专题04 双曲线（13知识&10大题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版

该高中数学双曲线复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分层呈现双曲线定义、标准方程、几何性质等13个知识点，用对比框架图明晰与椭圆的差异，突出渐近线、焦点三角形等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型+解题技巧”双轨设计，如焦点三角形面积公式应用、中点弦点差法等，培养数学思维与运算能力。典例与变式覆盖选择填空解答题，适配分层教学，助力教师精准突破高频考点，提升学生自主复习效率。

专题04 双曲线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义（第一定义）及应用 掌握“差的绝对值为常数（2a<∣F1F2∣）” 的第一定义，能判断轨迹、求解距离问题 小题考查“轨迹判定”（易错点为忽略定义限制），分值约5分 双曲线的标准方程与实虚轴 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，牢记c2=a2+b2（区别于椭圆），能根据焦点/渐近线求方程 高频小题，常考“由焦点/渐近线/离心率求标准方程”，分值5分 双曲线的核心性质（离心率、渐近线、准线 掌握离心率e=​>1的范围，能快速写出不同焦点轴的渐近线方程，解决离心率求值/范围问题 渐近线是双曲线特色考点，小题必考“渐近线方程”，离心率常结合c2=a2+b2命题 特殊双曲线（等轴双曲线、共渐近线双曲线） 会用共渐近线的双曲线方程，简化计算 5分小题高频考点，常考“已知渐近线求双曲线方程”，是快速得分点 双曲线的焦点三角形 掌握面积公式S=b2/tan​（θ为顶角），结合余弦定理求角度/边长范围 以选择/填空为主，难度中档，分值5分，需注意与椭圆焦点三角形的公式区别 直线与双曲线的位置关系 会联立方程+判别式（结合渐近线）判定位置（注意“单交点≠相切”），用韦达定理求弦长、中点弦 期末大题（10-12分），常考弦长/中点弦，需关注渐近线导致的特殊情况 双曲线的综合应用（定点定值定直线问题） 能综合双曲线与向量、准线知识，解决定点定值类解答题，掌握设线/设点的简化技巧 解答题压轴小问，结合定点定值/准线考查，难度中等偏上 知识点01 双曲线的定义 1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 2、双曲线定义的集合语言表示：． 要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 知识点03 双曲线的几何性质 1、双曲线的方程与几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 2、等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135° 知识点04 双曲线的焦点三角形 1.定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 2.焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 3.过焦点的三角形 （1）设，的周长： 4.焦点三角形与离心率关系：设双曲线的两个焦点为为双曲线上异于长轴端点的任意一点，在中，记, ,，则有． 5.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点． 6.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点 知识点05 双曲线的离心率 1.定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. 2.双曲线离心率的范围：e>1. 3.离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. 4.等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 知识点06 点与双曲线的位置关系 知识点07 直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 （3）对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. ②若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； 知识点08 直线与双曲线相交的弦长问题 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识点09 双曲线的中点弦 1.“设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化 2.解决中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴. 知识点10 焦半径与焦点弦 1.通径：最短焦点弦(即垂直于实轴的焦点弦中最短的弦)且=． 2.焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 3.焦半径倾斜角式： ①焦半径(口诀：”同正异负”，“同正”指点与焦点所在区域相同，如；”异负”指点与焦点所在区域不同，如)； ②双曲线焦点弦长公式：(其中)； ③(其中为通经)(口诀：”同正异负”，“同正”指点在双曲线的同一支上；”异负”指点在双曲线的不同两支上)； ④焦点定理弦：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式： ⑤过双曲线(a>0，b>0)的右焦点作互相垂直的两条弦、，则； (3)以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交． (4)以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切． (5)准线性质：直线过焦点与双曲线交于两点，直线是与焦点相对应的准线，点是准线与轴的交点，则． 知识点11 双曲线的切线问题 (1)切线条数： ①如图(1)所示，如果点P位于区域I，则过P可以向双曲线左右两支各作一条切线； ②如图(2)所示，如果点P位于区域II，则过P可以向双曲线一支作两条切线； ③如果点P位于区域IⅢ，则过P不能作双曲线的切线； ④如果点P位于原点，则过P不能作双曲线的切线； ⑤如图(3)所示，如果点P位于渐近线上(非原点处)，则过P可以向双曲线作一条切线； ⑥如图(4)所示，如果点P位于双曲线上，则过P可以向双曲线作一条切线． (2)双曲线的切线方程：已知点是双曲线：＝1(a>0，b>0)上一点，则双曲线在点处的切线方程是； (3)双曲线的切点弦方程：若点是双曲线：＝1(a>0，b>0)外一点，过点作双曲线的两条切线，切点为，则切点弦的直线方程是； (4)若点为双曲线：＝1(a>0，b>0)内一点，过点作双曲线的弦，分别过作双曲线的切线，则这两条切线的交点的轨迹方程为． (5)若是双曲线不垂直于对称轴的切线，为切点，则 知识点12 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线的弦为，过两点作双曲线的切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有： 性质①：弦绕者定点转动时，则其所对顶点落在直线上． 其中, 当点为左 (右) 焦点时，点位于左 (右) 准线上． 性质②：直线的斜率成等差数列, 即． 性质③：当点为焦点时, ． 知识点13 与双曲线有关的常用二级结论 1.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为 2.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 3.双曲线上的点到两渐近线的距离之积为定值 4.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率 5.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有 6.设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则 7.双曲线中的蒙日圆问题(又叫外准圆)： 双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆． 特别注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足． 8.双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。 ①双曲线在点处的切线平分； ②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。 9.双曲线的第二定义与第三定义 （1）平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率 （2）平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于0时为双曲线，此时． 10.双曲线焦点三角形的内心：内心在直线上 证明：由双曲线定义，可知： 又因为，所以，所以。 即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上 11.焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆：有一个焦点为切点 证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知， ，设， 则有 故，即，所以P，F2重合 12.等角性质（伴侣点）： 已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分，即，称点N与其对应点G为伴侣点． 题型一 双曲线的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【变式1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程： (1)已知点四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程. (2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程. 题型二 求双曲线的标准方程 解｜题｜技｜巧 双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【典例1】（24-25高二上·江苏·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建厦门·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 求双曲线的离心率 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于c2＝a2＋b2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于c2＝a2＋b2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 双曲线中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 双曲线的焦点三角形 （1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， （2）焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【变式1】（多选）（24-25高二上·山西运城·期末）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【变式2】（多选）（25-26高二上·云南昭通·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型五 双曲线的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设，， 双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为 【典例1】（24-25高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【变式2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 题型六 直线与双曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【变式2】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【变式4】（24-25高二上·广东·期末）已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 题型七 双曲线中的面积问题 解｜题｜技｜巧 核心方法：代数工具（韦达定理）+几何公式 （1）弦长+距离法：联立直线与双曲线方程，用韦达定理得算弦长 ∣AB∣=（k为直线斜率）；求点到直线的距离d；则三角形的面积S=∣AB∣d。 （2）原点三角形的面积公式：若已知交点，，直接用：S=∣x1y2−x2y1∣（适用于过原点的三角形） 【典例1】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. (1)求的方程； (2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【变式2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【变式3】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：，定点，N为圆C上一动点，线段的中垂线与直线交于点P. (1)证明为定值，并求出点P的轨迹E的方程； (2)若曲线E上存在一点Q，点A，B分别为直线：在第一象限上的点与直线：在第四象限上的点，，，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 【变式4】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 题型八 与双曲线有关的参数最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响 【典例1】（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【变式1】（24-25高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（多选）（24-25高二上·河南焦作·期末）已知曲线，则（    ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 题型九 双曲线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【典例2】（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【典例3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【变式1】（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【变式2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）如图，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，线段是的虚轴，四边形是面积为的矩形. (1)求的方程； (2)设是上任意一点，直线与交于点，直线与交于点，证明：； (3)过的左焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值. 【变式3】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 题型十 双曲线中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 【典例1】（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 【变式3】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 5．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期末）我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦距相同 D．与的离心率互为倒数 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 12．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 1．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 8．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 9．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为 ． 10．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义（第一定义）及应用 掌握“差的绝对值为常数（2a<∣F1F2∣）” 的第一定义，能判断轨迹、求解距离问题 小题考查“轨迹判定”（易错点为忽略定义限制），分值约5分 双曲线的标准方程与实虚轴 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，牢记c2=a2+b2（区别于椭圆），能根据焦点/渐近线求方程 高频小题，常考“由焦点/渐近线/离心率求标准方程”，分值5分 双曲线的核心性质（离心率、渐近线、准线 掌握离心率e=​>1的范围，能快速写出不同焦点轴的渐近线方程，解决离心率求值/范围问题 渐近线是双曲线特色考点，小题必考“渐近线方程”，离心率常结合c2=a2+b2命题 特殊双曲线（等轴双曲线、共渐近线双曲线） 会用共渐近线的双曲线方程，简化计算 5分小题高频考点，常考“已知渐近线求双曲线方程”，是快速得分点 双曲线的焦点三角形 掌握面积公式S=b2/tan​（θ为顶角），结合余弦定理求角度/边长范围 以选择/填空为主，难度中档，分值5分，需注意与椭圆焦点三角形的公式区别 直线与双曲线的位置关系 会联立方程+判别式（结合渐近线）判定位置（注意“单交点≠相切”），用韦达定理求弦长、中点弦 期末大题（10-12分），常考弦长/中点弦，需关注渐近线导致的特殊情况 双曲线的综合应用（定点定值定直线问题） 能综合双曲线与向量、准线知识，解决定点定值类解答题，掌握设线/设点的简化技巧 解答题压轴小问，结合定点定值/准线考查，难度中等偏上 知识点01 双曲线的定义 1、双曲线定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点、为焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 2、双曲线定义的集合语言表示：． 要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点02 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 知识点03 双曲线的几何性质 1、双曲线的方程与几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 2、等轴双曲线 在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有： （1）离心率：等轴双曲线的离心率为：； （2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135° 知识点04 双曲线的焦点三角形 1.定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 2.焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 3.过焦点的三角形 （1）设，的周长： 4.焦点三角形与离心率关系：设双曲线的两个焦点为为双曲线上异于长轴端点的任意一点，在中，记, ,，则有． 5.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点． 6.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点 知识点05 双曲线的离心率 1.定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. 2.双曲线离心率的范围：e>1. 3.离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. 4.等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 知识点06 点与双曲线的位置关系 知识点07 直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 （3）对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. ②若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； 知识点08 直线与双曲线相交的弦长问题 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识点09 双曲线的中点弦 1.“设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化 2.解决中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有. 证明：设、，则有，上式减下式得， ∴，∴，∴. 知识点10 焦半径与焦点弦 1.通径：最短焦点弦(即垂直于实轴的焦点弦中最短的弦)且=． 2.焦半径坐标式：，其中为离心率，为P点横坐标． 当在右支上时，,. 当在左支上时，,. 3.焦半径倾斜角式： ①焦半径(口诀：”同正异负”，“同正”指点与焦点所在区域相同，如；”异负”指点与焦点所在区域不同，如)； ②双曲线焦点弦长公式：(其中)； ③(其中为通经)(口诀：”同正异负”，“同正”指点在双曲线的同一支上；”异负”指点在双曲线的不同两支上)； ④焦点定理弦：已知焦点在轴上的双曲线，经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式： ⑤过双曲线(a>0，b>0)的右焦点作互相垂直的两条弦、，则； (3)以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交． (4)以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切． (5)准线性质：直线过焦点与双曲线交于两点，直线是与焦点相对应的准线，点是准线与轴的交点，则． 知识点11 双曲线的切线问题 (1)切线条数： ①如图(1)所示，如果点P位于区域I，则过P可以向双曲线左右两支各作一条切线； ②如图(2)所示，如果点P位于区域II，则过P可以向双曲线一支作两条切线； ③如果点P位于区域IⅢ，则过P不能作双曲线的切线； ④如果点P位于原点，则过P不能作双曲线的切线； ⑤如图(3)所示，如果点P位于渐近线上(非原点处)，则过P可以向双曲线作一条切线； ⑥如图(4)所示，如果点P位于双曲线上，则过P可以向双曲线作一条切线． (2)双曲线的切线方程：已知点是双曲线：＝1(a>0，b>0)上一点，则双曲线在点处的切线方程是； (3)双曲线的切点弦方程：若点是双曲线：＝1(a>0，b>0)外一点，过点作双曲线的两条切线，切点为，则切点弦的直线方程是； (4)若点为双曲线：＝1(a>0，b>0)内一点，过点作双曲线的弦，分别过作双曲线的切线，则这两条切线的交点的轨迹方程为． (5)若是双曲线不垂直于对称轴的切线，为切点，则 知识点12 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线的弦为，过两点作双曲线的切线交于点，称为阿基米德三角形, 则有： 性质①：弦绕者定点转动时，则其所对顶点落在直线上． 其中, 当点为左 (右) 焦点时，点位于左 (右) 准线上． 性质②：直线的斜率成等差数列, 即． 性质③：当点为焦点时, ． 知识点13 与双曲线有关的常用二级结论 1.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为 2.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 3.双曲线上的点到两渐近线的距离之积为定值 4.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率 5.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有 6.设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则 7.双曲线中的蒙日圆问题(又叫外准圆)： 双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆． 特别注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时离心率满足． 8.双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光纤的反向延长线经过另一个焦点。 ①双曲线在点处的切线平分； ②过点且垂直于切线的直线交轴于点，平分的外角。 9.双曲线的第二定义与第三定义 （1）平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率 （2）平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于0时为双曲线，此时． 10.双曲线焦点三角形的内心：内心在直线上 证明：由双曲线定义，可知： 又因为，所以，所以。 即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上 11.焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆：有一个焦点为切点 证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知， ，设， 则有 故，即，所以P，F2重合 12.等角性质（伴侣点）： 已知双曲线，过实轴所在直线上任意一点的弦的端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分，即，称点N与其对应点G为伴侣点． 题型一 双曲线的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线 【典例1】（24-25高二上·四川成都·期末）设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线，且， ，双曲线的方程为. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程： (1)已知点四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程. (2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选、，可以推导出圆心为、的中点，半径，即可求出圆的方程；若选、、或、、设出圆的一般式方程，即可得到方程组，解得即可； （2）首先判断不可能为抛物线，设为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【详解】（1）若选择、、三点，因为，， 所以，即， 所以圆心为、的中点，半径， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点， 设圆的方程为，则，解得， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点，因为，， 所以，即， 所以圆心为、的中点，半径， 所以过、、三点的圆的方程为； 若选择、、三点， 设圆的方程为，则，解得， 所以过、、三点的圆的方程为； （2）依题意该圆锥曲线不可能为抛物线，故设曲线方程为， 则，解得， 所以曲线方程为. 题型二 求双曲线的标准方程 解｜题｜技｜巧 双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【典例1】（24-25高二上·江苏·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 【典例2】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 【变式1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·福建厦门·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程得到，再由离心率得，根据双曲线中，计算得双曲线方程. 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 题型三 求双曲线的离心率 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于c2＝a2＋b2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于c2＝a2＋b2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知曲线系，离心率为，曲线系，离心率为，若，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】求出、，可得出、关于的表达式，结合数列的单调性逐项判断即可. 【详解】因为，曲线的方程为，曲线的方程为， 易知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线， 所以，， 所以随着的增大而增大， 因为，故当时，取最小值，无最大值，AB都错； ， 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，当时，；当时，，且， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 综上所述，的最大值为，无最小值，C错D对. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据条件和双曲线定义表示出，然后结合余弦定理求解，可得为等腰三角形，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为， 解得，    所以， 所以为等腰三角形， 即， 化简可得，所以. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 题型四 双曲线中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 双曲线的焦点三角形 （1）定义：双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， （2）焦点三角形的应用：设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积以及离心率计算可得结果； （2）设，结合双曲线定义以及勾股定理计算可求得的长，再由正切值定义计算可得. 【详解】（1）设点，由题意知． 则，解得． 由题意知，所以， 所． 所以双曲线的方程为． （2）设，则由双曲线定义得，则． 由勾股定理得，则． 由题意知，代入上式得， 解得或（舍去）， 所以． 【变式1】（多选）（24-25高二上·山西运城·期末）已知为双曲线上一点，为其左右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．的内心为，到轴的距离为1 C．若，则的面积为 D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确； 【详解】对于A，由双曲线的定义可得设，， 令，，则， 因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，设的内切圆半径为，在右上，由双曲线方程可知，， 设三角形内切圆三边的切点分别为，如图， 由几何关系可得， 所以，解得， 所以，所以到轴的距离为1，故B正确； 对于C，设 则由余弦定理可得， 即， 又，所以，所以，故C错误； 对于D，设，渐近线方程， 点到渐近线的距离， 同理到渐近线的距离， 所以， 因为点在双曲线上，所以，代入上式可得点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值，故D正确； 故选：ABD. 【变式2】（多选）（25-26高二上·云南昭通·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【详解】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 【变式3】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    题型五 双曲线的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设，， 双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为 【典例1】（24-25高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·青海西宁·期末）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 题型六 直线与双曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的方程为，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线与没有公共点，则或 D．若直线与仅有一个公共点，则 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求渐近线判断A，利用点到直线的距离判断B，利用直线与双曲线的位置关系，联立的方程利用判别式，判断实数根的方法，即可判断CD. 【详解】对于A，因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，由双曲线的对称性，不妨取右焦点，一条渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离，故B错误； 对于C，联立消去得，， 若直线与没有公共点，则， 解得或，故C正确； 对于D，当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，， 且，解得， 当直线与双曲线渐近线平行时，，即时，直线与双曲线有且只有一个交点， 综上可知，若直线与仅有一个公共点，则或，故D错误. 故选：AC 【变式2】（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 【变式4】（24-25高二上·广东·期末）已知椭圆． (1)若，求椭圆的离心率； (2)过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程可得，即可得离心率； （2）设直线，与椭圆方程联立结合可得，与双曲线方程联立结合可得，进而可得结果. 【详解】（1）若，即椭圆， 可得，， 所以椭圆的离心率. （2）设直线， 与椭圆方程联立可得，消去y可得， 则，可得， 与双曲线方程联立可得，消去y可得， 假设，即，由椭圆方程可知， 两者相矛盾，假设不成立，所以； 则，整理可得， 则，解得， 又因为，解得， 综上所述：实数的取值范围． 题型七 双曲线中的面积问题 解｜题｜技｜巧 核心方法：代数工具（韦达定理）+几何公式 （1）弦长+距离法：联立直线与双曲线方程，用韦达定理得算弦长 ∣AB∣=（k为直线斜率）；求点到直线的距离d；则三角形的面积S=∣AB∣d。 （2）原点三角形的面积公式：若已知交点，，直接用：S=∣x1y2−x2y1∣（适用于过原点的三角形） 【典例1】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. (1)求的方程； (2)若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由题意建立方程求得，进而求得，即可得解. （2）①设，设出切线方程并与双曲线联立，根据判别式及韦达定理得，求出直线的方程及的坐标，进而求出点P，Q坐标，通过计算中点坐标证明即可； ②根据三角形面积公式，将所证等式化为线段长度的比例关系，通过①中的坐标，计算相关线段长度，即可证明. 【详解】（1）由题可知，由直线与轴交于点，且， 可得，若，则，即，无解， 若，则，即， 则，故的方程为. （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线的斜率存在且不等于0和， 设切线的方程为， 与的方程联立，消去，整理得， 由， 整理得， 设切线，的斜率分别为，，则， ①由题可知直线的方程为， 令，得， 因为，的方程为，，所以，， 所以， 故是的中点，即. ②因为，，，的高相等， 所以，即. 由上述过程可知，，，. 所以，，，. 又，所以， ， 所以，即. 【变式1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点. (1)求的标准方程； (2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点， ①证明：平分； ②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由已知可得且，可求的标准方程； （2）①设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论；②由①可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【详解】（1）因为实轴长是虚轴长的2倍，则，即. 又过点，所以，解得，. 所以的标准方程为. （2）①设，则，切线， 联立化简得. 由，解得， 所以直线：，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. ②由①可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 【变式2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. 【变式3】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：，定点，N为圆C上一动点，线段的中垂线与直线交于点P. (1)证明为定值，并求出点P的轨迹E的方程； (2)若曲线E上存在一点Q，点A，B分别为直线：在第一象限上的点与直线：在第四象限上的点，，，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由中垂线得到，再根据双曲线的定义求解即可； （2）利用表示出，，再结合点在双曲线上可得，从而表示出，再根据双勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）易得圆C：的圆心为，半径为2. 因为在线段的中垂线上，所以， 所以为定值. 又. 由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以C，M为焦点，实轴长为2的双曲线. 设双曲线E的方程为（，），则，又， 所以，所以双曲线E的方程为； （2） 由题意知，为双曲线的渐近线. 根据题意设，，，， 因为，所以，， 所以，. 因为Q点在双曲线上，所以， 所以，所以， 易得，. 易知， 则， 即， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 面积的取值范围. 【变式4】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解. （2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，即 由，得，由过点的直线PA的斜率不存在时，，得， 解得，所以双曲线的方程为：. （2）设，，则，而，即， 则 ， 由双曲线定义得，显然圆的圆心为，半径， 因此，， 于是 ，， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 题型八 与双曲线有关的最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响 【典例1】（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·四川成都·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点，则，， 则， ， ， 点的轨迹方程为， 即点的轨迹方程为，    同理可得，点也在双曲线上， 点恰为双曲线的左焦点， 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线定义可得： ， 当且仅当三点共线时，即得， 的最小值为． 故答案为:． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又双曲线，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以，当点在右顶点时取等号， 即， 所以的最小值为， 故选：D.      【变式3】（多选）（24-25高二上·河南焦作·期末）已知曲线，则（    ） A．不经过第二象限 B．当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C．上点的横坐标的取值范围是 D．上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【详解】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 题型九 双曲线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等 【典例1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【典例2】（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，，表示出，结合二次函数性质可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 【典例3】（24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【变式1】（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【详解】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【变式2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）如图，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于，两点，线段是的虚轴，四边形是面积为的矩形. (1)求的方程； (2)设是上任意一点，直线与交于点，直线与交于点，证明：； (3)过的左焦点的直线与交于，两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据方程可得，，结合题意列式求得，即可得方程； （2）根据题意求点的坐标，结合双曲线方程分析证明； （3）直线的方程为，联立方程结合韦达定理可得，结合定值分析求解，注意讨论直线的斜率是否存在. 【详解】（1）设，由题意知，. 将代入E的方程，得，则，. 因为四边形是面积为的矩形， 则，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知，，，. 直线：， 令，得，所以. 直线：， 令，得，所以. 由点P在E上，可得， 所以， 又，所以. （3）由（1）知E的左焦点的坐标为. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立方程，可得， 由且，得. 设，，则，. 以为直径的圆的圆心到直线的距离. 半径. 若劣弧所对的圆心角为定值，则为定值， 只需令，即，可得，为定值. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 以为直径的圆的圆心到直线的距离， 半径，此时同样有. 综上，. 【变式3】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，定点. 【分析】（1）由题意求出，，再根据即可求出的标准方程； （2）（i）分别联立，与双曲线的方程，由即可求出的取值范围； （ii）先取出的坐标，由，化简即可得出答案. 【详解】（1）由焦距得，又，得. 则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 题型十 双曲线中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 【典例1】（24-25高二上·江苏·期末）已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意，得到，再由双曲线经过点，列出方程，求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，得到过点的切线方程为，即，得到过三点的圆的圆心为，根据，求得，即可证得四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程，得到切线交轴于点的角平分线交切线于点，由角平分线定理，求得，进而得到的角平分线方程，设点，联立方程组，求得，即可求得点的轨迹方程； 方法二：设切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心，设圆与延长线，点，求得，再由切线的垂线方程，代入求得，进而求得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即， 又由双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即， 又由，则过三点的圆的圆心为， 因为，即， 所以， 又， 即，所以四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程为， 令切线交轴于点的角平分线交切线于点， 由角平分线定理得：， 所以，代入坐标得， 故的角平分线方程为， 设点，联立方程组 ，可得， 所以点的轨迹方程为． 方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心， 设圆与延长线、延长线的切点分别为，点， 则 ，即， 又由切线的垂线方程为， 代入得，所以，所以点的轨迹方程为． 【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案； （2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点， 右焦点到其中一条渐近线，即的距离. 则由已知可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）假设存在实数，使得. 由题意知点在第一象限，其坐标为， 则①. 因为双曲线的右支，所以， 由可得，， 求导可得，， 根据导数的几何意义可知，直线的斜率为. 又直线经过点以及点，所以， 所以有②. 由①②可解得，，，点，， 所以，直线的方程为，即，直线的斜率为. 设直线的方程为，，， 联立可得， 即，， 所以，. 联立可得，， 恒成立. 由韦达定理可得，. 因为都在直线上， 所以， 所以，， 所以， ， 所以，. 因为， 所以，假设成立. 所以，存在实数，使得，且.    【变式2】（24-25高二上·江苏·期末）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 【答案】(1)与 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程； （2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标； （3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案. 【详解】（1）设的方程分别为与， 由，得，故的坐标分别为， 所以故， 故与的方程分别为与. （2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可知，故， 设点坐标为，可知且， 解得，故点的坐标为， （3）设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为， 则， 的方程为， 代入可得， 故， 所以， 同理可得，又，故， 故， 即，所以存在，使得. 【变式3】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析， ；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）（i）设点，直线方程为，与双曲线方程联立方程组可得，设，利用对恒成立可求得定点的坐标；（ii）求得的坐标，可求得，进而可得四点共圆，可证得结论． 【详解】（1）由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为； （2）（i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ． 设，则 ， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点． （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则 ， 所以，所以． 又，所以四点共圆． 由相交弦定理得． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】不妨设一个焦点为，一条渐近线方程为：，即，由点到直线的距离求解． 【详解】解：依题意得，，得，得， 不妨设一个焦点为， 一条渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线方程的距离为：． 故选：C 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）双曲线的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线方程可得，即可得焦距. 【详解】由双曲线，则，可得， 所以焦距为. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      4．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知，是双曲线C：的左右焦点，过与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若是正三角形，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义及正三角形，结合，即可求出得值，渐近线方程即为. 【详解】如图， 因为是正三角形， 由双曲线的对称性及定义可知，， 所以，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：C 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故选：B． 7．（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期末）我们称离心率相同的二次曲线相似．则二次曲线相似的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AB 【分析】根据各项给定的曲线方程求离心率，并判断是否相等即可答案. 【详解】对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 对于有，则， 综上，A、B中曲线相似，C、D不相似. 故选：AB 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦距相同 D．与的离心率互为倒数 【答案】BCD 【分析】将曲线的方程化为标准形式，再结合长轴长的定义，判断A，渐近线的定义判断B，焦距的定义判断C，离心率的定义判断D， 【详解】已知曲线：，：， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 双曲线的长半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，，，，， 选项A，的长轴长为8  ，故A错误； 选项B，的渐近线方程为，故B正确； 选项C，的焦点坐标，  的焦点坐标，与的焦距相同均为4，故C正确； 选项D，的离心率，的离心率，与的离心率互为倒数，故D正确； 故选：BCD. 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【详解】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 12．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与 的斜率之积为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)曲线上两点满足，且四边形的面积为12，求 的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由题意列出方程，化简即得的方程； （2）结合图形由推得，继而推出，设直线的方程为，与双曲线方程联立，求出点的坐标，由对称性得点的坐标，由四边形的面积为12列出方程，解之求得的值，继而可求出 的值. 【详解】（1）依题意，可得，化简得， 故的方程为. （2） 如图，因，依题意，，故得， 则四边形为平行四边形.因直线得斜率必存在，故可设其斜率为， 则直线的方程为，代入双曲线方程， 整理得：，则， 由，可得，将其代入，解得， 即得， 由上已得，故点与点关于原点对称，故点的坐标为. 又因四边形的面积 ，解得或. 而， 故当时，； 当时，. 综上，可得 的值为10. 1．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知曲线，是曲线E上任意一点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类可得曲线轨迹，利用可看成是点到直线的距离的倍，当点在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值. 【详解】当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的椭圆在第一象限的部分， 当时，，表示焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分， 当时，，方程无解，不表示任何图象， 作出图形如图所示，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆+=1的一部分， 可看成是点到直线的距离的倍. 由图可知，点在椭圆上时，距离最大. 设，则， 其中，则，当时取到等号， 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】由双曲线方程知，焦点为，则椭圆中，    由双曲线和椭圆的定义知：，， 所以，又， 则. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆和双曲线的定义得到，然后利用余弦定理得出与的关系即可，然后结合的范围即可得出答案. 【详解】 如图，由椭圆和双曲线的定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 代入得， 整理得，同除以得，即， 所以，又， 所以， 故选：B. 7．（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A，B，过的直线l（斜率存在）与双曲线的右支交于P，Q两点，中点为M，三角形的内心分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．共线 【答案】BCD 【分析】设点，由斜率公式及点差法可以判断A，B两项，由可以判断C项，在D项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点（右焦点就对应右顶点），通过列式判断． 【详解】解：依题意，得，得，则， 设点， 对于A项，， 因为，所以， 则，故A项错误； 对于B项，由，相减得，， 得，即，故B项正确； 对于C项，， ， 则， 因为， 所以， 得，在三角形中，则，故C项正确； 对于D项，如图，设三角形的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，，而，得， 而，得， 又因为，得切点T与点B重合， 得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1， 得三点共线，故D项正确． 故选：BCD 8．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用椭圆与双曲线的定义，结合它们离心率的定义逐项进行判断. 【详解】令，由，得， 对于A，，解得，， 解得，因此，A正确； 对于B，由，，得， 则，，而，则，B正确； 对于C，，则，，C错误； 对于D，令的内切圆切分别于点，由轴于， 得为圆切的切点，显然， 由，得，因此， 解得，即点为的右顶点，D正确. 故选：ABD    9．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为 ． 【答案】3 【分析】设出直线，方程，与双曲线方程联立解出点坐标，再利用是等腰直角三角形可得，解出满足题意的的值的个数即可. 【详解】由题意可知，直线，的斜率均存在且不为， 又直线，互相垂直，所以设，则， 联立消去得， 因为直线与双曲线有两个交点，所以，，解得， 同理可得， 所以， 同理可得， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形．所以，即， 整理得， 当时， 解得或或， 当时，， 解得或或， 因为， 所以由得到的两个三角形是相同的，类似的由和得到的三角形也是相同的， 综上满足题意的共有3个， 故答案为：3 10．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 11．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知D为双曲线E:的左顶点，点在E上，且E的离心率为2. (1)求双曲线E的方程. (2)过点且斜率为的直线l交E的右支于A，B两点，△ABD的外心为M，O为坐标原点，线段OM所在直线斜率为. ①求证:直线AD和直线BD的斜率之积为定值; ②试探求和的关系，并说明理由. 【答案】(1). (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由已知可得的关系式，求解即可得双曲线E的方程； （2）①设，直线AB的方程为且，与双曲线联立方程组，可得，，设直线AD的方程为，直线BD的方程为，计算可得为定值，进而可得结论；②方法一：联立，可求得，进而求得，求得线段AD的中垂线方程，线段BD的中垂线方程，求得的坐标，计算可得结论. 方法二：设，直线AB的方程为且，设出外接圆的方程，分别与直线方程联立方程组，利用消去后的方程的根均是，计算可求解. 【详解】（1）由点在E上，且E的离心率为2，得， 解得，故双曲线E的方程为. （2）①易得直线AD和直线BD斜率存在且不为零，且不为.    设直线AD的方程为，直线BD的方程为，则均不为零且不为. 设，直线AB的方程为且， 联立，消去x得， ， ，， 从而. 故直线AD和直线BD的斜率之积为定值； ②方法一：联立，消去x得， 解得.同理可得. 线段AD的中点，线段BD的中点， 线段AD的中垂线方程为，线段BD的中垂线方程为. 联立两直线方程得=， 即， 化简得.联立和， 得，从而点， ， =， . 由①知，所以， 故和的关系为. 方法二：设，直线AB的方程为且， 设的外接圆的方程为， 因为点在该圆上，所以1，即， 联立，消去x得①， ， 联立， 消去x得②， 因为方程①和②的两个不同的根均是， 所以==， 代入得==， 即，即，. 又点，所以. 又，所以. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为． ①求证：为定值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论；②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而， 故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，故， 则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，, 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则， 所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得， 综上的取值范围为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $