精品解析：湖北省襄阳市襄城区襄城三校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

绝密★启用前 2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 3. 已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 5. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0） 10. 函数y＝ax2+bx与y＝ax+b(ab≠0)的图象大致是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 12. 一个矩形的周长为20，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ___． 13. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 14. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 15. 如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解方程：． 四、解答题：本题共8小题，共69分． 17. 如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上． 求证：平分． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 19. 如图，在正方形网格中，已知的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题： （1）作出关于原点中心对称的，写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的，求出点的运动路径长． 20. 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 23. （1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是          ，线段与直线所夹锐角的度数是          ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 24. 如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：A． 3. 已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴a+b＝﹣2+1＝﹣1， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出a，b的值是解题关键． 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 5. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 6. 如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据a＝－1判断出开口向下，再求出抛物线的对称轴为直线，由此可得抛物线的增减性以及点关于对称轴的对称点，进而比较即可． 【详解】解：∵a＝－1＜0， ∴抛物线的开口向下， ∵a＝－1，b＝5， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而增大，点关于对称轴的对称点为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 7. 如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得出的长度，在中，利用勾股定理可得出的长度． 【详解】解：∵弦于点E，cm， ∴cm． 在中，cm， ∴. AE=5+3=8． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法． 8. 如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握圆周角的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　） A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】解：如图， 连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心O′，其坐标是(0，1)． 故选B． 【点睛】题目主要考查图形旋转的性质，熟练掌握找寻旋转中心的方法是解题关键． 10. 函数y＝ax2+bx与y＝ax+b(ab≠0)的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线所经过的象限判断出a、b的符号，再据此得出抛物线的开口方向、对称轴位置等，与各选项中抛物线的位置甄别即可得出答案． 【详解】A．由直线过第一、二、四象限知a＜0、b＞0，则抛物线的开口向下且对称轴x=﹣＞0，与x轴的另一交点﹣＞0，此选项符合题意； B．由直线过第一、三、四象限知a＞0、b＜0，则抛物线的开口向上，这与图象中抛物线开口不一致，此选项不符合题意； C．由直线过第一、二、四象限知a＜0、b＞0，则抛物线的开口向下，这与图象中抛物线开口不一致，此选项不符合题意； D．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，则抛物线的对称轴x=﹣≠0，此选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象和性质． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的方程是一元二次方程，则a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，根据一元二次方程定义得出，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 一个矩形的周长为20，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 ___． 【答案】S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 【解析】 【分析】得出矩形的另一边长，则面积＝两边长的乘积，根据边长为正数可得自变量的取值范围． 【详解】解：∵矩形的周长为20，其一边的长为x， ∴另一边长为10﹣x， ∴S＝x（10﹣x）=﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 故答案为S＝﹣x2+10 x（0＜x＜10）． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的关键． 13. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 14. 如图，正五边形内接于，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过移项和因式分解求解方程． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， ∴ ， ∴  或 ， 解得  或 ． 四、解答题：本题共8小题，共69分． 17. 如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上． 求证：平分． 【答案】 证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE， ∴△ABC≌△DBE ∴BA=BD，∠A=∠BDE， ∴∠A=∠ADB． ∴∠ADB=∠BDE． ∴DB平分∠ADE． 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，根据建立不等式求解，即可解题． （2）本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用“，”结合建立关于的等式，即可解题． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ， ， ， ， 或， 解得，， ， 的值为0． 19. 如图，在正方形网格中，已知的顶点都在格点上，根据平面直角坐标系中所给的条件解答下列问题： （1）作出关于原点中心对称的，写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的，求出点的运动路径长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，求弧长，两点距离计算公式，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接即可画出对应的三角形；由旋转的性质可得，再由两点距离计算公式求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴点B的运动路径长为． 20. 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解： 得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：矩形垂直于墙的一边的长为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低元，平均每天就可以多售出件． 素材3 该公司在实体店的销售价定为80元/件． 据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为件． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售该商品的毛利润（元）关于的表达式． 任务2 探究销售方案 若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为多少元？ 任务3 拟定最优方案 当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：网上销售的价格应定为元；任务3：当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：利用抛物线的图象与性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务1： ； 任务2：由题意得， 整理得，即， 解得， ∴， 当若该公司网上每天销售该商品的毛利润为4500元，那么网上销售的价格应定为元； 任务3： ， ∵符合题意， ∴当，即（元）时，（元）． ∴当网上销售价是每件57元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大，最大总毛利润是8180元． 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD， ∠AOD=∠APC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是4，AP=4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明:连结OP,∵PD⊥BE,如图. ∴∠OCD=90°， ∴∠ODC+∠COD=90°， ∵OD=OP， ∴∠ODC=∠OPC， ∵∠COD=∠APC， ∴∠OPC+∠APC=90°， ∴∠APO=90°,即AP⊥PO， ∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切线. （2） 【解析】 【分析】（1）连接OP，证明OP⊥AP,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；（2）根据扇形POD面积减去△OPD的面积即为阴影部分的面积，求出相关数据代入计算. 【详解】（1）略 （2）在Rt△APO中，tan∠AOP=， ∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°， ∴OC=2，∴PC= ， ∴PD=， ∵OD=OP，OB⊥PD， ∴∠POB=∠COD=60°， ∴∠POD=120°， ∴阴影部分面积为： . 【点睛】此题主要考查切线的判定及不规则图形面积的求法，应用切线的判定定理证出OP⊥AP是证明圆的切线的关键. 23. （1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是          ，线段与直线所夹锐角的度数是          ． （2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由． （3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长． 【答案】（1）；； （2），线段与直线所夹锐角的度数为仍成立． 理由：如图，连接，由旋转可知：， ∴为等边三角形， ， 为等边三角形， ，则， ， ， ， ， 即线段与直线所夹锐角的度数为； （3）1或3 【解析】 【分析】（1）过点作交于点．证明，可得结论； （2）连接，由旋转可得为等边三角形，可知．由为等边三角形，可知，，进而可得，可证得，可得，进而可得，即可得结论； （3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段延长线上的右侧时，③当点在线段延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作交于点． 根据旋转可得， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：，． （2）略； （3）由旋转可知：， ∵四边形是正方形， ∴， ①当点在线段上时，如图，过点作交于点，作交于点． 则， ∴， ∴， 即 ∴， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为，则， ， 在中，， 即， 解得（舍去）， ∴． ∵点在线段上， ， ∴（不合题意，舍去）； ②如图，当点在线段延长线上的右侧时，如图，过点作交于点，延长交于点． 则四边形是矩形， ∴， 设， 同①可证， ∴， 即， ∴， ∴， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． ③如图，当点在线段延长线上的左侧时，如图，过点作交的延长线于点，作交于点．设正方形的边长为， 同①可得， ∴在中，， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，线段的长为 1 或 3 ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3 （2）P点坐标为（，） （3）h的取值范围为3≤h≤4 （4）存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； 【小问2详解】 如图1，过P作PGy轴，交OE于点G， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得， 3＝3k， 解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m）2， ∵0， ∴当m时，△OPE面积最大， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P点坐标为（，）； 【小问3详解】 由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2， ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； 【小问4详解】 设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m或， ∵m＞2，不合题意，舍去， ∴m， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1或m2， ∵＞2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1或m2； ∵＜2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5， 同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $