第03讲 分式（复习讲义，2考点4题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式概念、运算等中考核心考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-分层练习”系统架构，通过近三年山东中考真题梳理考向，结合概念辨析、运算技巧指导及题型分类训练，帮助学生突破分式有意义、值为0及化简求值难点。 亮点在于“重难突破”模块，如规律探索和倒数求值法教学，培养学生数学思维与运算能力，命题洞悉部分按“直接代入-分析后代入”分类题型，配合基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习，教师可精准把控复习节奏，助力学生高效提升分式应考能力。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 分式的基本性质及应用 题型01分式无意义的条件 题型02分式的值为0 命题点二 分式的运算 题型01 分式的化简求值直接代入 题型02 分式的化简求值分析后代入 05·重难突破·思维进阶难 19 突破一 分式的规律探索 突破二 倒数求值法 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的相关概念 山东淄博T7 山东烟台 T11 山东滨州T15 山东卷T11 山东济宁T4 山东烟台T17 理解分式和最简分式的概念 分式的运算 山东滨州T15、T19 山东德州T16 山东潍坊T4 山东青岛T23 山东卷T16 山东烟台T17 山东德州 T19 山东日照T17 山东青岛T17 山东淄博T18 山东东营T19 山东潍坊T15 山东泰安T19 山东威海T14 山东烟台T17 山东卷T17 山东青岛T18山东潍坊T15 山东泰安T19 山东日照T17 山东卷T16 山东东营T19 山东聊城T18 山东临沂T17 山东滨州T18 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 命题预测 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题。 考点一 分式的相关概念 1、分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 2、对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 3、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 4、最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 6、通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 7、约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 8、最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 9、确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且． 故答案为：且． 3．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． 考点二 分式的乘除 分式的乘除法 1、分式的乘法:用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2、分式的除法:把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘。 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·山东威海·一模）下列运算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算等知识，根据同底数幂相除法则，分式的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则等逐项判断即可． 【详解】解：A．，故不符题意； B．，故符合题意； C． ，故不符题意； D． ，故不符题意； 故选：B． 3．（2025·山东济南·一模）的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 考点三 分式的加减 分式的加减法 1、 同分母分式相加减:分母不变，分子相加减。 2、 异分母分式相加减:先通分，化为同分母的分式，再加减。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2．（2025·山东聊城·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．先化简，再通分，然后根据同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 考点四 分式的混合运算 1、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。 2、分式的混合运算运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。 1．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 2．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可. 【详解】解： ， ∵， ∴原式. 命题点一 分式的基本性质及应用 ►题型01 分式无意义的条件 / 对于分式来说： 当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义 【典例】（2025·山东枣庄·模拟预测）写出使代数式有意义的的一个值 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式根号里的式子非负和分式的分母不为零，列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：且． 故答案为：（答案不唯一） ． 【变式】1.（2025·山东菏泽·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 根据题意可知，且，可得答案． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东聊城·三模）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据分式和二次根式有意义的条件，得出且，解不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：． 故答案为：． ►题型02 分式的值为0 / 对于分式来说：当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【答案】且 【分析】本题考查了分式为零的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，再根据分式为零得到，即可求出结果． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 2．（2025·山东菏泽·三模）代数式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义、分式的值为零的条件，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 根据分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的化简求值直接代入 / 1. 确认条件 检查分母是否为零。若分母为零，则表达式无意义，需重新审题或调整方法。 2. 代入数值 将已知数值替换到分子和分母中，注意运算顺序（先乘除后加减，括号优先）。 3. 计算结果 按常规算术规则计算，必要时进行分数化简（如约分、通分等）。 4. 验证合理性 检查结果是否符合实际意义（如单位、正负号等）。 【典例】（2025·山东日照·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组：． 【答案】（1），1；（2） 【分析】此题考查了分式的化简求值、解不等式组等知识，熟练掌握运算法则和解不等式组的步骤是关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可； （2）求出每个不等式的解集，求出解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式• • 当时， 原式 ； （2）， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【典例】1．（2025·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2）， 【分析】本题主要考查实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算负整数指数幂、二次根式的乘方、化简绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （2）原式先计算括号内的，把除法转换为乘法，得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 2．（2025·山东东营·三模）计算 (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分数化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法和分式基本性质，把分式化简． （1）分别解出每个不等式，再求公共解集即可； （2）先化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为； （2） ， 当时， 原式 ． ►题型02 分式的化简求值分析后代入 / 1. 忽略分母为零的情况：代入前务必检查分母是否为零。 2. 符号错误：去括号、约分、负数的平方等情况下，注意符号的变化。 3. 运算顺序错误：严格遵循“先乘除后加减”，使用括号明确优先级。 4. 未化简最终结果：结果需化为最简分数或整数。 5. 混淆变量替换：观察是否可因式分解后再代入。 【典例】（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 【答案】(1)； (2)，当时，原式值为8 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算括号内减法，再进行括号外除法运算，选取的值要使原分式有意义，所以，选代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； ∵且a为整数， ∴， 又要使原分式有意义，则， ∴选取，原式． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握平方根，零指数幂，绝对值，负整数指数幂和分式的化简运算是解题的关键， （1）根据平方根，零指幂，绝对值，负指数幂的运算，计算即可求得答案； （2）根据提公因式，完全平方公式，平方差公式将分式化简，再根据x的值是不等式组的整数解，得到的值，代入即可求得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； 由分式的意义，可知、0、1， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解是，0，1，2，其中，0，1不符合分式的意义， ∴x只能取2． 将代入，得原式． 2．（2025·山东泰安·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）；（2）， 【分析】此题考查实数的混合运算，分式的化简求值，特殊三角函数值的计算， （1）先代入特殊角度的三角函数值，计算零次幂，负指数幂，绝对值，再计算加减法； （2）先计算小括号中的异分母分式减法，将除法化为乘法，再计算乘法化简，最后代入式子的值即可 【详解】解：（1） ； （2）原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】对于正数，规定，例如，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现的规律成为解题的关键． 先发现，然后代入化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式】1.定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 2.规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的加减运算，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算，，，的值得到，，从而得到规律，然后利用此规律得到最后的值． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 突破二 倒数求值法 【典例】阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 【变式】1．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过倒数法将分式变形； 先对已知条件取倒数，求出的值；再对所求分式取倒数，将其变形为含的形式，代入求值后再取倒数得到最终结果． 【详解】解：∵，且 整理得： 分式取倒数： 变形得：   将代入上式： ∴， ∴． 故答案为． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 1．（2025·山东临沂·二模）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，把分子合并同类项，再把分子与分母约分即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 【答案】C 【分析】根据，，结合为任意正整数，解答即可． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 由为任意正整数， 故． 故， 故选：C． 3．（2025·山东滨州·二模）函数中自变量取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得， 解得且， ∴； 故答案为：． 4．（2025·山东济南·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为： 5．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 6．（2025·山东聊城·三模）计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值，在合并即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2025·山东青岛·三模）（1）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数代入求值． （2）解不等式组：． 【答案】（1），当时，原式；（2） 【分析】本题考查了分式化简与求值、一元一次不等式组的解法等知识点，解题的关键在于准确进行分式的化简，特别是处理分母不为零的条件，以及在解不等式组时分别求解每个不等式并找出它们的解集，同时注意运算过程中的符号变化和细节处理． （1）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可； （2）先分别解两个不等式得到和，然后根据同小取小原则确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式      ， 且， 可以取， 当时，原式； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为． 8．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后求出不等式组的整数解，然后把有意义的x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为，，， ∵当，1，时，分式无意义， ∴当时，原式． 1．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 2．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 3．（2025·山东淄博·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．根据分式与二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 4．（2025·山东济宁·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、分式的化简求值、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据绝对值、负整数次幂、零次幂、立方根化简，然后再计算即可； （2）先利用分式的混合运算法则化简，然后解方程求出a的值，根据分母不为0，取舍a的值，最后代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解方程可得：或 ∵分母， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·山东滨州·二模）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】，4 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合运算法则将分式化简，再解不等式组，求出不等式组的解集，再根据整数解的定义可得的值，将的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 解不等式组： 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是 ∵是不等式组的整数解， ∴， 将代入原式得：原式． 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 4．（2025·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 5．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 6．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 7．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 8．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 分式的基本性质及应用 题型01分式无意义的条件 题型02分式的值为0 命题点二 分式的运算 题型01 分式的化简求值直接代入 题型02 分式的化简求值分析后代入 05·重难突破·思维进阶难 9 突破一 分式的规律探索 突破二 倒数求值法 06·优题精选·练能提分 11 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的相关概念 山东淄博T7 山东烟台 T11 山东滨州T15 山东卷T11 山东济宁T4 山东烟台T17 理解分式和最简分式的概念 分式的运算 山东滨州T15、T19 山东德州T16 山东潍坊T4 山东青岛T23 山东卷T16 山东烟台T17 山东德州 T19 山东日照T17 山东青岛T17 山东淄博T18 山东东营T19 山东潍坊T15 山东泰安T19 山东威海T14 山东烟台T17 山东卷T17 山东青岛T18山东潍坊T15 山东泰安T19 山东日照T17 山东卷T16 山东东营T19 山东聊城T18 山东临沂T17 山东滨州T18 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 命题预测 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题。 考点一 分式的相关概念 1、分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 2、对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 3、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 4、最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 6、通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 7、约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 8、最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 9、确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2．（2025·山东烟台·模拟预测）使代数式有意义的x的取值范围是 ． x 3．（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 考点二 分式的乘除 分式的乘除法 1、分式的乘法:用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2、分式的除法:把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘。 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）下列运算结果是的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·一模）的结果为 ． 考点三 分式的加减 分式的加减法 1、 同分母分式相加减:分母不变，分子相加减。 2、 异分母分式相加减:先通分，化为同分母的分式，再加减。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 2．（2025·山东聊城·三模）计算的结果为 ． 3．（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 考点四 分式的混合运算 1、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。 2、分式的混合运算运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。 1．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 2．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 3．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中． 命题点一 分式的基本性质及应用 ►题型01 分式无意义的条件 / 对于分式来说： 当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义 【典例】（2025·山东枣庄·模拟预测）写出使代数式有意义的的一个值 ． 【变式】1.（2025·山东菏泽·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 2．（2025·山东聊城·三模）如果代数式有意义，则x的取值范围是 ． ►题型02 分式的值为0 / 对于分式来说：当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. 【典例】（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【变式】1．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·三模）代数式的值为0，则 ． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的化简求值直接代入 / 1. 确认条件 检查分母是否为零。若分母为零，则表达式无意义，需重新审题或调整方法。 2. 代入数值 将已知数值替换到分子和分母中，注意运算顺序（先乘除后加减，括号优先）。 3. 计算结果 按常规算术规则计算，必要时进行分数化简（如约分、通分等）。 4. 验证合理性 检查结果是否符合实际意义（如单位、正负号等）。 【典例】（2025·山东日照·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）解不等式组：． 【典例】1．（2025·山东潍坊·模拟预测）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 2．（2025·山东东营·三模）计算 (1)解不等式组：； (2)先化简，再求值：，其中． ►题型02 分式的化简求值分析后代入 / 1. 忽略分母为零的情况：代入前务必检查分母是否为零。 2. 符号错误：去括号、约分、负数的平方等情况下，注意符号的变化。 3. 运算顺序错误：严格遵循“先乘除后加减”，使用括号明确优先级。 4. 未化简最终结果：结果需化为最简分数或整数。 5. 混淆变量替换：观察是否可因式分解后再代入。 【典例】（2025·山东泰安·一模）计算： (1)； (2)，再选一个合适的a的值代入求值，其中且a为整数． 【变式】1．（2025·山东·模拟预测）（1）计算：； （2）先化简，再求值： ，其中x的值是不等式组的整数解． 2．（2025·山东泰安·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中x满足． 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】对于正数，规定，例如，则的值是 ． 【变式】1.定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 2.规定，例如：表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…那么 ． 突破二 倒数求值法 【典例】阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【变式】1．已知：，则 ． 2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值．      1．（2025·山东临沂·二模）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2025·山东淄博·二模）已知分式，，其中为任意正整数，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．，的大小关系与的取值有关 3．（2025·山东滨州·二模）函数中自变量取值范围是 ． 4．（2025·山东济南·三模）若分式的值为0，则的值为 ． 5．（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 6．（2025·山东聊城·三模）计算： (1) (2) 7．（2025·山东青岛·三模）（1）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数代入求值． （2）解不等式组：． 8．（2025·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解． 1．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（2025·山东淄博·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（2025·山东济宁·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 5．（2025·山东滨州·二模）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 4．（2025·陕西·中考真题）化简：． 5．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 6．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 7．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $