专题03 椭圆（13知识&10大题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

该高中数学椭圆专题复习讲义通过核心考点表格系统构建知识体系，梳理椭圆定义、标准方程等六大考点，明确复习目标与考情规律，并用对比表格呈现焦点在x轴和y轴的标准方程、几何性质等，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型分类与方法指导，针对焦点三角形、中点弦等十大题型，总结“b²tanθ/2”面积公式、点差法等技巧，培养数学思维与模型意识。典例与变式覆盖基础到压轴题，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题03 椭圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义（第一定义）及应用 精准理解椭圆第一定义，能利用定义判断轨迹、求解相关距离/最值问题 常以小题形式考查“用定义判断轨迹”，难度基础，分值约5分 椭圆的标准方程（两种形式） 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，能根据a/b/c关系求椭圆标准方程 高频小题考点，常考“根据焦点/离心率/顶点求方程”，分值5分 椭圆的几何性质（离心率、焦点等） 掌握椭圆离心率、顶点、范围等性质，能灵活求解离心率（含范围）问题 离心率是核心考点，小题/大题均会涉及，常结合a/b/c的几何关系命题 椭圆中的焦点三角形 能够掌握“b²tan”公式的推导并运用算面积，快速求角度范围 以选择和填空为主，难度中档，常结合三角形面积进行命题 直线与椭圆的位置关系 会用联立方程+判别式判定位置关系，熟练用弦长公式、韦达定理解决弦长/面积问题 期末大题高频考点（10-12分），常考弦长、中点弦（点差法）、面积最值 椭圆的综合应用（定点定值定直线问题、向量、最值结合） 能综合椭圆知识与向量、函数最值，解决综合型解答题 多作为解答题压轴小问，结合定点定值定直线或向量数量积、函数值域考查，难度中等偏上 知识点01 椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距 注：特别地： 当MF1＋MF2＝F1F2(2a＝2c)时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当MF1＋MF2＜F1F2(2a<2c)时，动点M的轨迹不存在 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点03 椭圆方程的求解 (1)定义法 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0,B>0，且A≠B)，再解答. ③与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k>－m2,k>－n2) 知识点04 椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点05 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 知识点06 点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点07 直线与椭圆的位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 知识点08 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点09 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 知识点10 椭圆的第三定义 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 知识点11 椭圆焦半径公式与焦点弦公式 一、椭圆焦半径与焦点弦夹角公式 焦半径长公式：（长），（短）， 证明：在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理，在中，由余弦定理得， 将代入化简得： 则 【证明】焦点弦被焦点分成定比：若，则 （注：抛物线默认e=1） 简证： 交叉相乘得： 二、用坐标与离心率表示椭圆焦半径与焦点弦公式 椭圆第二定义：椭圆上的点到右焦点的距离与到右准线的距离之比为定值 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为定值 实际上，第二定义在第一定义推导过程中就出现了，在课本上推导椭圆和双曲线的过程中出现的两个式子： 这两个式子具有特别重要的几何表征，实际上就是椭圆和双曲线的第二定义。 第一个式子表示的是点到左焦点的距离等于，即到定点与到定直线的距离之比为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线。 第二个式子表示的是点到右焦点．距离等于，即到定点与到定直线的距离之比为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线。 综上，椭圆和双曲线的焦半径公式为: ，，对应口诀为：左加右减 知识点12 直线与椭圆过定点验证定值问题 （1）直线过定点问题的解题模型 （2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点． 知识点13 与椭圆有关的二级结论 1.切线方程：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 2.切点弦方程：若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3.焦点三角形与离心率：设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 4、椭圆的内准圆：已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 5.椭圆的外准圆（蒙日圆）：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆： 蒙日圆的主要性质： （1）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则面积的最大值是,最小值是. （2）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则直线的斜率乘积为定值,直线的斜率乘积为定值.（3）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则面积的最大值是,最小值是. 6.焦比公式:若，则,所以，即 7.椭圆第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为 ，则动点M的轨迹方程为椭圆：. 题型一 椭圆的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. 【典例1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【典例2】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【变式3】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 题型二 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 椭圆的方程应用技巧 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【变式1】（23-24高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型三 求椭圆的离心率 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式3】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型四 椭圆中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】（24-25高二上·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【典例2】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆C：，P为椭圆上一点，若，r为的内切圆的半径，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【变式3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 题型五 椭圆中点弦问题 解｜题｜技｜巧 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－ 【典例1】（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期末）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为 【变式2】（23-24高二上·重庆·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 题型六 直线与椭圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离 【典例1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·四川南充·期末）已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【变式3】已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为 . 题型七 椭圆中的面积问题 解｜题｜技｜巧 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【典例1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【典例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 题型八 与椭圆有关的最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【典例2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 题型九 椭圆中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于、两点（点在点下方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）当与重合时，求的值； （ii）求证：当变化时，直线过定点． 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【典例3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【变式1】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点． ①证明：直线过定点，并求此定点的坐标； ②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 题型十 椭圆中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 【典例1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【典例2】（25-26高二上·河北·期末）若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作．已知椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆C的右焦点，且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点F作直线，与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3】（24-25高二上·浙江舟山·期末）在椭圆上有两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为的直线交椭圆于两点（在左侧）． （i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由； （ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形． 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 8．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 8．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．四边形的面积与的面积之比为 C．四边形的内切圆方程为 D．设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为 . 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆的定义（第一定义）及应用 精准理解椭圆第一定义，能利用定义判断轨迹、求解相关距离/最值问题 常以小题形式考查“用定义判断轨迹”，难度基础，分值约5分 椭圆的标准方程（两种形式） 熟练推导焦点在x轴、y轴的标准方程，能根据a/b/c关系求椭圆标准方程 高频小题考点，常考“根据焦点/离心率/顶点求方程”，分值5分 椭圆的几何性质（离心率、焦点等） 掌握椭圆离心率、顶点、范围等性质，能灵活求解离心率（含范围）问题 离心率是核心考点，小题/大题均会涉及，常结合a/b/c的几何关系命题 椭圆中的焦点三角形 能够掌握“b²tan”公式的推导并运用算面积，快速求角度范围 以选择和填空为主，难度中档，常结合三角形面积进行命题 直线与椭圆的位置关系 会用联立方程+判别式判定位置关系，熟练用弦长公式、韦达定理解决弦长/面积问题 期末大题高频考点（10-12分），常考弦长、中点弦（点差法）、面积最值 椭圆的综合应用（定点定值定直线问题、向量、最值结合） 能综合椭圆知识与向量、函数最值，解决综合型解答题 多作为解答题压轴小问，结合定点定值定直线或向量数量积、函数值域考查，难度中等偏上 知识点01 椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆(几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|)． (2)两个定点F1，F2为焦点；两焦点间的距离|F1F2|为焦距 注：特别地： 当MF1＋MF2＝F1F2(2a＝2c)时，动点M的轨迹是线段F1F2； 当MF1＋MF2＜F1F2(2a<2c)时，动点M的轨迹不存在 知识点02 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0,－c)，F2(0,c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 知识点03 椭圆方程的求解 (1)定义法 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0,B>0，且A≠B)，再解答. ③与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k>－m2,k>－n2) 知识点04 椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点05 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2== 注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径） (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 知识点06 点与椭圆的位置关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 知识点07 直线与椭圆的位置关系 （1）直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为，； ②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； ⑤代入求解． 知识点08 直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点09 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 特的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 知识点10 椭圆的第三定义 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 知识点11 椭圆焦半径公式与焦点弦公式 一、椭圆焦半径与焦点弦夹角公式 焦半径长公式：（长），（短）， 证明：在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理，在中，由余弦定理得， 将代入化简得： 则 【证明】焦点弦被焦点分成定比：若，则 （注：抛物线默认e=1） 简证： 交叉相乘得： 二、用坐标与离心率表示椭圆焦半径与焦点弦公式 椭圆第二定义：椭圆上的点到右焦点的距离与到右准线的距离之比为定值 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为定值 实际上，第二定义在第一定义推导过程中就出现了，在课本上推导椭圆和双曲线的过程中出现的两个式子： 这两个式子具有特别重要的几何表征，实际上就是椭圆和双曲线的第二定义。 第一个式子表示的是点到左焦点的距离等于，即到定点与到定直线的距离之比为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线。 第二个式子表示的是点到右焦点．距离等于，即到定点与到定直线的距离之比为定值的点的轨迹为椭圆或双曲线。 综上，椭圆和双曲线的焦半径公式为: ，，对应口诀为：左加右减 知识点12 直线与椭圆过定点验证定值问题 （1）直线过定点问题的解题模型 （2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点． 知识点13 与椭圆有关的常用二级结论 1.切线方程：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 2.切点弦方程：若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 3.焦点三角形与离心率：设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有 4、椭圆的内准圆：已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 5.椭圆的外准圆（蒙日圆）：椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆： 蒙日圆的主要性质： （1）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则面积的最大值是,最小值是. （2）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则直线的斜率乘积为定值,直线的斜率乘积为定值.（3）设为圆上任意一点,过点作椭圆的两条切线,切点分别是,则面积的最大值是,最小值是. 6.焦比公式:若，则,所以，即 7.椭圆第二定义：已知动点M到定点F（c，0）与到定直线l：的距离之比为 ，则动点M的轨迹方程为椭圆：. 题型一 椭圆的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. 【典例1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据椭圆的性质和三角形顶点的坐标得出三角形边的关系，然后利用正弦定理将三角函数的比值转化为边的比值进行计算. 【详解】在中，顶点，，所以的长度为. 因为顶点在椭圆上，所以. 根据正弦定理：. 则. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用动点转移可求的轨迹方程. 【详解】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 【变式3】（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的圆心为，半径，的圆心为，半径，由动圆与圆内切，设动圆半径为，求出，动圆与圆外切，求出，则有为定值，结合椭圆的定义得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 动圆与圆内切，设动圆半径为，， 动圆与圆外切，， ，， ，动圆的轨迹是以为焦点的椭圆， ，， 动圆的轨迹方程为. 故选：C. 【变式4】（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 【答案】 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 题型二 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 椭圆的方程应用技巧 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 【典例2】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 【变式1】（23-24高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可. 【详解】设椭圆方程为， 因为点到两焦点的距离之和为8，所以， 又焦点在轴上的椭圆过点， 所以， 所以该椭圆标准方程为：. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 【变式3】（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 题型三 求椭圆的离心率 解｜题｜技｜巧 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． （2）齐次方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围 （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【典例1】（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 【典例2】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围． 【详解】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故选：B． 【典例3】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 【变式2】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 题型四 椭圆中的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 【典例1】（24-25高二上·广西南宁·期末）椭圆的两个焦点为，，为椭圆上与两焦点不共线的一点，则的周长为 . 【答案】 【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长. 【详解】因为，，所以， 故的周长为. 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知椭圆C：，P为椭圆上一点，若，r为的内切圆的半径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径. 【详解】 椭圆C：，所以， 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【详解】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 【变式3】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 题型五 椭圆中点弦问题 解｜题｜技｜巧 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－ 【典例1】（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    【典例2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期末）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BCD 【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以，， 故椭圆C的方程为． 故答案为：． 【变式2】（23-24高二上·重庆·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 【变式3】已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】设这条弦的两个端点分别为、，由中点坐标公式得，利用点差法可求得直线的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程. 【详解】解：已知椭圆的弦被点平分， 设这条弦的两个端点分别为、， 则，得， 由于点、均在椭圆上，则， 两式相减得，可得， 即， 所以直线的斜率为， 因此，这条弦所在直线的方程为，即. 故答案为：. 题型六 直线与椭圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离 【典例1】（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 【变式2】（24-25高二上·四川南充·期末）已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义得出点的轨迹是以为焦点的椭圆，然后将“型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题. 【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 且，则， 所以椭圆方程为， 对于①，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有一个解， 该直线称为“型直线”，故①正确； 对于②，把代入得，，无解， 所以直线不是“型直线”，故②错误； 对于③，把代入并整理得， ，因为， 所以方程无解， 所以直线不是“型直线”，故③错误； 对于④，把代入并整理得， ，因为， 所以方程有两个解， 该直线称为“型直线”，故④正确. 故选：D. 【变式3】已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【详解】因为，P在外部， 1.当斜率不存在时，易知为椭圆一切线； 2.当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 代入中并整理得， 因为直线与椭圆相切，则，解得， 此时切线方程为； 所以切线方程为或. 题型七 椭圆中的面积问题 解｜题｜技｜巧 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【典例1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率及四边形面积列式求出，即可求出椭圆的方程. （2）联立直线l与椭圆的方程得到，再利用切割法得到，化简得到，进而利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    【典例2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆四个顶点的四边形为菱形，它的边长为，面积为，过椭圆左焦点与椭圆相交于M，N两点（M，N两点不在轴上），直线的方程为：，过点作垂直于直线并交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； (3)点为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意设直线及交点坐标，联立方程结合韦达定理，表示出直线方程，再另求出即可； （3）进而可得面积为，换元，构建新函数，利用导数判断单调性求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 椭圆C的标准方程为． （2） 由（1）可得：，即， 由题意可设直线，则， 联立方程，消去x可得：， ∴，则， ∴直线的斜率，则直线的方程为． 令，则可得， 即直线过定点． （3）∴面积为， 令，则， 令， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，所以，即， ∴面积的最大值为． 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，且离心率．是第一象限内椭圆上的一点，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)分别连接并延长交椭圆于点，分别表示和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上及椭圆的离心率列方程组求值即可求参； （2）设直线方程联立方程组计算交点，求出面积结合基本不等式得出面积的最大值. 【小题1】设，代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率，则，解得， 又，则，所以椭圆的方程为． 【小题2】由（1）可得，，                      设，其中， 直线，                                  联立，消去得， 解得， 则， 即， 同理可得                        所以       ，当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1：将点代入椭圆方程，结合的关系求解； 法2：利用椭圆定义求解的值，再结合的关系求解； （2）设，，由可到直线的距离，直线与椭圆方程联列方程组，得点的坐标，从而可得的长，由直角三角形面积公式得面积，再求最值. 【详解】（1）法1：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆经过点，所以， 因为右焦点为，所以， 联列方程组，解得， 所以椭圆的标准方程为. 法2：设椭圆的半焦距为， 因为右焦点为，所以，左焦点为， 因为椭圆经过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆的右顶点， 显然直线的斜率存在，设斜率为，则，， 点到直线的距离， 所以， 联列方程组，消去整理得， 所以，所以， 所以， 所以， 若，则斜率取时，显然更大， 故最大时， 令，则， 由基本不等式得最大时，，， 所以当最大时，直线的方程为. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1) 记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P，分析的值，结合椭圆定义可解. （2）①求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果. ②联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 【详解】（1）由题知，,记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P, 则点A在圆周上，折痕l为线段的垂直平分线，如图所示： 则有,可知，, 所以点p的轨迹是以为左右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以，所以折痕围成轮廓的圆锥曲线方程为 （2） ①设，椭圆在点M处的切线方程 为，因为点P在切线上，所以<1>， 下面证明为椭圆在点M处的切线方程： 联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. 同理：椭圆在点N处的切线方程为， 因为点P在切线上，所以<2>, 由<1>和<2>两式可知，点在直线， 则，又，所以. ②由①知，直线的方程为，即，因为当时，此时不存在，则， 与x轴交于点，首先由，解出, 代入中得， 整理得， 由韦达定理得，， 则 ， 设过点的椭圆切线方程为， 与椭圆方程联立得, 因为直线与相切，故判别式， 化简得，因为两条折痕垂直，故， 整理得，当时，此时不存在，则， 则， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号，故， 根据对勾函数性质知：当或时，即或时，，故面积的取值范围为： 题型八 与椭圆有关的最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】画出图形，运用椭圆对称性和定义，设，则，，将的最小值问题转化为二次函数最值问题即可. 【详解】如图，假设右焦点为， 由对称性和椭圆定义可知：，， 设，则， 故， 则当时，取得最小值，最小值为20． 故答案为：20. 【典例2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得，则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，求出，当直线的斜率不为时，设直线方程为，联立方程可得，满足题意时，应用平面向量数量积公式及韦达定理，结合不等式的性质，据此即可所求范围. 【详解】（1）因为原点到直线的距离为， 所以（），解得. 又，得 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，， 当直线的斜率不为时，设直线：，，， 联立方程组，得， 由，得， 所以，， ， ， 由，得，所以. 综上可得：，即. 题型九 椭圆中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1．定点问题 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y视作常数，把方程一边化为零． (2)既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组． (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 2．定值问题 (1)确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示． (2)将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数． (3)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向，在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢． (4)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 3．定直线问题 (1)定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程． (2)所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，已知椭圆的离心率为．直线经过点和椭圆的上顶点，其斜率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于、两点（点在点下方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）当与重合时，求的值； （ii）求证：当变化时，直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及斜率公式列出方程组即可求解； （2）（i）可知直线与椭圆相切，设直线，联立方程求得，代入直线即可得结果；（ⅱ）设，，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理以及同理思想表示出坐标，进一步设直线方程为：，由列出方程，得关系式即可得证. 【详解】（1）由题意得：，解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）（i）当与重合时，可知直线与椭圆相切，且直线的斜率存在且不为0， 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 代入可得，解得，即， 代入直线直线可得，即； （ⅱ）设，，直线 与椭圆联立化简整理：， 因为， 可得：，， 同理可得：，. 设所在的直线方程为：， 则： ， 故：，过定点． 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 【典例3】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【答案】(1)椭圆方程为，极线方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 【变式1】（24-25高二上·河南许昌·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点． ①证明：直线过定点，并求此定点的坐标； ②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；②为定值，定值为． 【分析】（1）由的面积可得出，再由点在椭圆上，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①方法一：对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点，则，根据求出的值，可得出结论；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用结合韦达定理可得出与的关系，化简的方程，可得出直线所过定点的坐标； 方法二：设直线的方程为，将椭圆方程转化为关于、的二次齐次方程，令，可得出关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系结合可得出、的等量关系式，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标； ②点在以为直径的圆上，由直角三角形的几何性质可得出点为圆心，求出的坐标，并由此可得出的值. 【详解】（1）由的面积为，得到：，所以． 又因为点在椭圆上，所以，且， 所以，，解得，所以椭圆的方程为． （2）①方法一：常规方法 当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 设点，由对称性质可知，则有，可得， 又，解得（舍）； ②当直线l斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 由，消去得到， 所以，即， 由韦达定理可得，． 所以， ， 将，， 代入化简得，即， 故或， 当时，直线的方程可化为， 此时，直线过点， 当时，直线的方程可化为， 此时，直线过点， 又因为直线不过点，故直线l过定点. 综上所述，直线l过定点. 方法二：齐次式法 设直线的方程为， 由，所以， 整理得， ， ， 显然，同除以得：， 令，则有， 易知、是关于的二次方程的两根， 由根与系数关系得：， 代入， 由得，故直线过定点． ②因为，由①知直线过定点，所以点在以为直径的圆上， 故当为圆心时，， 故存在定点，使为定值，定值为． 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. (1)求的标准方程； (2)定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；，；（ii）存在， 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可； （2）（i）由新定义列出等式求解即可； （ii）设，直线，，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，再由其为定值得到求解即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题意，得， 解方程组，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）设， 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解方程组，得或， 所以有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为，. （ii）由（i）得，直线的方程为. 假设存在定点，依题意可知直线斜率存在， 设直线，即， 由消去得，， 其中，所以， 设，， ，， 所以 ， 设为定值，则， 当且仅当 解得，， 所以存在定点，使得直线与的斜率之积为定值. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据椭圆离心率和直线斜率即可求出，则得到值，即得到椭圆方程； （2）设直线：，联立椭圆方程得，得到韦达定理式，再利用得到直线过定点，从而得到，通过换元和导数即可求出面积最值. 【详解】（1）由题知，可得， 可得，因为斜率为1，所以， 因为，所以，则， 则，于是的方程为. （2） 由（1）知，因为，所以不垂直于轴， 设直线：，联立得， 当时， 设，则， 因为，所以，， 故，根据， 故可得， 得， 因，整理可得，则， 故直线经过定点. 由①可知， 因为， 因，故， 所以的面积， 设，则，则，， 设，则， 当时，，则， 所以当，即时，面积取最大值. 题型十 椭圆中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程 【典例1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出、，即可求出椭圆方程； （2）方法一：设直线方程：，当时显然成立，当时，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解；方法二：当直线斜率不存在时显然成立，直线的斜率存在时，设直线的方程：，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）为正三角形， ，， 椭圆过点， 或者，解得， 椭圆的方程为； （2）方法一：过的直线与轴不重合，设直线方程：， 当时，直线与轴垂直，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 因为为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等. 当时，，消去整理得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点， 由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线， 与互为相反数， ， ， 整理得：， 将①②代入上式， 当时，化简得到，解得，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等. 方法二： 当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等， 当直线的斜率存在时，设直线的方程：， 又，消去得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点，由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线 与互为相反数 ， ， 整理得， 将①②代入上式， 整理得， 所以， ，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等.    【典例2】（25-26高二上·河北·期末）若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作．已知椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析，点的坐标为； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意求出得椭圆方程； （2）根据新定义列方程组求解； （3）由（2）求得，设 ，求出方程，与椭圆方程联立方程组，消去后，利用是此方程的解得出，然后可得，同理得，由得出的关系式，用坐标法判断得出三点共线． 【详解】（1）由题可得，即，又， 所以，， 所以椭圆方程为：； （2）设“相伴点对”的坐标为， 根据定义：点的坐标满足，解得或， 于是有两个点满足，且点的坐标为； （3）由（2）知，，所以， 设 ，，， 直线方程为， 由，得， 其中， 又，代入整理得， ，，所以， ， 同理，， 由得， 由， ， 所以，所以三点共线． 【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆C的右焦点，且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点F作直线，与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）是否存在椭圆C上一点Q及x轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）直曲联立，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【详解】（1）由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ，解得， 直线方程为：或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）设为椭圆的右焦点，点在椭圆上， (1)求椭圆的方程； (2)设分别为和椭圆上的点，求两点间的最大距离； (3)斜率为的直线过抛物线的焦点与交于，与交于，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将代入椭圆方程求解即可； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）设直线，，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）将代入椭圆方程得可得：， 所以椭圆方程为：； （2） 因为，，所以只需找到的最大值即可， 设，而，则， 由可得，代入消去可得： ， 因为，所以当时，， 从而； （3） 设直线，， 与椭圆联立方程：， ∴， ∴； 直线与抛物线联立方程：， ∴， ∵是焦点弦， ∴， ∴ 若为常数，则，∴，常数为. 所以存在实数，使为常数. 【变式3】（24-25高二上·浙江舟山·期末）在椭圆上有两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)在线段上取一点（不包括端点），过作斜率为的直线交椭圆于两点（在左侧）． （i）判断是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由； （ii）设中点为，中点为，为椭圆中心，证明：四边形为平行四边形． 【答案】(1)； (2)（i）是定值，；（ii）证明见解析. 【分析】（1）将点代入椭圆方程求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）（i）设、，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式求、，进而求得结论；（ii）设直线方程为，联立椭圆应用韦达定理，并求得，再将问题化为求证，即可证结论. 【详解】（1）由题设，可得， 则椭圆方程为； （2）（i）设，联立椭圆方程， 所以， 由韦达定理，得到， ， 同理，设，得， 且，， 故. （ii）设直线方程为，联立椭圆方程， 所以，由韦达定理，得到， 由于都在上，故， 联立直线和，得到点坐标， 要证四边形为平行四边形，只需证明与相互平分（或通过向量），即证明， 而， ，得证. 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将椭圆方程化为标准形式：，利用离心率公式即可求得结果. 【详解】因为椭圆，整理为，则， 所以，所以（负值舍去），故， 故选：C 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）椭圆上任意一点P到点的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】设点，可得，结合两点间距离公式计算即可得解. 【详解】设，则，可得，其中， 所以， 当时，取得最小值，. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可. 【详解】由题意， 所以的周长为16. 故选：C 6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为，，点D在线段上，且．若，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，点，，， ∴，∵，则点为的三等分点， 故，，， 由得：，化简得． 故选：B． 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确； 由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C错误； 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，即方程组无解， 所以以点为直角顶点的不存在； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和， 综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 8．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为12 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D. 【详解】由，则，，，焦点在轴上， ，， 对于A，离心率，故A错误； 对于B，设，， ，若，则, 即， 解得，故存在点A使得，故B正确；    对于C，在中，， 若，则， 当为通径时，，当为长轴时，， 所以，此时满足，故C正确； 对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值， 即. 故选：BCD. 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值. 【详解】如下图所示： 易知点、，直线的方程为， 联立解得，即点， 由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则， 所以，，且直线的斜率为， 由已知，则，则， 所以，，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，解得. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． (1)求椭圆M的方程； (2)证明直线BC的斜率为定值； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值.    （3）由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径. 【详解】椭圆：的长轴长，焦距， 则，由，得， 则，设内切圆半径为，由， 得，所以. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 3．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【详解】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由消去得：，, ，解得，设， 则，点，由直线的斜率小于，得， 则，椭圆焦点在轴上，， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质可知，结合椭圆定义可知，代入结合对勾函数运算求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 设椭圆的左焦点为，可知， 因为，可得， 则， 又因为在内单调递减，且， 可知在内的值域为，所以的取值范围是. 故选：C. 7．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，、，动点满足，记点的轨迹为曲线，在第一象限内任取曲线上点，记直线的倾斜角为，斜率为，下列选项正确的有（   ） A．曲线经过点 B．曲线是中心对称图形 C．的最大值为 D．为定值 【答案】ABD 【分析】设点，根据题意求出点的轨迹方程，利用点与曲线的位置关系可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；设，则直线的方程为，与直线方程与曲线方程联立，可求出的取值范围，可判断C选项；由三角函数的定义结合曲线方程可判断D选项. 【详解】设点，则， 整理可得，即， 即曲线的方程为. 对于A选项，因为，即曲线经过点，A对； 对于B选项，在曲线上取点，则点关于原点的对称点为， 则， 所以，曲线关于原点中心对称，B对； 对于C选项，令，则直线的方程为， 联立可得， 可得，则，解得， 所以，没有最大值，C错； 对于D选项，由题意可知，且， 则为定值，D对. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．四边形的面积与的面积之比为 C．四边形的内切圆方程为 D．设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的面积与菱形面积计算即可判断B；根据菱形内切圆的几何性质求得半径与圆心即可得圆的方程，从而判断C；根据椭圆面积及菱形面积关系，即可判断，的关系，从而可判断D. 【详解】由题可得，上、下顶点分别为， 左、右顶点分别为， 因为，，，所以， 若,则则，故选项A正确. 对于B，四边形的面积为， 椭圆的面积，则面积比为，故B不正确； 对于C，设四边形的内切圆半径为，则在中可得， 所以，则四边形的内切圆方程为，故C正确； 对于D，由题意有又，所以， 所以，而且， 故，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知椭圆的焦点为，P是该椭圆上的动点，若是锐角，则点P的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得且点P不在左、右顶点处，设，，进而计算可得，求解即可. 【详解】若是锐角，则且点P不在左、右顶点处. 设，，则，， 则， 解得， 所以点P的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为 . 【答案】/ 【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】由题意得蒙日圆为，则，， 直线的方程为：， 联立得， ， 解得，， 所以. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆，点，，为坐标原点，且． (1)求椭圆方程； (2)设是椭圆上的两个动点，且满足， （i）求的面积； （ii）已知点，且直线与交于点，直线与交于点，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，1 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算求解； （2）（i）根据斜率积的值分的斜率不存在及的斜率存在，分别计算求解； （ii）先联立方程组计算得出，再类比得出，最后结合椭圆方程化简求解即可. 【详解】（1）由题， 解得，故椭圆方程：； （2）（i）， 当的斜率不存在时，设， 与椭圆方程联立得，， ， 所以，则， 当的斜率存在时，设， 与椭圆方程联立得， 当时，方程两根即为， 由韦达定理，， ，得， ， 点到的距离， 因此， 综上，； （ii）由题直线 由解得， 所以， 所以， 同理 由解得， 故解得， 可得， 故 利用， ， 又因为，所以，所以， 所以 ． 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 【答案】(1)直线的方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）运用点差法，设，代入椭圆方程后作差，结合中点坐标，解得斜率，即可解出直线的方程. （2）①按直线的斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程，结合韦达定理和判别式，将的表达式化简，即可得证； ②设线段的中点为，根据中点坐标公式表示，结合直线的方程，解出， 得出点在直线上，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知椭圆 ，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为0，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）根据题意作图如下： ①证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在. 当直线的斜率为0时，，此时两点坐标为， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 整理得，则，即， 解得或，且， 所以 ， 代入， 得. 综上，为定值，且. ②证明：由已知设线段的中点为， 易得，直线，则， 直线，则， 由①知，所以， 又直线，所以点在直线上. 综上，直线过线段的中点. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $