同时满足都是正整数和最大数的平方等于较小的两个数的平方和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，，∴，是勾股数； B、，，∴，是勾股数； C、，，∴，是勾股数； D、，，∴，不是勾股数； 故选：D 19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得，，，代入数值即可求解． 【详解】解：如图所示，标记正方形E， 由题意可知，，， ∴， ∵正方形B、C、D的面积依次为8、6、18， ∴， ∴， 故选：C． 20．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积12，正方形B的面积16，正方形C的面积9，正方形D的面积12， ∴正方形F的面积为：，正方形G的面积为：， 则最大正方形E的面积是：． 故选：C． 勾股定理逆定理实际应用 21．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 22．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的人行道的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； （2）解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 23．如图是一个机器零件的示意图，是这种零件合格的一项指标．现测得，，，，．根据这些条件，能否知道？ 【答案】能；理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．在中，由勾股定理求出的长，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：能； ∵，，， ∴在中， 由勾股定理得：， 在中， ∵， ∴是直角三角形， 即：． 24．工人师傅在安装长方形铝合金窗框时，为检验窗框的四个角都是直角，可采用哪些方法？以图中的为例，请说明判断是直角的方法和依据． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：连接，如图所示： 测出、和的长度， 如果，则是直角， 如果，则不是直角． 25．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 【答案】(1)的长为； (2)这块菜地的面积是． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）连接，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及题意易得，则有是直角三角形，，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，连接； 在中，，，， 所以， 因此，的长为． （2）解：因为，， 所以，. 所以，是直角三角形，， ； 因此，这块菜地的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2一定是直角三角形吗 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理） 若一个三角形的三边长(a)、(b)、(c)（(c)为最长边）满足，则这个三角形是直角三角形，其中(c)所对的角是直角。 二、勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数： · 基础勾股数：(3)，(4)，(5)（满足） · 倍数勾股数：若(a)，(b)，(c)是勾股数，则(ka)，(kb)，(kc)（(k)为正整数）也是勾股数，例如(6)，(8)，(10)（(3)，(4)，(5)的(2)倍）。 三、判定三角形是否为直角三角形的步骤 1. 确定最长边：找出三角形三边长中的最长边，设为(c)； 2. 计算验证：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即判断是否等于； 3. 得出结论：若，则为直角三角形；否则不是。 四、注意事项 1. 勾股定理的逆定理适用于任意三角形，但需满足边长为正数且（(c)为最长边）； 2. 勾股数必须是正整数，非整数的边长即使满足，也不能称为勾股数（如(1)，(1)，）。 型 习 练 题 判断三边能否构成直角三角形 1．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．10，6，8 C．4，5，6 D．12，13，5 2．分别以下列各数作为一个三角形三边的长，不能构成直角三角形的是（   ） A．7，24，25 B．，， C．0.3，0.4，0.5 D．1，，2 3．以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　） A．7，8，9 B．1，，4 C．3，4，5 D．，， 4．以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．以下各组数，可以作为直角三角形三边长的是（   ） A．，， B．3，4，5 C．，， D．，， 在网格中判断直角三角形 6．如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 9．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 10．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 利用勾股定理逆定理求解 11．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 12．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 13．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 14．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 15．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 勾股数问题 16．下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．7， 8，9 B．1， 1， 2 C．9， 12， 15 D．2， 3，4 17．当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 18．下列各组数不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．9，40，41 D．8，12，18 19．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 勾股定理逆定理实际应用 21．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 22．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 23．如图是一个机器零件的示意图，是这种零件合格的一项指标．现测得，，，，．根据这些条件，能否知道？ 24．工人师傅在安装长方形铝合金窗框时，为检验窗框的四个角都是直角，可采用哪些方法？以图中的为例，请说明判断是直角的方法和依据． 25．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $