4.3 等比数列（6知识点+10考点+过关检测）（预习讲义）高二数学人教A版

4.3 等比数列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， (1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与无关; (2)等比数列中(否则数列会出现,不可能符合等比数列定义)； (3) 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列. （24-25高二·全国·课后作业）已知下列各数列：①，，，；②1，，3，；③a，a，a，a；④，，，．其中一定是等比数列的是(    )． A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 知识点2：等比中项 若成等比数列，则称与的等比中项,则； 证明 若成等比数列，由等比数列的定义可得，即. （25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 知识点3 ： 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) (1)证明 由等比数列的定义可得，， 所以, , ,…, 把以上个等式累乘可得,即, 当时，，即当时上式也成立， 故. 以上的方法称之为累乘法. (2) 通项公式告诉你：已知等比数列的首项与公比可求得任何一项 (3)等比数列的通项公式可整理为,当，且时，可以看成的指数函数型函数.比如等比数列的各点都在指数函数上. (4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(,故同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理). （22-23高二下·海南省直辖县级单位·月考）等比数列中，，公比，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 知识点4：等比数列的基本性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； 证明 由等比数列通项公式可得，， 两式相除可得，即. 意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等比数列中，，，则 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等比数列任意两项可求公比. 例 若等比数列中，，,则公比 . 若 则 ； 证明 由等比数列通项公式可得 ，， ,,即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 证明 ,得证. 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 证明 ,得证. （25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 知识点5：等比数列的前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (1)证明 等比数列的首项为，公比为，则其前项和是 ， 两边乘以公比得 得， 当时，； 当时，, 故等比数列的前项和为. 以上的方法称之为错位相减法. (2)当公比时，，是的正比例函数; 当公比时，，它可变形为，设，上式可写成.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由关于的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 即若某数列的前项和公式为 (，且，)，则此数列一定是等比数列． （25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 知识点6：基本性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 证明 . (2)在等比数列中，当总项数为时，. 证明 . (3). 证明 . （2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 题型一：等比数列的判定与证明 例1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）下列数列不是等比数列的是（    ） A．（为常数，） B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【变式1-3】（2025·吉林·二模）已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（    ） A．（k∈R） B． C． D． 题型二：等比数列通项公式的基本量计算 例2. （25-26高二上·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【变式2-1】（2025·青海·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·云南昆明·期中）在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 题型三：求等比中项 例3. （25-26高二上·北京东城·月考）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 题型四：利用等比数列的性质计算 例4. 1（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 例4. 2（24-25高二·全国·周测）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．2 C．30 D．32 【变式4-1】（25-26高三上·河南·月考）已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式4-2】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【变式4-4】（25-26高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 题型五：等比数列的指数函数特征 例5. （24-25高二下·北京昌平·期末）设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式5-2】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型六：等比数列的单调性 例6. （24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【变式6-3】（24-25高二下·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 题型七：求等比数列的前n项和 例7. （25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【变式7-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知等比数列前项和为， 若，，则（    ） A．128 B．255 C．256 D．511 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 例8. （25-26高三上·湖南怀化·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 【变式8-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【变式8-2】（24-25高二下·江西九江·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【变式8-3】（25-26高三上·重庆北碚·月考）已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（    ） A．2 B．1 或 2 C． D．1 或 题型九：等比数列前n项和的性质及运用 例9.1 （23-24高二上·甘肃白银·期中）等比数列，是的前项和，，则为（    ） A．63 B．108 C．75 D．83 例9.2 （24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式9-1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【变式9-2】（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式9-3】（24-25高二下·江西·期末）记为正项等比数列的前项和，若，则（   ） A．12 B．22 C．30 D．38 【变式9-4】（22-23高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 题型十：等比数列的简单应用 例10. （25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【变式10-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【变式10-2】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 1（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 2（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 3（25-26高三上·浙江·月考）已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列为等比数列，公比为，且.若，则正整数的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5（25-26高二上·湖南衡阳·期末）数列为等比数列，是它的前项和，已知，且与的等差中项为，则 A．31 B．32 C．16 D．15 6（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 7（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 8（25-26高二上·山西运城·期末）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D． 9（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列 10（25-26高三上·湖北·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 ． 11（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 12（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 等比数列 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 解析 (1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与无关; (2)等比数列中(否则数列会出现,不可能符合等比数列定义)； (3) 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列. （24-25高二·全国·课后作业）已知下列各数列：①，，，；②1，，3，；③a，a，a，a；④，，，．其中一定是等比数列的是(    )． A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用等比数列的定义进行判定即可. 【详解】，故①对； ，故②对； 当时，③不成等比数列，故③错； ，故④对. 故选：C． 知识点2：等比中项 若成等比数列，则称与的等比中项,则； 证明 若成等比数列，由等比数列的定义可得，即. （25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）若是与4的等比中项，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 知识点3 ： 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 解析 (1)证明 由等比数列的定义可得，， 所以, , ,…, 把以上个等式累乘可得,即, 当时，，即当时上式也成立， 故. 以上的方法称之为累乘法. (2) 通项公式告诉你：已知等比数列的首项与公比可求得任何一项 (3)等比数列的通项公式可整理为,当，且时，可以看成的指数函数型函数.比如等比数列的各点都在指数函数上. (4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(,故同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理). （22-23高二下·海南省直辖县级单位·月考）等比数列中，，公比，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，，，， 所以，解得. 故选：C. 知识点4：等比数列的基本性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； 证明 由等比数列通项公式可得，， 两式相除可得，即. 意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等比数列中，，，则 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等比数列任意两项可求公比. 例 若等比数列中，，,则公比 . 若 则 ； 证明 由等比数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 证明 ,得证. 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 证明 ,得证. （25-26高二上·福建宁德·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的下标性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 所以，设等比数列的公比为， 由， 所以， 故选：C 知识点5：等比数列的前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (1)证明 等比数列的首项为，公比为，则其前项和是 ， 两边乘以公比得 得， 当时，； 当时，, 故等比数列的前项和为. 以上的方法称之为错位相减法. (2)当公比时，，是的正比例函数; 当公比时，，它可变形为，设，上式可写成.由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由关于的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 即若某数列的前项和公式为 (，且，)，则此数列一定是等比数列． （25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（   ） A． B．27 C．81 D．或81 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 知识点6：基本性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 证明 . (2)在等比数列中，当总项数为时，. 证明 . (3). 证明 . （2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 题型一：等比数列的判定与证明 例1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二·全国·课后作业）下列数列不是等比数列的是（    ） A．（为常数，） B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义逐个判断即可求解 【详解】对于A：选项中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列，故错误； 对于B：选项中，，所以该数列不是等比数列，故B正确； 对于C：选项中的数列是首项为1，公比为的等比数列，故C错误； 对于D：选项中的数列是首项为，公比为的等比数列，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）若数列的通项公式为，则这个数列是一个（    ） A．以2为首项，以3为公比的等比数列 B．以2为首项，以为公比的等比数列 C．以为首项，以3为公比的等比数列 D．以为首项，以为公比的等比数列 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质和定义求出首项和公比即可. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 当时，有， 当时，， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列. 故选：D. 【变式1-3】（2025·吉林·二模）已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（    ） A．（k∈R） B． C． D． 【答案】D 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能构成等比数列，当不为0时，根据等比数列的定义确定. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，数列不是等比数列； 当时，，数列不是等比数列； 当时，，数列不是等比数列； 因为，由等比数列的定义可知： 数列是等比数列， 故选：. 题型二：等比数列通项公式的基本量计算 例2. （25-26高二上·全国·月考）在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 【变式2-1】（2025·青海·模拟预测）已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各项表示成和的形式，即可解出. 【详解】由，可得，即，解得． 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·云南昆明·期中）在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式可求答案. 【详解】因为，所以，又，所以，解得. 故选：C 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古·期末）已知等比数列是递增数列，且的前3项和为39，，则（   ） A．27 B．81 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组即可求得首项和公比，通过通项公式求得. 【详解】由的前3项和为39，，则 解得（舍去），，. 故选：B 题型三：求等比中项 例3. （25-26高二上·北京东城·月考）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义列式求出公差即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得， 则，整理得，而，解得， 所以. 故选：A 【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 【变式3-2】（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（    ） A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可. 【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故， 若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的性质、等差数列的单调性进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列， 所以， 因为是与的等比中项，所以，或舍去， ， 故选：B 题型四：利用等比数列的性质计算 例4. 1（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 例4. 2（24-25高二·全国·周测）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．2 C．30 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 因为， 所以由， 所以， 故选：D 【变式4-1】（25-26高三上·河南·月考）已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 【变式4-2】（25-26高三上·山西大同·月考）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·吉林白山·期末）已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 【变式4-4】（25-26高一下·四川泸州·期中）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 题型五：等比数列的指数函数特征 例5. （24-25高二下·北京昌平·期末）设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 【变式5-1】（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式5-2】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解. 【详解】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 题型六：等比数列的单调性 例6. （24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【详解】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高二下·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 题型七：求等比数列的前n项和 例7. （25-26高三上·江苏南通·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 故选：C. 【变式7-1】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知是等比数列的前项和，若，，则（    ） A．1028 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 【变式7-2】（2025·江苏南通·模拟预测）已知等比数列前项和为， 若，，则（    ） A．128 B．255 C．256 D．511 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前项和意义求出公比及首项，再利用前项和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为且，由，得，解得， 由，得，即，而，因此， 经验证符合题意，所以. 故选：B 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义判断为等比数列，进而根据性质求解得，即可由求和公式求解. 【详解】因为，且，所以，所以为等比数列． 因为，所以， 因为，所以，即的公比． 所以． 故选：A． 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 例8. （25-26高三上·湖南怀化·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由化简得，再根据等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，所以． 故选：C 【变式8-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二下·江西九江·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】设出公比，利用条件和等比数列性质求出公比，进而得到. 【详解】设公比为，,则， 又，故，解得， 所以. 故选：A 【变式8-3】（25-26高三上·重庆北碚·月考）已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（    ） A．2 B．1 或 2 C． D．1 或 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式列出关于公比的方程，求解出符合条件的公比值即可. 【详解】当时，等比数列的前项和，此时，，. 代入中得，，整理得，即. 又等比数列中，所以. 当时，等比数列的前项和， 则，，. 代入中得，. 因为， ，可化为， 整理得，又，所以， 解得或，又且，所以. 故选：A. 题型九：等比数列前n项和的性质及运用 例9.1 （23-24高二上·甘肃白银·期中）等比数列，是的前项和，，则为（    ） A．63 B．108 C．75 D．83 【答案】A 【分析】由成等比数列即可求解. 【详解】由等比数列的性质可知：成等比数列， 所以， 解得：， 故选：A 例9.2 （24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式9-1】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 【变式9-2】（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质可得. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 【变式9-3】（24-25高二下·江西·期末）记为正项等比数列的前项和，若，则（   ） A．12 B．22 C．30 D．38 【答案】C 【分析】由等比数列前项和的性质可得结果. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 故． 又，代入，解得． 因为，所以． 故选：C. 【变式9-4】（22-23高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 题型十：等比数列的简单应用 例10. （25-26高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形洛边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可. 【详解】因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 【变式10-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 【变式10-2】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 【变式10-3】（24-25高一下·上海·月考）近日，某网站发表了一项针对新冠肺炎疫情数据的最新分析，该研究显示，新冠病毒的中位潜伏期约4.75天，即病毒侵入人体到人体出现反应或开始呈现症状时平均4.75天；基本传染数（R0）达3.77，即每位患者平均传染3.77人．假如有一种细菌能够杀死新冠病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和500个病毒，则细菌将新冠病毒全部杀死至少需要（    ） A．7秒钟 B．8秒钟 C．9秒钟 D．10秒钟 【答案】C 【分析】设第秒种的细菌的个数为，且，求得通项公式，据题意可得，求解即可. 【详解】设第秒种的细菌的个数为，且， 又每个细菌在每秒钟杀死一个新冠病毒的同时自身分裂为2个， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 则经过秒钟共杀死个新冠病毒， 依题意，需使，即，所以， 因是增函数，且，故. 即细菌将新冠病毒全部杀死至少需要9秒钟. 故选：C 1（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 2（25-26高二上·浙江宁波·期中）正项等比数列的公比为,成等差数列，则值为（   ） A． B．1或 C．1 D．1或 【答案】C 【分析】利用等比数列的基本量，结合等差中项的性质列方程，即可得解. 【详解】因为成等差数列，故, 即, 两边消去,得, 得. 故选：C. 3（25-26高三上·浙江·月考）已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可. 【详解】由成等比数列，则，又， 则，解得. 故选：B． 4（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列为等比数列，公比为，且.若，则正整数的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意求出等比数列的通项，再运用等比数列的性质及前项和公式求解即可． 【详解】由题可得： ，解得，故， 因为 ，解得． 故选：C． 5（25-26高二上·湖南衡阳·期末）数列为等比数列，是它的前项和，已知，且与的等差中项为，则 A．31 B．32 C．16 D．15 【答案】A 【解析】设数列的公比为，将已知条件转化为关于的关系式，即可求解. 【详解】设数列的公比为，， ，与的等差中项为， ， . 故选:A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的运算，属于基础题. 6（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 7（24-25高二下·四川广安·期中）算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 8（25-26高二上·山西运城·期末）公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D． 【答案】B 【分析】假设与可判断D；利用等比中项的性质可判断A；由数列为各项为正的递减数列可判断C；由，可判断B. 【详解】若，则不合乎题意， 所以，故数列为正项等比数列， 因为，，， 若，则， 则，，则， 这与已知条件矛盾，所以不符合题意， 所以，故D错误； 因为，， 所以数列为各项为正的递减数列， 所以，无最大值，故C错误； 又， 所以，， 所以，故A错误； 又，， 所以是数列中的最大项，故B正确. 故选：B. 9（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列 【答案】ABD 【分析】条件可化为，结合等比数列定义可判断A正确，由A可求得的通项公式判断B，由的通项公式可求得的通项公式判断C，利用特殊值可判断D. 【详解】 又，数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确； 由A知， ，故B选项正确； 又因为，当，，当，， ，故选项C错误； ，，所以数列不是等比数列，故选项D正确. 故选：ABD 10（25-26高三上·湖北·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式，等差数列下标和的性质可得，利用等比数列的通项公式结合求出公比，继而可得，再根据对数运算即可求解. 【详解】设数列的公比为， 由可得，所以， 故，则， 故， 故答案为：. 11（24-25高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 12（25-26高二上·江苏泰州·期中）记数列的前项和为，已知. (1)设，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1）可得，再分、两种情况，分别求出. 【详解】（1）因为， 当时，，又，故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得，则， 当时，则； 当时 ， 综上可得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $