学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（深圳专用，北师大版九上全册）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上全册。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．若方程的一个根是m，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知、是方程两个根，则 10．如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ． 12．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 13．如图，矩形中，，点在边上，，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接、，分别交边于点、，如果，则的长为 ． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 15．（5分）如图所示，点为方格纸上一个格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 16．（8分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 17．（8分）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 18．（9分）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形；(2)若，，求四边形的周长． 19．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求m、k的值； (2)点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求出区域W内的整点的坐标； ②若区域W内恰有1个整点，直接写出的取值范围． 20．（12分）【问题提出】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，，若点，，在同一直线上，则与的数量关系为__________； （2）如图②，在等腰中，，点为边上一点，以为边向下方作正方形，连接，试探究与的数量关系及的度数； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是一个矩形游乐场，其中，为了进一步提高顾客的体验感，开发商对其进行扩建，根据规划要求，游乐场新项目在矩形外，点处的两个游乐项目保持不变，在点处设置一个出入口，连接，现要沿修建小路，将小路设计为特色小路吸引更多顾客，若m，m，求特色小路的最大值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上全册。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．若方程的一个根是m，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知、是方程两个根，则 10．如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ． 12．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 13．如图，矩形中，，点在边上，，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接、，分别交边于点、，如果，则的长为 ． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 15．（5分）如图所示，点为方格纸上一个格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 16．（8分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 17．（8分）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 18．（9分）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形；(2)若，，求四边形的周长． 19．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求m、k的值； (2)点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求出区域W内的整点的坐标； ②若区域W内恰有1个整点，直接写出的取值范围． 20．（12分）【问题提出】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，，若点，，在同一直线上，则与的数量关系为__________； （2）如图②，在等腰中，，点为边上一点，以为边向下方作正方形，连接，试探究与的数量关系及的度数； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是一个矩形游乐场，其中，为了进一步提高顾客的体验感，开发商对其进行扩建，根据规划要求，游乐场新项目在矩形外，点处的两个游乐项目保持不变，在点处设置一个出入口，连接，现要沿修建小路，将小路设计为特色小路吸引更多顾客，若m，m，求特色小路的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A A B C A A 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9． 10．18 11． 12． 13． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．【详解】（1）解：， ， ， 2分 或， 或； 4分 （2）解：， ，，， ， 6分 ， ，． 8分 15．【详解】（1）解：如图所示，，，． 2分 4分 （2）解：如图所示： ，，或，， 5分 16．【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； 3分 （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78； 4分 （3）解：八年级“非常了解”的人数为； 九年级“非常了解”的人数为2； 设八年级2人为A、B，九年级2人为C、D， 作图如下： 6分 可知共12种情况，其中所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的情况有2种， 即所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 8分 17．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 2分 （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， 4分 ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； 6分 （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 8分 18．【详解】（1）证明：∵将沿翻折得到，连接交C于点O， ∴，线段垂直平分，即， ∵， ∴， 2分 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 4分 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 7分 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的周长为． 9分 19．【详解】（1）解：将将点，代入，得：， ∴， ∴； 2分 （2）①∵点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N，， ∴的横坐标均为6， 当时，，， ∴， 4分 ∵的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W，， ∴内点的横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， ∴W内的整点的坐标为（4，2），（5，2），（5，3）； 7分 ②∵， 当点的横坐标在的左侧时：内的点的横坐标， ∵区域W内恰有1个整点， ∴该点的横坐标为：2， ∴； 9分 当点的横坐标在的右侧时：内的点的横坐标， ∵区域W内恰有1个整点， ∴该点的横坐标为：4， ∴； 综上：当或时，区域W内恰有1个整点． 11分 20．【详解】（1）和都是等腰直角三角形，， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ； 3分 （2）如图②，连接BE． ∵在等腰中，，以为边作正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 6分 （3）如图③，过点作，使，连接，， 则，， ∴， ∴， 8分 ∴， ∴， 在中，， ∴，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最大值，此时也取得最大值， 10分 在中，， ∴， ∴的最大值为， 即特色小路的最大值为． 12分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B]IC][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 10 11 2 13. 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(5分) 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 30米 x米 20米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) B C E A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(11分) 5 3 -1012345678x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) B 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九上全册。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看到的图形如下： 故选：C． 2．若方程的一个根是m，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 移项得：． 故选：D． 3．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ， ，， 解得． 故选：A． 4．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 5．某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：列表如下： 第一名\第二名 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 总结果数： 甲、乙获前两名的结果数：2种（即“（甲，乙）” “（乙，甲）”）， ∴， 故选：B 6．如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 7．已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ， ∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵ 点的， ∴ ， ∵ 点和的， ∴ ，， 又 ∵ ，且在第一象限内函数递减， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：A． 8．如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 的周长为， 是等腰直角三角形， ， 如图，当时，最小，    正方形的边长为8， ， ， 的周长的最小值为， 故选：A． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．已知、是方程两个根，则 【答案】 【分析】 【详解】解：对于方程， 根据根与系数的关系，有，。 ， 故答案为：． 10．如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为 ． 【答案】18 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到的位置，点A、O的对应点分别是C、E．函数的图象经过点和的中点．则的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设平移的距离为，则 由平移性质得，，，故的中点的坐标为 ∵过、， ∴， 解得． 故的长为． 故答案为：． 12．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 13．如图，矩形中，，点在边上，，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接、，分别交边于点、，如果，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，延长相交于点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 由折叠得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， 2分 或， 或； 4分 （2）解：， ，，， ， 6分 ， ，． 8分 15．（5分）如图所示，点为方格纸上一个格点三角形，为格点． (1)以为原点建立平面直角坐标系，并写出、、三点坐标． (2)以为位似中心作，且位似比为，并写出点、、的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，，，． 2分 4分 （2）解：如图所示： ，，或，， 5分 16．（8分）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； 3分 （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78； 4分 （3）解：八年级“非常了解”的人数为； 九年级“非常了解”的人数为2； 设八年级2人为A、B，九年级2人为C、D， 作图如下： 6分 可知共12种情况，其中所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的情况有2种， 即所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 8分 17．（8分）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 2分 （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， 4分 ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； 6分 （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 8分 18．（9分）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折得到，连接交C于点O， ∴，线段垂直平分，即， ∵， ∴， 2分 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 4分 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 7分 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的周长为． 9分 19．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求m、k的值； (2)点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求出区域W内的整点的坐标； ②若区域W内恰有1个整点，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：将将点，代入，得：， ∴， ∴； 2分 （2）①∵点是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，交直线l于点M，交反比例函数的图象于点N，， ∴的横坐标均为6， 当时，，， ∴， 4分 ∵的图象在点A，N之间的部分与线段围成的区域（不含边界）为W，， ∴内点的横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， ∴W内的整点的坐标为（4，2），（5，2），（5，3）； 7分 ②∵， 当点的横坐标在的左侧时：内的点的横坐标， ∵区域W内恰有1个整点， ∴该点的横坐标为：2， ∴； 9分 当点的横坐标在的右侧时：内的点的横坐标， ∵区域W内恰有1个整点， ∴该点的横坐标为：4， ∴； 综上：当或时，区域W内恰有1个整点． 11分 20．（12分）【问题提出】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，，若点，，在同一直线上，则与的数量关系为__________； （2）如图②，在等腰中，，点为边上一点，以为边向下方作正方形，连接，试探究与的数量关系及的度数； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是一个矩形游乐场，其中，为了进一步提高顾客的体验感，开发商对其进行扩建，根据规划要求，游乐场新项目在矩形外，点处的两个游乐项目保持不变，在点处设置一个出入口，连接，现要沿修建小路，将小路设计为特色小路吸引更多顾客，若m，m，求特色小路的最大值． 【详解】（1）和都是等腰直角三角形，， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ； 3分 （2）如图②，连接BE． ∵在等腰中，，以为边作正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 6分 （3）如图③，过点作，使，连接，， 则，， ∴， ∴， 8分 ∴， ∴， 在中，， ∴，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最大值，此时也取得最大值， 10分 在中，， ∴， ∴的最大值为， 即特色小路的最大值为． 12分 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√][/1 一、 选择题（每小题3分，共24分) 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 3[A[B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) 9 10 12 13 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(5分) 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 30米 x米 20米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(9分) B C E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(11分) y 3 A 1 -112345678x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(12分) A A B C 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！