上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期第二次学科检测（12月）数学试卷

2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学) 一、填空题 1.己知A(4,S),B(2,-1)两点在直线1上，则直线1的斜率为 2,已知双曲线片-、=1的一条渐近线为y=x,则m的值为 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a=2,S-S2=14,则数列{an}的公比为 4.已知A(4,),B(-2,3),则以AB为直径的圆的方程为 5.把一个底面半径为4，高为二的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径 为 6.已知，B为椭圆C:+y广=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠P5=120,则eP阳 的面积等于 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，与x轴平行的直线与1和C分别交于A, B两点，且∠AFB=60°，则AB=一· 8.已知点A(3,4),B(-2,6),若直线1：(m+2)x-(m+)y+m+1=0始终与线段AB有交点， 则直线/斜率k的收值范围是 9.已知园C:(c-3+0-4=l,A-m0).B(m,0),若圆c上存在点P使∠APB=号 则正数m的收值范围是 10.如图，在四棱锥P-MBCD中，底面MBCD为菱形，∠BAD=号，点P在底面ABCD的 投影是AC与BD的交点，且△PDB是等边三角形，点E在线段AD上，若直线PE与平面PBC 所成角为B,则sin0的取值范围为 1.已知曲线E:+y=1,Po,o)是曲线E上任意一点，则1V2x+,的最大值 2 4 为 12.已知4为圆C苦+若-1a>b>0)的上顶点，点M、N的坐标分别为0)和 (0,-)(0<1<),点P、Q分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且MP∥NQ,直线AP 和40的斜率之差为-6，∠PA0= 牙，则椭圆的离心率为 二、单选题 13.己知α，B为两个不同的平而，1，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是() A.若a∥B,mca,1cB,则m∥1B.若m∥1，m⊥a,则1⊥a C.若m⊥B,a⊥B,则m‖a D.若a∥B,mla,则mlB 14.点A(1,2)关于直线1：x+y-1=0的对称点为() A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,) D.(-1,I) 已知两个等差数列@和b,的前1项和分别为S,和，1产=力 则使得g为 b 整数的正整数n的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 16.已知直线1过双曲线C:X-上=1的左焦点F,与C的左、右两支分别交于A、B两点， 43 且P为线段AB中点，设O为坐标原点，若△UP是以FP为底边的等腰三角形，则直线I 的斜率为() A.±四 11 B.± C.±3 11 D.± 5 三、解答题 17.记Sn为等差数列{an}的前n项和l,已知1a=-7,S3=-9. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn,并求Sn的最小值. D 18.如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，已知AB=AD=2,AA=3. : A (I)证明：平面ACC,A,⊥平面BDD,B: (2)已知点P是线段A,C上的动点，求四面体PACB的体积 D 19.已知圆心为C的圆经过A(2,2),B(6-2)两点，且圆心C在直线x-2y-6=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线I过点P(0,4),且被圆C所截得的弦长为4√5，求直线的方程. 20.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P是抛物线上任意一点，过点P作抛物线C的切 线，该切线与x轴交于点Q (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程： (2)若点P的坐标为(4,4)，求△PFQ的面积： (3)证明：PF=Fg: 21.已知椭圆C:女， +3Ia>b>0定义第n(n之l,neN)次操作为：经过C上的盟 An(xn,yn)作斜率为k的直线与C交于另一点Bn,记B。关于x轴的对称点为A1,若A1与 Bn重合，则操作停止；否则一直继续下去 求2,2 (2)若a=5,b=4,点P是椭圆C上一点，且位于x轴的上方，FF是椭圆C的两个焦点， △PFF是等腰三角形，求点P的坐标： ③)诺k=-。4是C在第一象限与 a 巨。2b不重合的一点，求证：△M,AA:的面积 (2 2 为定值，并求出该定值 2025学年第一学期高二第二次学科检测（数学） 一、填空题 1.己知A(4,5),B(2,-)两点在直线1上，则直线1的斜率为 【解析】3 2.已知双曲线上-父=1的一条渐近线为y= 4 m ,则m的值为 【解析】16 3.己知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a=2,S,-S2=14,则数列{an}的公比为 【解析】2或-3 4.己知A(4,),B(-2,3),则以AB为直径的圆的方程为 【解析】(x-1)2+(y-2=10 5.把一个底面半径为4，高为二的铁质实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径 为 【解析】 6.已知R,5为椭阙C:苦+y产=1的左、右焦点，点P在销圆C上.∠RP5=120,则eFP阳 的而积等于 【解析】√ 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，与x轴平行的直线与/和C分别交于A, B两点，且∠AFB=60°，则AB= 【解析】4 8.己知点A(3,4),B(-2,6),若直线1：(m+2)x-(m+I)y+m+1=0始终与线段AB有交点， 则直线/斜率k的取值范围是 【解析】 9.已知圆C:(x-3+(0y-4}=1,A(-m,0),B(m,0),若圆C上存在点P使∠APB= 则正数m的取值范围是 【解析】4≤m≤6 10.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=行，点P在底面ABCD的 投影是AC与BD的交点，且△PDB是等边三角形，点E在线段AD上，若直线PE与平面PBC 所成角为0，则sinO的取值范围为 B 4 【解析】 55 1.已知曲线E:+y=1,PK,)是曲线E上任意一点，则12x+的最大值 2 4 为 【解析】2√2 当x≤0y>0时，兰+片=1，表示焦点在y轴上的双向线在y销及左侧，x销上方的部分， 24 当x>0,y≥0时， 父+上=1，表示焦点在y轴上的椭网在y箱右侧，x轴及上方的部分， 24 当x>0,y<0时， =1,表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限的部分， 24 当x<0,y<0时，-x上 =1,方程无解，不表示任何图象， 24 曲线6：+少y=1如图中实线，虚线是双曲线-亡+ 2 4 +4=1的一条渐近线2x+y=0, √2x+,可视为点P(6)到直线V2x+y=0的距离的5倍， 由图知，当点P(x,)在椭圆上时，点P(x。,)到直线√2x+y=0的距离最大， 设PwW5cos0.2sn0,0≤0≤径则2x+%=2cs0+2sin0=25sn0+马， 当0=子时，1V2x+%=2W5,所以小2x+%的最大值为22 2已知A为椭圆C名+Xa>b>0的上顶点，点M、N的坐标分别为07五 (0,-)(0<t<a),点P、Q分别是椭圆位于第一、三象限上的两点，且MP∥NQ,直线AP 和0的斜率之差为6，∠P40-牙，则精圆的离心率为 【解析】V4② 7 因为A为椭园C:苔+若=1o>b>0)的上项点，所以设40可. x2 又因为点M、N的坐标分别为(0，)和(0，)(0<1<a),点P、Q分别是椭圆位于第一、三 象限上的两点，且MP∥NQ,所以根据椭圆的对称性得到P、Q关于原点对称 所以设P(,）,Q(-,-),所以直线AP和4Q的斜率分别为k=-a, k0=%-4=出+a -Xo Xo 由直线朴和0的斜率之养为-6，得-6如=”0=-6，得元-号 因为∠PAQ=牙，由am∠PA0 k心-k=1,即 -6 6 +%-a.%+G +-a =1,得到 6、 9 因为P长%)在橘上，所以兰+产1，即茫+品1，科到公 a2 62 > 椭圆的离心率 e= 因此，椭圆的离心率为V42 7 二、单选题 13.己知α，B为两个不同的平面，1，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（) A.若a∥B,mca,1cB,则m∥1B.若m∥1，m⊥a,则1⊥a C.若m⊥B,a⊥B,则mla D.若a∥B,m‖a,则mlB 【解析】B 14.点A(1,2)关于直线/：x+y-1=0的对称点为() A.(0,-1) B.（-l,0) C.（2,) D.（-1,) 【解析】B 15已知两个等然数列a}和6的前”项和分别为成和，且受-子。奥使斜受为 b. 整数的正整数n的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D 16.已知直线1过双曲线C:。上=1的左焦点F,与C的左、右两支分别交于A、B两点， 43 且P为线段AB中点，设O为坐标原点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线1 的斜率为() A.t面 11 B.± C.+3 D.± 15 11 5 【解析】C 如图，设A(x,)B(x,2)P(x,) D 由AB均在C:女-上=1上，P为AB的中点， 43 得 =12+4g.则36-0+)=40-为0%+g. 3x2=12+4y 3=-业.乃+2=y-业.2%=-业.%-0 六46-66+5x-x2x-为。-0 3 kop.K48=- ，设直线AB的倾斜角为a,则kn=ana,不妨设a为锐角， ,△OFP是以FP为底边的等腰三角形，.直线OP的倾斜角为2a,则kor=tan2a. 3 .∴.tana.tan2a= 41 .∴.tana 1-tan2a4'解得tana= 2tana 3 33 11 ·由对称性知直线/的斜率为士 11 三、解答题 17.记Sn为等差数列{an}的前n项和，己知a,=-7,S,=-9. (1)求{a}的通项公式： (2)求Sn,并求Sn的最小值. 【解析】 (1)因为Sn为等差数列{an}的前n项和，且a,=-7,S=-9, 则S3=3a2=-9,即a=-3,可得公差d=a2-a=4, 所以数列{an}的通项公式为an=-7+4(n-1)-4n-11」 （2)因为4，=4n-11,则s,.=n-7+4n-10-2m-9n, 2 令0，=4n-11>0,解得n> 4 可知当n≥3时，an>0:当n≤2时，an<0: 所以Sn的最小值为S2=-7-3=-10 D 18.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中，已知AB=AD=2,A4,=3. (1)证明：平面ACC,A⊥平面BDD,B: (2)已知点P是线段AC上的动点，求四面体PACB,的体积. 【解析】 B (1)在长方休ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=2, 所以底面ABCD是正方形，则BD⊥AC 又因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD 所以AA⊥BD 由于AC∩AA=A, 所以BD⊥平面ACCA. 因为BDC平面BDD,B, 所以平面ACC,A,⊥平面BDD,B, (2)因为AC‖AC,所以点P到平面ABC的距离等于点B,到平而ABC的距离 所以'-ACg='a-PAC='a-BC 因为5=号分×4B×A0×2x2=2, 2 又因为A4=3,即点B到平面ABC的距离为3. 1 所以Vg-Bc=,Sc·AA= ×2×3=2 3 3 19.已知圆心为C的圆经过A(2,2),B(6,-2)两点，且圆心C在直线x-2y-6=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线1过点P(0,4),且被圆C所截得的弦K为43，求直线的方程 【解析】 （1)依题意，点4A(2,2,B6,-2)的中点坐标为(4,0，直线4B的斜率为2-2-1， 6-2 y=x-4 则线段AB中垂线斜率为1，方程为y=x-4,由 x-2y-6=0'解得x=2,y=-2, 因此圆C的圆心C(2,-2),半径rAC=4, 所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=16 (2)由直线1被圆C所截得的弦长为4V3,得圆心C(2,-2)到直线/距离d=VP2-(2√3=2， 显然圆心C(2,-2)到直线x=0的距离为2，因此直线/的方程可以为x=0: 当直线1斜率存在时，设其方程为y=x+4,则 24=2,解得=号 Vk2+1 4 直线1的方程为y=-亏x+4,即4r+3y-12=0, 所以直线/的方程为x=0或4x+3y-12=0.