2.3利用轴对称进行设计 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“利用轴对称进行设计”核心知识点，系统梳理从确定基本图形、对称轴，到作出对称图形、组合修饰的完整步骤，结合单一对称轴、多条垂直或放射状对称轴等元素，构建从轴对称概念应用到图案设计的学习支架，含思维导图辅助直观理解。 资料以蝴蝶翅膀、雪花图案等生活实例引导学生用数学眼光观察现实世界，通过步骤化设计与对称元素分析发展空间观念和创新意识，思维导图助力几何直观培养。课中辅助教师高效授课，课后练习题（如最短路径问题）帮助学生强化应用意识，查漏补缺。

2.3利用轴对称进行设计 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 利用轴对称设计图案的基本步骤 1. 确定基本图形：选择一个简单的平面图形作为设计的基础，如：三角形、四边形、圆形、字母、数字或其他简单图案。 2. 确定对称轴：根据设计需求，确定一条或多条对称轴的位置和方向（水平、垂直、倾斜等）。 3. 作出对称图形： · 在对称轴的另一侧，找出基本图形各顶点关于对称轴的对称点。 · 连接这些对称点，得到基本图形关于该对称轴对称的图形。 4. 组合与修饰：将原基本图形与对称图形组合，可根据需要重复步骤2和3（如沿不同对称轴再次作对称），并添加颜色、线条粗细等修饰，形成完整图案。 设计中的对称元素与应用 · 单一对称轴：图形沿一条直线对称，具有简洁、稳定的美感，例如：蝴蝶翅膀、脸谱的一半与对称另一半。 · 多条对称轴： · 两条互相垂直的对称轴（如水平和垂直）：图形关于两条轴都对称，形成中心对称的视觉效果，例如：正方形、十字图案。 · 多条放射状对称轴：图形绕中心点均匀分布多条对称轴，具有旋转对称的美感，例如：正六边形、雪花图案（理想化）。 · 对称与色彩搭配：在对称图形的对应部分使用相同或对比色，增强图案的视觉冲击力和协调性。 型 习 练 题 设计轴对称图案 最短路径问题 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3利用轴对称进行设计 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 利用轴对称设计图案的基本步骤 1. 确定基本图形：选择一个简单的平面图形作为设计的基础，如：三角形、四边形、圆形、字母、数字或其他简单图案。 2. 确定对称轴：根据设计需求，确定一条或多条对称轴的位置和方向（水平、垂直、倾斜等）。 3. 作出对称图形： · 在对称轴的另一侧，找出基本图形各顶点关于对称轴的对称点。 · 连接这些对称点，得到基本图形关于该对称轴对称的图形。 4. 组合与修饰：将原基本图形与对称图形组合，可根据需要重复步骤2和3（如沿不同对称轴再次作对称），并添加颜色、线条粗细等修饰，形成完整图案。 设计中的对称元素与应用 · 单一对称轴：图形沿一条直线对称，具有简洁、稳定的美感，例如：蝴蝶翅膀、脸谱的一半与对称另一半。 · 多条对称轴： · 两条互相垂直的对称轴（如水平和垂直）：图形关于两条轴都对称，形成中心对称的视觉效果，例如：正方形、十字图案。 · 多条放射状对称轴：图形绕中心点均匀分布多条对称轴，具有旋转对称的美感，例如：正六边形、雪花图案（理想化）。 · 对称与色彩搭配：在对称图形的对应部分使用相同或对比色，增强图案的视觉冲击力和协调性。 型 习 练 题 设计轴对称图案 1．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（    ）种不同补法． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义画出图形即可解答． 【详解】解：如图所示，一共有4种画法， 故选：A． 2．如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据棋盘中心的黑色棋子位置用表示，建立平面直角坐标系，结合轴对称性质，即可作答． 【详解】解：∵棋盘中心的黑色棋子位置用表示， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形， ∴小亮放白色棋子的位置可能是， 故选：C． 3．小明和小亮下棋，小明执圆子，小亮执方子，如图，棋盘左下角方子的位置用表示，接下来小明将第四枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成了一个轴对称图形，他放的位置为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，坐标确定位置等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质属于中考常考题型．根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】解：如图，圆子放在的位置即可． 故选：D． 4．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算． 【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，   共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处， 构成轴对称图形的概率是， 故选：B 5．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是A选项． 故选：A． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，剪纸问题，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 最短路径问题 6．如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查轴对称，两点之间线段最短等知识点，作点关于的对称点，连接，与的交点即可所求． 【详解】解：点关于的对称点，连接，如图， 由图可知点应选在点； 故选：D． 7．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称求线段和最小），解题的关键是掌握“两点之间，线段最短”及轴对称的性质． 根据最短路径问题的求解方法，利用轴对称将其中一点对称到直线另一侧，再连接两点与直线的交点即为所求，据此分析各选项． 【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理： 选项D中，作出点关于直线的对称点，则， 此时． 因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”， 此时最小，即最小． 而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解， 故选：D． 8．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换和两点之间线段最短的性质，解题的关键是掌握作图以及运用的原理． 【详解】解：如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，点C即为所求泵站的位置，体现的数学原理是“两点之间，线段最短”， 故选：A． 9．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和的最小值问题，根据题意易得关于对称，进而得到，进而得到当点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长，即可． 【详解】解：连接，，    ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∴点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长， 故选B． 10．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $