学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷02（人教版，测试范围：九年级上册+下册）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册+下册。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角 B．抛掷一次硬币正面朝上 C．随便翻开一本书，页码是偶数 D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（    ） A．60° B．50° C．45° D．30° 5．下列关于抛物线说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，函数有最小值2 6．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 8．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 9．从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（       ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 13．将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为 ． 14．张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ． 15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 16．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分． 卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 19．（8分）如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 20．（8分）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 21．（10分）某商品现在的售价为每件元，每个星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每个星期要少卖出件：每降价元，每个星期可多卖出件．已知商品进价为每件元，设每件商品的售价为元（且为正整数），每个星期的销售量为件． (1)求与的函数关系； (2)设每星期的销售利润为，请写出与的关系式； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．（10分）如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． (1)求证： 为的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 23．（10分）在矩形中，点E，F  分别在边，上，将矩形沿折叠．    (1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H． ①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ； ②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值． (2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的最大值为 ． 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． (2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 选择题（每小题3分，共30分） 1.AIIBIICIIDI 5.Al[BIICI[DI 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 10.[AJIBIICIID] 3.1AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 81A]IB]ICI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 14. 15. 16 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共8个小邀，共儿分.胼合应与出义子况明，址明心罹叱演异步探） 17.(8分) 18.(8分) 请椿车趣馆趣酸城售等，超超黑形拆限农酸树修筝统效！ 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E阁 乙园 I阁 9 0 2 d 交 H d d (1)E :塔上券号海☒马潮到印张毋诺用理‘号功海☒暗号切目安挚 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册+下册。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一判断求解． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角 B．抛掷一次硬币正面朝上 C．随便翻开一本书，页码是偶数 D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 【答案】A 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角，是必然事件，故该选项符合题意； B. 抛掷一次硬币正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； C. 随便翻开一本书，页码是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票不一定中奖，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了概率的意义，三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握以上概念是解题的关键． 3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程为一元一次方程，不符合题意； B、方程是二元一次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程是分式方程，不符合题意， 故选：C． 4．如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（    ） A．60° B．50° C．45° D．30° 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故选：． 5．下列关于抛物线说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，函数有最小值2 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 6．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，弧长计算，根据弧长计算公式进行计算即可，熟练掌握弧长公式，是解题的关键． 【详解】解：根据旋转可知：， ∴． 故选：B． 7．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．根据一元二次方程解的定义得，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：为一元二次方程的根， ∴， 则， ∴， 故选：A． 8．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键． 根据的正切可得，而，进而即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，， ， 根据题意可得：， ， 故选：A． 9．从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质．根据二次函数的图像和性质解答即可． 【详解】解： ， 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①错误； 当小球的运动高度为时，有， 解得：或，故②正确； 当时，， 解得：或， 小球从抛出到落地需要，故③正确． 故选：C． 10．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，圆的半径相等的性质，勾股定理，连接，根据抛物线解析式求出，，，，，利用勾股定理求出，即可得到的长度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由抛物线解析式得， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， 令，则，解得：，， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 即这个“果圆”被轴截得的线段的长为， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13．将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“上加下减”的规律即可求得． 【详解】将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为： 即 故答案为： 14．张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．利用4月份盈利金额=2月份盈利金额每月盈利的平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 16．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． （2） 整理得： ∴，． 18．（8分）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分． 卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．要求学生掌握通过这两种方法列举出所有可能的结果，并从中找出目标事件的结果，进而计算概率． 【详解】解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 解法一： 第二次 第一次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， 所以，所求的概率为即． 解法二：      共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， 所以，所求的概率为即． 19．（8分）如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 20．（8分）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】(1) (2)线路2比线路1短，见解析 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． （2）解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 21．（10分）某商品现在的售价为每件元，每个星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每个星期要少卖出件：每降价元，每个星期可多卖出件．已知商品进价为每件元，设每件商品的售价为元（且为正整数），每个星期的销售量为件． (1)求与的函数关系； (2)设每星期的销售利润为，请写出与的关系式； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数的应用（其他问题），二次函数的应用（销售问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据“每涨价元，每个星期要少卖出件；每降价元，每个星期可多卖出件”列出与的函数关系式即可； （2）设每星期所获利润为，根据“每星期利润每件利润每星期的销售量”即可得出与的关系式； （3）把（2）中的解析式配成二次函数的顶点式，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 涨价时，， 由得， 解得：， ， 解得：， 即：， 降价时，， 由售价不小于进价且小于可得：， 整理，得：； （2）解：当涨价时，， 当降价时，， 综上所述：， 整理，得：； （3）解：当涨价时，， 当时，的最大值是元； 当降价时，， 定价为：或（元）时利润最大，最大值为元； ， 综合所述，定价为元时可获得最大利润为元， 答：每件商品的售价定为元时，每个星期可获得最大利润，最大利润是元． 22．（10分）如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． (1)求证： 为的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接，先得出为等腰直角三角形，求出，进而得出，根据平行线的性质得出，进而可得出，即可得出结论； （2）作，垂足为 M，由（1）可知为等腰直角三角形，先求出，，进而根据勾股定理得出结论； （3）连接，由题意可知：，，先证明，再证明，得出，得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）如图 2，作，垂足为 M， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∵ ，，，， ∴，， ∵在中，，， ∴； （3）如图 3，连接，由题意可知：，， ∵， ， ∴， ∵在与中， ，，， ∴， ∵， ∴， 即． 23．（10分）在矩形中，点E，F  分别在边，上，将矩形沿折叠．    (1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H． ①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为_________； ②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值． (2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的 最 大 值 为_________． 【答案】(1)①；② (2)2； 【分析】（1）①设，则，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，求出，再求出答案即可； ②延长，交于一点M，连接，设，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，求出结果即可； （2）根据折叠可知：，根据点P在上，点E在上，得出当时，最小，求出最小值即可；连接，根据点A的对应点P 落在边上，得出，根据折叠得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据当时，随增大而增大，随增大而减小，得出当时，x随的增大而增大，说明当时，最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点P为的中点， ∴， 根据折叠可知：，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； ②延长，交于一点M，连接，如图所示： 根据折叠可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵P为的中点， ∴设， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 根据折叠可知：， ∵点P在上，点E在上， ∴当时，最小， ∵此时， ∴此时四边形为矩形， ∴， ∴最小值为2，即的最小值为2； 连接，如图所示：    ∵点A的对应点P 落在边上， ∴， 根据折叠可知：， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 整理得：， ∵当时，随增大而增大，随增大而减小， ∴当时，x随的增大而增大， ∴当时，最大，且最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． (2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． （2）解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 5 6 7 8 10 C C C B C 第二部分（非选择题共90分) 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11是0.6 12.(1,-4) 13y=(x-2)2-114.2100(1+x)2=3260 15.60π 16. 45 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】(1)解：x2+x-12=0, :a=1,b=1,c=-12, :△=b2-4ac=12.4×1×(-12)=49>0,(2分) .方程有两个不相等的实数根， x=49 2 .X1=3,82=-4.(4分) (2)3x(x-1)=2x-2 整理得：3x(x-1)-2(x-1)=0(2分) (3x-2)(x-1)=0 x1=号，X2=1.(4分) 18.(8分) 【详解】解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 解法一： 第二次 A B C D 1/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第一次 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， 所以，所求的概率为品即言 解法二： 第一次第二次所有可能出现的结果 月 (A.B) (A,C) (A,D) A (B,A) (B,C) 开 D (B,D) 始 (C,A) C B (C.B) D (C,D) (D,A) D B (D.B) (D,C) 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， 所以，所求的概率为最即言.(8分) 19.(8分) 【详解】(1)解：相似.理由如下： :鼎==，器=努=}，能=9=， …器=噩=怨， :△ABC△ADE.(4分) (2)解：由(1)，得△ABC∽△ADE,:∠BAC=∠DAE :∠BAC=125°， :∠DAE=125°， 又：∠EAC=70°， ·∠CAD=∠DAE-∠EAC=55°.(8分) 2/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(8分) 【详解】(I)解：过点D作DE⊥AB,垂足为E. ∴∠AED=90°. ,'∠EAD=45°，∠EDB=37o, ∴AE=DE,BE=DE·tan37o=0.75AE. AB=AE+BE=7km, ∴.AE+0.75AE=7. 北 →东 63 B I 379 ∴AE=4. ..AE=DE=4km,BE=3km. ∴AD=V2AE=4W2≈5.7km. 故AD的长为5,7km.(4分) (2)解：由(1)可得，在Rt△BDE中， sin370=器， 即BD=≈=5km. 在Rt△ACB中，tan∠C=tan63°=怨， 即AC=品≈号=35km. sin63°=器， 即BC=0≈gN7.865km. 线路1：AC+CB=3.5+7.865≈11.4km; 线路2：AD+BD=5.656+5≈10.7km, 11.4>10.7,(7分) ∴.线路2更短 故线路2比线路1短.(8分) 3/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(10分) 【详解】(1)解：根据题意得： 涨价时，y=300-10(x-60)=-10x+900, y≥0得-10x+900≥0， 解得：x≤90， x-60≥0， 解得：x≥60， 即：60≤x≤90， 降价时，y=300+20(60-x)=-20x+1500, 由售价不小于进价40且小于60可得：40≤x<60, (-20x+1500(40≤x<60 整理，得：y={-10x+90060≤x≤90)：3分) (2)解：当涨价时，W=(x-40(-10x+90060≤x≤90)， 当降价时，W=(x-40)(-20x+1500(40≤x<60), 1(x-40(-20x+1500)(40≤x<60) 综上所述：W={x-40(-10x+900(60≤x≤90)' 1-20x2+2300x-60000(40≤x<60) 整理，得：W= (-10x2+1300x-36000(60≤x≤90)：(7分) (3)解：当涨价时，W=(x-40-10x+900)=-10x-65)+6250(60≤x≤90， :当x=65时，W的最大值是6250元： 当降价时，W=(x-40(-20x+1500)=-20(x-57.5)+6125(40≤x<60, ·定价为：x=57或58（元）时利润最大，最大值为6120元： :6250>6120, 综合所述，定价为65元时可获得最大利润为6250元，(10分) 答：每件商品的售价定为65元时，每个星期可获得最大利润，最大利润是6250元 22.(10分) 【详解】(1)证明：连接0D, .AC=BC,∠ACB=90°， 4/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△ACB为等腰直角三角形， ∴.∠CAB=45o, .∠C0D=2∠CAB=90°， .DE CF, ∴∠C0D+∠ED0=180°， ∴∠ED0=90°， ∴.DE为⊙O的切线；(3分) (2)如图2，作CM⊥AD,垂足为M, M /D 图1 图2 图3 由(1)可知△AMC为等腰直角三角形， :BC=4,BC=AC,AF=V2,∠CAM=45°， .AM=CM=22,FM=AM-AF=2. :在Rt△CFM中，CM=2V2,FM=V2, ∴.CF=VFM2+CM7=V22+82=10,(4分) (3)如图3，连接FG,由题意可知：AC=BC,CF=CG, ∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°-∠BCF, ∠BCG=∠FCG-∠BCF=90·-∠BCF, ∴.∠ACF=∠BCG, .在△ACF与△BCG中， AC=BC,∠ACF=∠BCG,CF=CG, .△ACF≌△BCG, ∠CBG=∠CAF=45°， ∴.∠GBF=∠CBG十∠CBA=90°， 5/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即∠ABG=90°.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：①，四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=3,AB=CD=2,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 点P为CD的中点， ∴.DP=CP=CD=1, 根据折叠可知：AE=PE,∠EPG=90°，GP=AB=2, 设AE=PE=,则DE=3-x, 在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DE2+DP2=EP2, (3-x)2+12=x2, 解得：X=号， ∴DE=3-号=青，EP=, ,∠EPD十∠CPH=∠CPH+∠CHP=90°， ∴.∠EPD=∠CHP, ∠D=∠C=90°， ∴.△DEP△CPH, =嚣， 即=， 解得：PH=, GH=1-号=是： ②延长AB,PG交于一点M,连接AP,如图所示： E D M 6/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 根据折叠可知：AP⊥EF,BG⊥直线EF, ∴.BGILAP, .'AE=EP, ∴·∠EAP=∠EPA, ∴.90°-∠EAP=90°-∠EPA, 即∠BAP=∠GPA, .MP=MA, P为CD的中点， ∴.设DP=CP=a, ∴AB=CD=2a, 点H为BC的中点， ∴.BH=CH, :∠BHM=∠CHP,∠MBH=∠C=90°， .△MBH≌△PCH(ASA), ∴.BM=CP=a,HM=HP, .MP=MA=MB+AB=3a, :.HP=PM=a, 在Rt△PCH中，根据勾股定理得：CH=VPH2-PC=5a, BC=2CH=5a, .AD=BC=5a. 在Rt△APD中，AP=VAD2+PD2=V6a .BGLAP, ∴.△BMG∽△AMP, 骆=器=， .BG-a 器=亲=6 5分) (2)解：，四边形ABCD为矩形， 7/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.AD=BC=3,AB=CD=2,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，ADIBC, 根据折叠可知：AE=EP, ,点P在BC上，点E在AD上， ∴当EP⊥BC时，EP最小， 此时∠EPB=∠A=∠B=90°， ∴此时四边形ABPE为矩形， ∴.EP=AB=2, ∴EP最小值为2，即AE的最小值为2： 连接AF,如图所示： E 点A的对应点P落在边BC上， .0≤BP≤3， 根据折叠可知：AF=PF, 设BF=X,则AF=PF=BP-x 根据勾股定理可得：AB2+BF2=AF2, 22+x2=(BP-x)2, 整理得：X=娶品， :当0≤BP≤3时，号随BP增大而增大，品随BP增大而减小， 当0≤BP≤3时，x随BP的增大而增大， ∴当BP=3时，BP最大，且最大值为号-号=吾.(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：①：抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-2,0),B(4,0), 了4a-2b-4=0 a= “{16a+4b-4=0,解得：1b=-1: :该抛物线的解析式为y=x2-X-4;(2分) ②：抛物线与y轴交于点C, 8/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 令x=0,则y=-4, C(0,-4), .0B=0C=4, :∠0BC=∠0CB=45°，BC=V0B2+0C=4V2, BD=3DC, :DC=V2,BD=32, 如图，过点D作DE⊥x轴，则BE=DE, BD=VBE2+DE2=V2BE=V2DE=3V2 BE=DE=3, ·0E=1, ·点D的坐标为(1，-3).(6分) (2)解：：b=-4a, :抛物线y=ax2-4ax-4,对称轴为直线x=2, 令x=3,则y=9a-12a-4=-3a-4, P(3,-3a-4), 如图，作点C关于x轴的对称点C(0,4),过点P作PF⊥y轴于点F,在PF上取点Q,使得 PQ=MN=1,连接CQ,则Q(2-3a-4), MNIPQ,MN=PQ, :四边形MNPQ是平行四边形， :MQ=PN, CM=CM :CM+MN+PN=CM+MN+MQ=CQ+MN=CQ+1, 9/10 画学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即当点M在CQ上时，CM+MN+PN有最小值为CQ+1, :CM+MN+PN的最小值为5V5+1,(8分) :CQ=5V5, 在Rt△CFQ中，CF=4-(-3a-4)=3a+8,FQ=2, CQ=V(3a+8)2+22=5V5, 整理得：3a2+16a-19=0, 解得：a=1或a=号（舍）， 即a的值为1.(10分) y C F 10/102025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 。▣▣■。●■▣。。■m。■=-。■=▣。▣=。■=■=■▣■■。中■ 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶)【1[/刀 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.AJ[B][C1[D] 2.[AJ[B][C1[D] 6.[A][B][C][D] 10.[AJ[B][C1[DJ 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C1[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分) 11. 12. 12 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) B 20.(8分) 北 →东 63 B 1 7月 D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) G R D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) E E A D F 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册+下册。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列车标图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角 B．抛掷一次硬币正面朝上 C．随便翻开一本书，页码是偶数 D．某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，A，B，C是上的三点，，则的度数为（    ） A．60° B．50° C．45° D．30° 5．下列关于抛物线说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，函数有最小值2 6．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．已知为一元二次方程的根，那么的值为（    ） A． B． C．0 D． 8．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（    ） A． B． C． D． 9．从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系为，其中．有下列结论：①当时，小球运动到最大高度；②当小球的运动高度为时，运动时间为或；③小球从抛出到落地需要．其中，正确的结论个数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”． 已知点，，，分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的长为（       ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 11．在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 13．将抛物线向下平移2个单位后所得的抛物线解析式为 ． 14．张师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利元，4月份盈利达到元，设张师傅每月盈利的平均增长率为x，根据题意，请列出方程 ． 15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 16．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分． 卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）．小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 19．（8分）如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 20．（8分）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 21．（10分）某商品现在的售价为每件元，每个星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每个星期要少卖出件：每降价元，每个星期可多卖出件．已知商品进价为每件元，设每件商品的售价为元（且为正整数），每个星期的销售量为件． (1)求与的函数关系； (2)设每星期的销售利润为，请写出与的关系式； (3)每件商品的售价定为多少元时，每个星期可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．（10分）如图1， 在中，，， 经过A，C两点的交于点D， 连接并延长线交于点 F， 作交于点E． (1)求证： 为的切线； (2)若，，求的长； (3)如图2， 将绕点C逆时针旋转到，点F和点G对应， 连接，求的大小． 23．（10分）在矩形中，点E，F  分别在边，上，将矩形沿折叠．    (1)若点A的对应点P 落在边上，点B 的对应点为点G，交于点H． ①如图1，当P 为的中点，且，时，则的长为 ； ②如图2，连接，当P，H 分别为，的中点时，求的值． (2)若点A的对应点P 落在边上，如图3，点B 的对应点为点G．当，时，则的最小值为 ，的最大值为 ． 24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． (2)若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $