第26章 二次函数（单元测试·提升卷）数学华东师大版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第26章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C A D C C C C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．5 12． 13．4 14． 15．直线且 16． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分） 【详解】（1）解：根据题意得： （1分） 解方程组得：（2分） ∴二次函数解析式为；（4分） （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、，（6分） 因此，当时，x的取值范围为：．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：由题意得，，（2分） 销售单价不低于进价，且为降价销售， ，（3分） 与之间的函数关系式为；（4分） （2）解：由题意得， ， ，（6分） ，， 元时，即销售单价定为元时， 每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元．（8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则，（2分） 即， 解得或（4分） 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；（5分） （2）解：设运动时间为秒，则, 则，（7分） 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为；（3分） （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， ∵上边缘抛物线在时，y随x的增大而增大， 下边缘抛物线在时，y随x的增大而减小， ∴当时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；（6分） （3）， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：在中，， ； 中，， 的高， ， 正方形的边长为x， ， ；（4分） （2）解：画出函数，函数如图： 函数的性质：y随x的增大而减小； 函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大；（7分） （3）解：联立，消去y整理得， 配方得，即， 解得， ， 的交点的横坐标大约为， 观察图象，时x的取值范围是（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：∵一元二次方程是倍根方程， ∴设其中一个根为，则另一个为,则， 解得， ∴； 故答案为：2；（3分） （2）解：∵， 解得． ∵是倍根方程， 由题意可知． ∴， 即或． ∵ ∴；（6分） （3）解：∵方程是倍根方程，不妨设 ∵相异两点都在抛物线上， ∴由抛物线的对称轴为， 根据抛物线对称轴与方程根的关系，有：， 又∵ ∴，即， ∴， 即的两根分别为，．（10分） 23．（10分） 【详解】解：（1）由题意知， 红色花卉的面积为：， 蓝色花卉的面积为：， 黄色花卉的面积为：， 故答案为：，，；（4分） （2）；（7分） （3）， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，W有最小值，即购买花卉的总费用最少， ∴最少费用是3520元．（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为.（2分） （2）解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：．（3分） 设，则， 则， 故，（4分） ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时，（5分） 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时．（6分）    （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得，（7分） 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴，（8分） 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意，（9分） 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或．（10分） 25．（10分） 【详解】（1）抛物线，为常数，经过点， ， 当时，抛物线的表达式为， 故抛物线的顶点坐标为；（2分） （2）当时， 抛物线，为常数，经过点， ， ， 抛物线顶点，对称轴为直线， 由得：，（3分） 如图1，过点作轴于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：；（6分） （3）当时，由题意的中点， 如图2，作点关于直线的对称点， 当满足条件的点落在线段上时，最小， 此时，．（7分） 过点作轴于点， 在中，，， ， 又， ， 解得：，（舍去），（8分） 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：，（9分） 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ，， 当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第26章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A．，不是二次函数； B．，可能为0，所以不一定是二次函数； C．，，是二次函数； D．，是分式函数，不是整式，不是二次函数； 故选：C． 2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值． 【详解】解：当时，， ∴ 交点坐标为． 故选：B． 3．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的函数值计算与大小比较，代入自变量求值并比较数值大小是解题的关键． 解题思路：代入三点的横坐标到抛物线解析式，算出对应值，再比较y值大小即可． 【详解】解：当时，， 当时， 当时，， ，故． 故选：C． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．通过二次函数的顶点形式分析顶点位置，判断开口方向，确定最值，以及求解与坐标轴的交点，结合选项进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为， 故选项A不符合题意； 令 ，得 ， 即， 此时无实数解， ∴图象与x轴无交点， 故选项B不符合题意；； ∵二次函数为的， ∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值， 故选项C不符合题意； 令，得， ∴ 与y轴交点为， 故选项D符合题意； 故选：D． 6．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可 【详解】∵点和在函数的图象上，   ∴，即，   同理，   ∴a, b是方程的两个根，   由根与系数关系得：，   由，得，   ∴，   代入，   ∴原式   故选C 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是 ∴， 即． 所以①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴是， ∴； ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴， 所以②正确； 由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 即， 所以③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 所以时，，即， 所以④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴⑥不正确． 所以正确的有4个． 故选：C． 10．已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（  ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】D 【分析】本题考查了函数的综合问题． 先求出，则，①根据函数经过点，得到，即，，此时，当时，，则函数的图象一定经过点；②根据要求可知，，即，根据根的判别式计算即可；③由可知，得到，找出所有整数点即可． 【详解】解：∵s为正整数， ∴， ∵表示中最大的数， ∴， ①∵函数经过点， ∴． ∵， ∴，， 此时，则， ∴， 当时，，则函数的图象一定经过点，①正确； ②∵，均为自然数，， ∴，此时，则， 则，， ∴， 即， ∵关于x的方程恰有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或，②正确； ③∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 即， ∴，， 即， 由可知，。因为均为整数， ∴和也为整数，则必须为整数， ∴是2的整数因数，即的可能取值为 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 即整数点：，共4个，③正确； 综上所述，正确的个数为3个． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若抛物线经过点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，直接把点坐标代入即可计算出c的值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当时，， ∴ 解得：， 故答案为：5． 12．已知关于的二次函数的图象开口向下， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，根据二次函数的定义，指数必须为2，且开口向下时二次项系数小于零，由此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：由于函数是二次函数，故指数满足， 解得， 所以或． 又因为图象开口向下，故二次项系数， 即， 故满足， 故答案为：． 13．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是 米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故答案为4． 14．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．求的顶点坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标的方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得， 的顶点坐标为， 令， 解得：， ∴， ∴， 由旋转可知：，即， ∴， 根据二次函数的对称性可知：图象的对称轴为直线， ∴， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，……， 的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， 的顶点坐标是，即， 故答案为． 15．已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为 ． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 直线 且 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）直接利用二次函数对称轴公式求解。 （2）构造，得到新二次函数，根据开口方向分和两种情况讨论，利用函数在区间上的单调性及最大值条件求解． 【详解】解：（1）二次函数中，对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）设， 当时，始终成立，等价于恒成立， 当时，． 分两种情况： 当时，二次函数开口向上， 时，， 若在范围内恒成立，则需满足在时，， 即， 解得， ； 当时，二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，z随x的增大而减小， 时，， 在范围内恒成立， 综上可知，a的取值范围是且． 故答案为：直线； 且． 16．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．在上截取，连接，过作交延长线于，则，在中，设，则，，得到，，，，，，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接，过作交延长线于，则， 由旋转性质得，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，设，则，， ，，， ，， ， ， ∴当时，S最大，最大值为． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． (1)求此二次函数解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将和代入二次函数进行计算求解和的值即可 （2）根据二次函数的图像性质，由于开口向上，与的交点为、，所以时， x的取值范围在两交点之间． 【详解】（1）解：根据题意得： 解方程组得： ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 所以该二次函数的图像开口向上，与轴的交点为、， 因此，当时，x的取值范围为：． 18．（8分）年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，二次函数的最值，解题关键是根据题意正确列出函数解析式． （1）依据题意，根据销售量与的关系进行分析计算可以得解； （2）依据题意，可得利润与销售单价之间的关系，利用二次函数的性质可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 销售单价不低于进价，且为降价销售， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， ， ， ，， 元时，即销售单价定为元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大，最大利润是元． 19．（10分）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 20．（10分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果； （3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， ∵上边缘抛物线在时，y随x的增大而增大， 下边缘抛物线在时，y随x的增大而减小， ∴当时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2； （3）， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． 21．（10分）如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 【答案】(1)； (2)见解析，函数的性质：y随x的增大而减小；函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角函数，函数的图象，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，则；求得平行四边形的高，然后利用正方形的面积以及平行四边形的面积公式求得，即可求得； （2）画出两个函数的图象，然后根据图象得出函数的性质； （3）求得两个函数的交点横坐标，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ； 中，， 的高， ， 正方形的边长为x， ， ； （2）解：画出函数，函数如图： 函数的性质：y随x的增大而减小； 函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大； （3）解：联立，消去y整理得， 配方得，即， 解得， ， 的交点的横坐标大约为， 观察图象，时x的取值范围是 22．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)0 (3)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，解一元二次方程， 对于（1），先设其中一个根为，则另一个为,根据一元二次方程根与系数的关系得，求出，再根据两根之积得出答案； 对于（2），先求出方程的两个根是，再根据“倍根方程”得出定义分两种情况得出，进而得出答案； 对于（3），先设再求出抛物线的对称轴，即可得，然后根据“倍根方程”的定义解答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程是倍根方程， ∴设其中一个根为，则另一个为,则， 解得， ∴； 故答案为：2； （2）解：∵， 解得． ∵是倍根方程， 由题意可知． ∴， 即或． ∵ ∴； （3）解：∵方程是倍根方程，不妨设 ∵相异两点都在抛物线上， ∴由抛物线的对称轴为， 根据抛物线对称轴与方程根的关系，有：， 又∵ ∴，即， ∴， 即的两根分别为，． 23．（10分）【问题背景】为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，，每种花卉的价格如下表： 品种 红色花卉 蓝色花卉 黄色花卉 价格/（元/平方米） 40 100 60 【建立模型】设的长为，购买花卉的总费用为W元． （1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积： 红色花卉面积：______，蓝色花卉面积：______，黄色花卉面积：______． （2）求W与x之间的函数表达式； 【方案决策】 （3）求当x为何值时，购买花卉的总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1），，，（2），（3）当时，购买花卉的总费用最少，最少费用是3520元 【分析】本题考查了三角形和正方形的面积公式应用，函数表达式的建立及二次函数的性质． （1）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积−小正方形的面积−红色花卉的种植面积=黄色花卉的种植面积； （2）根据总费用=各种花卉的费用之和列出函数关系式； （3）根据（2）的解析式，由二次函数的性质求出W取最小值时x的值，随即得出W的最少费用． 【详解】解：（1）由题意知， 红色花卉的面积为：， 蓝色花卉的面积为：， 黄色花卉的面积为：， 故答案为：，，； （2）； （3）， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，W有最小值，即购买花卉的总费用最少， ∴最少费用是3520元． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. （2）解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时．    （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 25．（10分）已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线，为常数，经过点，可得：，由，可得抛物线的表达式为，故抛物线的顶点坐标为； （2）由得：，如图1，过点作轴于点，运用勾股定理可得：，，建立方程求解即可得出答案； （3）当满足条件的点落在上时，最小，此时，．过点作轴于点，利用勾股定理求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求解． 【详解】（1）抛物线，为常数，经过点， ， 当时，抛物线的表达式为， 故抛物线的顶点坐标为； （2）当时， 抛物线，为常数，经过点， ， ， 抛物线顶点，对称轴为直线， 由得：， 如图1，过点作轴于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：； （3）当时，由题意的中点， 如图2，作点关于直线的对称点， 当满足条件的点落在线段上时，最小， 此时，． 过点作轴于点， 在中，，， ， 又， ， 解得：，（舍去）， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ，， 当时，的最小值为，此时点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第26章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 6．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（  ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若抛物线经过点，则 ． 12．已知关于的二次函数的图象开口向下， ． 13．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是 米． 14．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．求的顶点坐标 ． 15．已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为 ． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是 ． 16．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为 ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． (1)求此二次函数解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 18．（8分）年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19．（10分）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 20．（10分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________． 21．（10分）如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 22．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 23．（10分）【问题背景】为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，，每种花卉的价格如下表： 品种 红色花卉 蓝色花卉 黄色花卉 价格/（元/平方米） 40 100 60 【建立模型】设的长为，购买花卉的总费用为W元． （1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积： 红色花卉面积：______，蓝色花卉面积：______，黄色花卉面积：______． （2）求W与x之间的函数表达式； 【方案决策】 （3）求当x为何值时，购买花卉的总费用最少，最少费用是多少？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25．（10分）已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第26章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 6．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（  ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若抛物线经过点，则 ． 12．已知关于的二次函数的图象开口向下， ． 13．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是 米． 14．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．求的顶点坐标 ． 15．已知二次函数（）． （1）函数的对称轴为 ． （2）当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是 ． 16．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接．若，则的面积的最大值为 ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点和． (1)求此二次函数解析式； (2)当时，直接写出x的取值范围． 18．（8分）年是农历乙巳蛇年，商场调查发现，含有“蛇”元素的“吉祥公仔”深受大众喜爱．“公仔”的进价为每个元，当销售单价定为元时，每天可售出个，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低元，每天可多售出个，若设这款“公仔”的销售单价为（元），每天的销售量为（个）每天获得的利润元． (1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天销售这款“公仔”获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19．（10分）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 20．（10分）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________． 21．（10分）如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 22．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 23．（10分）【问题背景】为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉，的长为，，每种花卉的价格如下表： 品种 红色花卉 蓝色花卉 黄色花卉 价格/（元/平方米） 40 100 60 【建立模型】设的长为，购买花卉的总费用为W元． （1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积： 红色花卉面积：______，蓝色花卉面积：______，黄色花卉面积：______． （2）求W与x之间的函数表达式； 【方案决策】 （3）求当x为何值时，购买花卉的总费用最少，最少费用是多少？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25．（10分）已知抛物线（为常数，）经过点，顶点为． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，点，若，求的值； (3)当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点，且取的中点记为．当为何值时，的最小值为，并求此时点的坐标． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $