5.7：三角函数的应用【五大考点+五大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦三角函数的应用这一核心知识点，系统梳理三角函数模型的作用、解决实际问题的步骤，以及y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数的物理意义，通过物理、生活、几何等情境题型构建从基础模型到实际应用的学习支架。 该资料以情境化题型为特色，如弹簧振子运动、摩天轮高度等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，例题与变式递进设计培养数学思维，模型构建与求解过程提升数学语言表达能力，课中辅助教师高效教学，课后高分达标练习助力学生查漏补缺。

5.7：三角函数的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：三角函数的应用 1．三角函数模型的作用：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二：函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 【题型归纳】 题型一：三角函数在物理中的应用 【例1】．（24-25高一上·全国课堂例题）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【答案】A 【分析】根据题意，当时求出即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 【变式1】．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据得到，再令求解. 【详解】解：由，得， 所以，，则， 令，得， 解得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为： ， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为. 故选：B 【变式2】．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 题型二：三角函数在生活中的应用 【例2】．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 【变式1】．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 【变式2】．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 题型三：几何中的三角函数模型 【例3】．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 【变式1】．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值. 【详解】设点，由则， 所以矩形的面积 ， 由，，， ，当且仅当时取到最大值. 故矩形的面积的最大值为 故答案为： 题型四：三角函数的应用 【例4】．（25-26高一上·全国·单元测试）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)7，8，9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【分析】（1）根据题意首先求出A，再根据周期求出，最后根据求出k，即可得到函数解析式； （2）令，结合余弦函数的性质计算可得，注意x为正整数． 【详解】（1）由②可知，解得． 由②可得，则，又，所以解得． 所以，， 即，解得．所以，且． （2）令，则， 则，即． 因为，所以，又，所以， 所以一年中的7，8，9月是该地区的旅游旺季． 【例5】．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1)建系见解析，点，点； (2)最大值为. 【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标； （2）把四边形的面积表示为的函数，利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 【变式1】．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据低潮和高潮的时间和深度，求出三角函数的解析式，再利用解析式求解问题； 【详解】（1）依题意知， 故． 所以． 又因为时，，所以， 所以，所以． （2）时， ． （3）令， 有， 因此． 所以． 所以． 令，得；令，得． 故这一天共有水深低于． 【变式2】．（2025高一·全国·专题练习）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，在边长为20米的正方形内种植红色郁金香，在正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在矩形内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设，米．    (1)求与之间的函数关系式； (2)求的最大值． 【答案】(1)，其中 (2)米 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的定义列式求解即可； （2）令，利用平方关系和辅助角公式可得，，结合单调性即可求解. 【详解】（1）在中，，，则， 同理，在中，，，则， 所以， 因为要在矩形内种植与黄色郁金香面积相等的草坪， 设矩形的面积为，则， 从而， 所以，其中． （2）令， 则，， 因为，所以，则，即， 由（1）得， 因为在上单调递增，所以， 即的最大值为米． 题型五：三角函数新定义 【例6】．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 【例7】．（23-24高一下·江西·月考）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)或或； (3)或， 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可； （3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可. 【详解】（1）与不具有关系， 理由如下：时，，，所以， 则与不具有关系； （2）由题意可知 ， 所以， 又，所以， 解之得或或， 即的像为或或； （3）对于，则，所以， 即， 因为与具有关系， 所以要满足题意需，使得即可. 令， 令，则，设， ①若，即时，， 则， ②若，即时，， 则， ③若，即时，， 则或，显然无解， ④若，即时，， 则或，显然无解， 综上所述：或， 【变式1】．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意化简得到，结合对任意实数恒成立，得到，分类讨论，取得，且，即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 所以， 又因为上式对任意实数恒成立，所以， 若，由，可得，不满足； 由，可得或， 当时，，由与矛盾； 故，则， 由与，可得， 综上可得，原式． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式计算出，再由计算即可. 【详解】由，且天顶距，晷影长，得， 当晷影长度时，，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大风车旋转的周期求出角速度，再通过大风车的半径、最低点离地面的高度等条件确定函数中的参数、、，进而得到与的函数关系. 【详解】已知大风车每旋转一周，根据周期的定义可知其周期. 由角速度与周期的关系，将代入可得：. 设. 因为大风车的半径为8m，最低点离地面2m，所以当翼片端点在最高点时，离地面的距离为；当翼片端点在最低点时，离地面的距离为2m. 当在最高点时，，此时取得最大值，即； 当在最低点时，，此时取得最小值，即. 联立方程组，将两式相加消去可得：，解得. 把代入，可得，解得. 所以此时函数为. 因为的初始位置在最低点，当时，，将，代入中，得到.即. 因为，且，所以，，取，则. 将代入中，可得. 则. 该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是. 故选：D. 3．（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 4．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 5．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据正弦的概念求解点的纵坐标，即可得解. 【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，， 所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离. 故选：C 6．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 7．（24-25高一下·四川达州·期中）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【详解】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故选：A. 8．（24-25高一下·四川泸州·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： ． 连接，设，作，，垂足分别为， 由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，， 于是，． 因此四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，而，则当时，， 所以. 故选：D 9．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高一下·广东广州·期末）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：    记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（    ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【答案】AD 【分析】根据图像及正弦曲线的性质即可得出结论. 【详解】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确； 由图像，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有8次达高峰值，故B错误； 由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误； 由图像，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确. 故选：AD 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 【答案】ABD 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】， 由，得， 令，则， 所以，或，， 解得，或，， 结合， 取时，； 时，或. 所以或或. 故选：ABD 12．（25-26高一上·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 13．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【分析】由题意依次求出A、，接着由求出即可判断A；依次求出即可判断B；由和即可求解判断C；举反例即可分析判断D. 【详解】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误. 故选：BC 14．（24-25高一下·广东江门·期中）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【分析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，根据题意，求出的值，即可判断选项D的正误，对于A，令，即可求解；对于B和C，将的取值代入解析式，即可求解. 【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：，解得：， 所以，故选项D正确， 对于选项A，令，得到，所以， 令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，代入， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，代入， 得到，所以选项C正确， 故选：ACD. 15．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 【答案】AC 【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD. 【详解】由题意可知，周期满足，得，故A正确； 所以，得， 又，解得，， 所以， 又，即， 得，因为，所以，故B错误； 所以. 则，故C正确； 对于D，由，得，即， 则，，解得，， 所以一个周期内过山车距离底面高于20m的时间是，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】6 【分析】根据给定信息，由正弦函数的实际应用求出运动轨迹的函数解析式，再列出不等式并求得答案. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，， 依题意得为轨迹最低点，，周期，解得， 由，得，则，， 由，得，即， 而，即，因此，解得， 所以在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为. 故答案为：6 17．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    【答案】 【分析】延长CD交边PA，PB分别相交于E，F，得到，且，，结合，即可求解； 【详解】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    18．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 19．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【分析】利用已知条件可求得周期，再借助正弦曲线即可求解. 【详解】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】整理可得，分析可知最大温差为，由题意得，再利用基本不等式运算求解. 【详解】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求； （2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可； 【详解】（1）由图可得． 最小正周期， 将代入，得 又， 所求函数的解析式为． （2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为， 此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为， 故， ． 故两车间都投产时的最大污水排放量为． 22．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 23．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 24．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)，此时或 【分析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为．    （2）令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 25．（25-26高一上·全国·单元测试）某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案． 方案一：如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二：如图2，点分别在半径和上，点在扇形弧上，，记此时矩形的面积为． (1)分别用表示两个方案中矩形的面积； (2)分别求出两个方案中矩形面积的最大值，若面积越大方案越好，你会选择哪个方案? 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件用表示出相关线段，再应用矩形面积公式求的表达式，注意自变量范围； （2）应用三角恒等变换化简，再应用正弦型函数的性质求面积的最大值，并比较大小，即可得结论. 【详解】（1）如下图，在中，， 所以， 在中，， 则， 如下图，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点， 在中，，所以， 由扇形和矩形的对称性得，， 在中，，则， ， 则； （2）方案一：， 由，得， 当，即时，取最大值，为． 方案二：， 由，得， 当，即时，取最大值，为， 因为， 所以，故选方案一. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.7：三角函数的应用 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：三角函数的应用 1．三角函数模型的作用：三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二：函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 【题型归纳】 题型一：三角函数在物理中的应用 【例1】．（24-25高一上·全国课堂例题）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【变式1】．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 题型二：三角函数在生活中的应用 【例2】．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【变式2】．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 题型三：几何中的三角函数模型 【例3】．（2025高一·全国·专题练习）如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【变式1】．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【变式2】．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    题型四：三角函数的应用 【例4】．（25-26高一上·全国·单元测试）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 【例5】．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【变式1】．（2025高一上·全国·专题练习）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在10月10日．每天涨潮落潮时，水的深度与时间近似满足关系式． (1)若从10月10日开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深和时间之间的函数关系； (2)10月10日该港口水深约为多少？（精确到） (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于? 【变式2】．（2025高一·全国·专题练习）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，在边长为20米的正方形内种植红色郁金香，在正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在矩形内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设，米．    (1)求与之间的函数关系式； (2)求的最大值． 题型五：三角函数新定义 【例6】．（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例7】．（23-24高一下·江西·月考）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，；，，且与具有关系，求的像； (3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围. 【变式1】．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ． 【变式2】．（24-25高一上·福建福州·期末）定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·北京房山·期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（   ） （参考数据，，，，．） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京西城·期中）如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离与时间之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西上饶·月考）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 5．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西·月考）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 7．（24-25高一下·四川达州·期中）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川泸州·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川成都·月考）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 二、多选题 10．（24-25高一下·广东广州·期末）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：    记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（    ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知某景区有一时钟花观花区，这种花开放与环境的温度有关，在花期内，时钟花每天可开闭一次，当温度达到20℃时花才开放，当温度上升到30℃时花就会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：时）近似满足函数关系式.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花，则他能欣赏到这种花开放的时段是（    ） A．8～10时 B．10～12时 C．12～14时 D．14～16时 12．（25-26高一上·全国·单元测试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 13．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 14．（24-25高一下·广东江门·期中）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 15．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道．建立平面直角坐标系如图（2），h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时．过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面．最低点Q距离地平面．入口处M距离地平面．当时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点Q．设，下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期为12 B． C．时，过山车距离地平面是 D．一个周期内过山车距离地平面高于的时间是 三、填空题 16．（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为 分钟. 17．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则 .    18．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 19．（24-25高一下·四川德阳·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 20．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ． 四、解答题 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：    (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量． 22．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 23．（25-26高一上·全国·单元测试）我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 24．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 25．（25-26高一上·全国·单元测试）某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案． 方案一：如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二：如图2，点分别在半径和上，点在扇形弧上，，记此时矩形的面积为． (1)分别用表示两个方案中矩形的面积； (2)分别求出两个方案中矩形面积的最大值，若面积越大方案越好，你会选择哪个方案? 2 学科网（北京）股份有限公司 $