专题05 抛物线 （9知识&11大题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版

该高中数学抛物线复习讲义通过表格系统梳理核心考点，按定义、标准方程、几何性质等知识点构建体系，用对比表格呈现四种标准方程的焦点、准线及性质，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，每种题型配备解题技巧如焦点弦长用定义转化，典例与变式覆盖基础到综合问题，培养数学思维与运算能力，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

专题05 抛物线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及应用 精准理解 “平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹”，能利用定义转化距离关系、判断轨迹、求解最值问题 以小题形式考查 “定义的距离转化”，易错点为忽略“点不在准线上”的前提，分值约5分 抛物线的标准方程（四种形式） 掌握开口向右/左/上/下的四种标准方程，明确参数p（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据焦点/准线求方程 高频小题考点，常考“由焦点/准线/顶点求标准方程”，需注意p>0的符号，分值5分 抛物线的几何性质（焦点、准线） 能快速写出不同开口方向的焦点坐标、准线方程，掌握抛物线的范围、对称性 结合标准方程考查，小题必考“焦点/准线的书写”，分值3-5分 抛物线的焦点弦性质 掌握焦点弦的核心结论：①弦长公式（如开口向右：∣AB∣=x1+x2+p）；②坐标关系③中点到准线的距离为弦长的一半 小题/大题前问高频考点，常考“焦点弦长计算”“坐标乘积关系”，分值5-8分 直线与抛物线的位置关系 会联立方程+判别式判定位置关系，用韦达定理求弦长/中点，注意“直线与抛物线相切可能只有1个交点”的特殊情况 期末大题核心考点（10-12分），常考“弦长、中点弦、面积最值”，需关注开口方向对范围的影响 抛物线的综合应用（定点定值、向量） 能综合抛物线知识与向量、函数，解决定点定值类解答题，掌握“设线（斜截式/参数式）→联立化简→条件推导”的流程 多作为解答题压轴小问，结合定点定值/向量数量积考查，难度中等偏上 知识点01 抛物线的定义 1、抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 2、抛物线定义的集合语言表示：. 注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质 知识点02 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点03 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点04 抛物线中弦长 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点05 抛物线的中点弦 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 知识点06 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. （1）抛物线，. （2）抛物线，. （3）抛物线，. （4）抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 知识点07 焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切.以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切 （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. （7）其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角) 知识点08 抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为 注意：(1).通径长为 (2).焦点弦中，通径最短. (3).通径越长，抛物线开口越大 知识点09 抛物线中的阿基米德三角形 （1）阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. （2）过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: ①点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 ②两切线互相垂直,即; ③; ④点的坐标为. ⑤的最小值为. 题型一 抛物线的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】C 【分析】根据二次函数写出顶点坐标，即可得轨迹方程，判断轨迹图形即可. 【详解】由，则顶点坐标为， 所以顶点的轨迹是，为抛物线. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 题型二 求抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 （2）求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） ①焦点为，准线为 ②焦点为，准线为 【典例1】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得. 【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得， 故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析出抛物线的开口方向，即可得出满足题意的抛物线的标准方程. 【详解】由题意， 抛物线与直线无公共点， ∴抛物线开口向左，满足的抛物线的标准方程可以为：， 故答案为：.（答案不唯一） 【变式2】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程； （2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程； （3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的标准方程，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为. （2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为. （3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程可得，解得， 此时，抛物线的标准方程为； 若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线的标准方程为，解得， 此时，抛物线的标准方程为. 综上所述，所求抛物线的标准方程为或. 【变式3】（24-25高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 【答案】（1）标准方程为，其焦点坐标为或，焦点坐标为；（2），其焦点坐标为. 【分析】（1）根据焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上分类讨论，设出抛物线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论； （2）根据焦点在x轴上，或在y轴上分类讨论，设出双曲线方程，代入点的坐标求得参数值，得结论. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点在x轴正半轴上，或在y轴正半轴上. 当焦点在x轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 当焦点在y轴正半轴上时，设抛物线的标准方程为（），则， ∴. 故抛物线的标准方程为，焦点坐标为. （2）当双曲线的焦点在x轴上时，设其标准方程为（，）， 由得， ∴，焦点坐标为. 当双曲线的焦点在y轴上时，设其标准方程为（，）， 因无解，所以双曲线的焦点在y轴上不成立. 综上，双曲线的标准方程为，其焦点坐标为. 题型三 抛物线中距离最值问题 解｜题｜技｜巧 （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. （3）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. （4）代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1， 过点作于，设点，，， ， 当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，AB不可能，CD可能. 故选：CD 【典例2】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】 ①由题意得，，设，，， 则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【变式2】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】（多选）（24-25高二上·湖南·期末）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】ACD 【分析】由得，可知其图象为抛物线的上半部分，故D正确，由抛物线的焦半径公式可判断A正确，选项C可转化为到焦点与的距离和，进而可知其最小值为到准线的距离，选项B由点到直线的距离公式，结合的取值范围可得. 【详解】选项A：由得，其图象为抛物线的上半部分，焦点为， 为点到焦点的距离，故，故A正确； 选项B：到直线的距离为， 又，故，故，故B错误； 选项C：即为到焦点与的距离和，    由抛物线的定义可知，其最小值为到准线的距离，即为，故C正确； 选项D：由抛物线的定义可判断到与直线的距离相等，故D正确， 故选：ACD. 题型四 抛物线中的焦半径公式及应用 解｜题｜技｜巧 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则： ①x1x2＝，y1y2＝－p2. ②|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) . （2）设抛物线上一点的坐标为，焦点为. ①抛物线，. ②抛物线，. ③抛物线，. ④抛物线，. 【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得结果. 【详解】因为为抛物线上一点，， 所以，解得. 故答案为：2. 【典例2】（24-25高二上·江苏·期末）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，如图， 设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知， 于是得，而函数在上单调递减，即， 因此，即有，所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解. 【详解】解：由题意得：F为ABC的重心。故 设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线 ，F为其焦点 故选：D 【变式2】（24-25高二上·四川眉山·期末）已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为 ． 【答案】18 【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解． 【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为， 如图所示，设点其中，且 过点作，垂足为， 由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于， 即， 所以，解得，即点的横坐标为． 故答案为：18. 【变式3】如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________． 【答案】 【分析】设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出、、、，并求出与面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程． 【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为， 由焦半径公式得：，，，， 的面积为： ， 同理可得的面积为：，令， 则与面积之和为：， 再令，则与面积之和为：， 由双勾函数的单调性可知，当时，与面积之和取到最小值， 即，由于，得，因此，抛物线的方程为．故答案为： 题型五 抛物线的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 【典例1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式2】（24-25高二上·广西贵港·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到方程，求出答案； （2）设，，点差法得到直线的斜率，从而得到直线的方程，由焦点弦弦长公式得到，结合点到直线距离，得到三角形面积. 【详解】（1）设，，联立直线与抛物线得：， 消去x得到，∴，， ∴． 解得或－3（舍去）．∴． （2）设，， ∵A，B在抛物线C上，∴，， 两式作差得． ∵AB中点坐标为，∴，， ∴， ∴， ∴l：，整理得l：． 故l过的焦点，弦长． 又O到l的距离为． ∴． 题型六 抛物线的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 （1）抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) （2）（为直线与对称轴的夹角）． 【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【分析】由焦半径公式求得焦点弦长. 【详解】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10 【典例2】（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 【答案】BC 【详解】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，画图为： 根据抛物线的定义：，从图可知，， ，在中，， 所以，同理， 则 ，故当时， 故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确； 对于B项，由A可知，，故B正确； 对于C项，， 当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确； 当直线过焦点时，， 当直线不过焦点时，不是定值， 举例当时，此时，， 即，，，故D错误； 故选：BC. 【变式1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为， 如下图，， 因为， 设，所以， 所以， 设，所以，，所以， 所以，当且仅当，即取等号. 所以的最小值为4 【变式2】（24-25高二上·浙江·期末）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为 【答案】y2＝±4x. 【详解】依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 题型七 直线与抛物线的位置关系 解｜题｜技｜巧 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【答案】ABD 【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确； 对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确； 对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【变式2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【答案】BD 【分析】直接代入点的坐标到直线方程验证后判断A；利用特例判断C；由直线方程与抛物线方程组成方程组，由方程组的解的情况判断BD． 【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错； 选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而， 又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确； 选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错； 选项D，由得，， 由，得或，D正确． 故选：BD． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，转化点到点的距离等于点到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）由点在上，可得，联立方程组，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1， 因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为. （2）证明：因为点在上，可得， 联立方程组，可得， 则， 所以直线与相切． 题型八 抛物线中的面积问题 解｜题｜技｜巧 核心方法：代数工具（韦达定理）+几何公式 （1）弦长+距离法：联立直线与双曲线方程，用韦达定理得算弦长 ∣AB∣=（k为直线斜率）；求点到直线的距离d；则三角形的面积S=∣AB∣d。 （2）原点三角形的面积公式：若已知交点，，直接用：S=∣x1y2−x2y1∣（适用于过原点的三角形） 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 【变式2】（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期末）动圆与圆外切，且与直线相切，记该动圆心的轨迹为曲线.过的直线与交于两点，过点作的切线，设直线分别与直线交于点. (1)求曲线的方程； (2)证明：与的横坐标之积为定值； (3)记的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设的方程为，注意用导数求得切线斜率，由直线方程得出的横坐标（用表示），然后求乘积可得； （3）由图形得，直线方程代入抛物线方程（消去）应用韦达定理得，计算，由（2）不妨设，，由基本不等式得最小值，从而得的最大值． 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大1， 所以到点的距离等于它到直线的距离， 所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设点的轨迹方程为，则，所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）易知的斜率必存在且不等于0， 设的方程为， 联立，可得的横坐标为， 又因为过点和，所以， 由，有， 所以的斜率为，因此的方程为， 令，可得的横坐标为， 所以，因此的横坐标与的横坐标之积为定值. （3）由题意，有， 所以， 联立，消去，化简得， 所以， 因此， 所以， 由（2）知，不妨设， 则，等号成立当且仅当， 因此， 所以的最大值为. 题型九 与抛物线有关的参数最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响 【典例1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，联立方程组求出点的坐标，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由，可得圆心，也是抛物线的焦点为， 如图，交抛物线的准线于，根据抛物线的定义，可得， 故的周长为， 由，解得， ∵，且，∴的取值范围为，∴， ∴的周长的取值范围为. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·江苏·期末）已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将距离转化为，由余弦定理得到，，之间的关系，化简整理代入不等式，再分离参数求最值即可. 【详解】抛物线，方程可化为，则焦点，准线， 由点为弦的中点，如图过作， 由抛物线定义可知，， 点到直线的距离， 在中，，由余弦定理得， 由不等式得，设 则由得， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取最小值. 故要使不等式恒成立，则，则的取值范围为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设、，作分别于，则，， 在梯形中，有， 在中，， 又，则，即， 当且仅当时取等号，因此，所以的最大值是. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·浙江台州·期末）动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1)或. (2)①；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【详解】（1）依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. （2）①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 题型十 抛物线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1.抛物线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.抛物线中定值 （1）抛物线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.抛物线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程 【典例1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，求出，再代入抛物线方程即可求解； （2）设则，求出直线的方程，可得其与抛物线的交点的坐标，表示出直线的方程，结合点在抛物线上化简方程，即可求出直线所过定点坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得， 抛物线方程； （2）设，则， 直线的方程为， 与，联立得， ， 直线的方程为， ，所以 直线的方程化简得， 直线过定点. 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． (1)已知点，求切线l的方程； (2)过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，理由见解析 【分析】（1）由点P可得抛物线方程，然后设切线方程为，将切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得斜率； （2）（i）法1，利用抛物线光学性质可得，然后由几何知识可得，即可得答案；法2，将切线方程设为，类似于（1）可得，注意到，然后由几何知识可得，即可得答案；法3，类似于法2可得切线斜率为，设直线l，PF的倾斜角分别为，经计算可得，然后由几何知识可得；法4，类似于法2可得，通过将过原点与切线平行的直线方程与直线PF的方程联立可得点S坐标，然后由结合两点间距离公式可得关于p的表达式，化简后可得答案； （ii）由（i）设，将方程与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得关于的表达式，然后由切线到圆心距离为1可得，代入表达式可得答案. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，所以抛物线为 设切线方程为，与抛物线联立得：， 所以，所以 所以切线方程为： （2）（i）（法1）如图，因由光学性质可知轴， 因为入射角等于反射角，所以， 所以，所以， 所以，所以抛物线方程为 （法2）设切线l的方程为： 与抛物线方程联立得， 由，整理，即 如图，因为，所以，又因为， 所以，所以，即， 所似抛物线方程为 （法3）点在第一象限，同法2，求得 设直线l，PF的倾斜角分别为， 计算可得： 即，即，所以抛物线方程为 （法4）同法2，求得，所以过原点与切线平行的直线为： 直线PF的方程为：，解得点S的坐标为 因为，由两点距离公式可得 整理得，注意到：， 进一步整理可得：，所以，所以抛物线方程为 （ii）由（i）可得抛物线方程为：，则准线方程为： 设，， 将方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：， 又，则由韦达定理可得，同理可得. 则. 又与圆相切，则到圆心的距离为1， 则， 同理有， 则为方程的两根， 由韦达定理可得：. 则 注意到当时，切线中有一条与x轴平行，不合题意，则. 要使为定值，则，又，则. 故存在圆，使得当点N运动时，为定值. 【典例3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是，；② 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的取值范围为. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知点是轴上一点，求的最小值； (3)已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用两点间距离公式，结合定义域和二次函数的最值，即可求解； （2）利用两点间距离，转化为关于的二次函数，结合函数的定义域，讨论得到取值范围，求函数的最值； （3）首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，可判断直线过定点，再结合几何关系，即可求解. 【详解】（1）设，，，. .∴时，，∴， ∴ （2），， 当即时，； 当即时，.综上， （3）当不存在时，设，不能和抛物线有2个交点，故舍去， 当存在时，设，设， ，∴，∴，∴， ， ∴ ∵，∴，∴ ∴，∴，∴，即直线过定点 ∵，∴点为中点时，为定值，此时，. 【变式2】（24-25高二上·甘肃·期末）已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)直线过定点 【分析】（1）利用点在抛物线上，直接代入即可得解； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程求得，同理求得，再利用两点斜率公式即可得解； （3）根据题意，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，进而求得，，再利用向量垂直的坐标表示求得的关系式，从而利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得，所以的方程为； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得， 则， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为； （3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，， 由，得， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以或，即或， 若，则，， 则，过定点，与点重合，不符合题意； 若，则，， 则，过定点， 综上，直线过定点. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 题型十一 抛物线中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，N两点. (1)若，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 ①求p的取值范围； ②证明：以为直径的圆过P，Q两点. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①对于存在关于直线对称的相异两点问题，利用中点在直线上以及判别式大于零求出参数取值范围；②通过向量数量积证明以线段为直径的圆过某些点. 【详解】（1）设，，联立方程， 得，得， ， 解得，所以抛物线C的方程为 （2）①依题意可知直线l垂直平分线段PQ， 所以直线PQ的斜率为，设其方程为， 代入中消去x可得到：， 设，，所以， 故的中点G在直线l上，则，所以， 又因为G在直线上，所以， 因为方程有两个相异实根，所以，解得， 故所求p的取值范围是 ②设，，，， ，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 ， 所以，即以为直径的圆过点P，同理可得以为直径的圆过点Q. 【变式1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【详解】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 【变式3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知抛物线，焦点为．斜率存在的直线与抛物线交于两点． (1)若直线的倾斜角为，且．求直线的方程； (2)给定一个正实数，分别过点作的切线，设交于点． （i）证明：点在定直线上的充要条件是直线过定点； （ii）已知直线与轴交于点，且．证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据倾斜角为，可设直线联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得到，再由弦长公式得到，从而解出的值； （2）（i）分别得到在点处的的切线的方程，从而得到点的坐标，先证明充分性，设过定点的直线，与抛物线的方程联立可得点的横坐标为，在直线，再证必要性，可以设直线过定点，根据点在上，即横坐标为求得. （ii）由抛物线定义得，由得，从而是的垂直平分线，可以证明与全等，与全等，所以，从而. 【详解】（1）设直线，联立得． 设，则． 则，解得． 经检验，时，．所以直线的方程为． （2）（i）设过点，的切线方程为， 联立得，即． 则由相切得，整理得，解得． 所以过点的切线方程为． 同理过点的切线方程为． 两方程联立得，所以点． 充分性：设过定点的直线． 联立得，由韦达定理得． 点的横坐标为，所以点在定直线上． 必要性：点在定直线上，则． 设过点的直线． 联立得．由韦达定理得． 解得，则直线过点. 综上，点在定直线上的充要条件是直线过定点. （ii）如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为． 连接．与交于点．由抛物线定义得． ．则． 则，所以． 由知，所以．因此与全等，所以． 同理可得，与全等，所以． 则，所以． 所以． 所以． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，再把点代入抛物线得出，最后计算求解即可. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为，又因为点在抛物线上， 所以，所以，所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出的方程，，的坐标，进而把直线与抛物线方程联立消去，根据韦达定理求得，的表达式，进而根据推断出，求得，即可求出结果. 【详解】设直线的方程为代入抛物线，消去得， 设，，则，，， 所以 ， 所以，故直线过定点. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】令且，进而求得，应用两点距离公式并整理得，应用换元法、二次函数性质求最值即可. 【详解】令且，则，联立抛物线准线，可得， 令，故，故， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为. 故选：B 7．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】利用函数图像的平移变换，将抛物线的方程转化为标准形式，再根据抛物线的几何性质求解即可. 【详解】由题意可得抛物线的图象可由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为抛物线即的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为，焦点坐标为，准线方程为， 所以AC说法正确，BD说法错误； 故选：AC 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 【答案】ACD 【分析】对A：求出直线与轴交点后即可得，即可得通径；对B：联立直线与曲线方程，结合韦达定理可计算出线段的中点坐标，即可得其轨迹；对C：结合斜率定义与所得韦达定理计算即可得解；对D：由可得点坐标，再计算出点坐标即可得解. 【详解】对A：由过点，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 故点即为抛物线的焦点，则，即， 则的通径长为，故A正确； 对B：，消去得：， 设、，则，， 有，， 故线段的中点为，在曲线上，不在定直线上，故B错误； 对C：， 故直线的斜率之积为定值，故C正确； 对D：若，由，则，， 则，故，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出过对称点的直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，得到的中点为，代入已知直线方程得到用表示的判别式，再结合二次函数和分式不等式求解即可； 【详解】由题意可知，设抛物线 上存在关于直线对称的点为，直线的方程为， 联立，消去可得， ， 设的中点为，则，， 因为点在直线上，所以， 解得， 将代入判别式可得，化简可得， 由二次函数的关系可得恒成立， 所以上式等价于，解得. 故答案为：. 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程的定义即可由焦半径求出的值，可得出抛物线的方程，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线上一点到点的距离为， 由抛物线定义可得，则，所以，抛物线的方程为． 设直线的方程为，设、， 将的方程代入方程整理得， 需满足，解得， 由韦达定理可得， 故，解得，合乎题意， 故直线的方程为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的性质直接求出即可； （2）由重心坐标公式和中点坐标公式得到中点坐标为，再由点差法得到直线的斜率，然后求出直线方程验证即可； 【详解】（1）由题意得， 抛物线方程为：. （2） 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时 直线的方程为. 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程. 【详解】根据题意，设抛物线方程为， 则，准线方程为. 所以点. 因为，所以， 化简得，即，解得. 所以抛物线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦半径公式得解. 【详解】抛物线C的方程为， ，可得， 设，由抛物线的定义得， 所以， 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值. 【详解】设点， 联立，消去得， 则， 因为线段的中点的横坐标为4， 所以，即， 设点关于轴的对称点为，则， 所以 ， 解得或. 故选：A. 7．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（    ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，. 直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若， 因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    10．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 【答案】 2 4 【分析】第一空：当直线斜率不存在时，求出的坐标即可求解； 第二空：当直线斜率存在时，设，由直线与抛物线方程联立结合韦达定理进行求解． 【详解】第一空： 抛物线的焦点为， 当直线斜率不存在时， ， 则． 第二空： 当直线斜率存在时，设， 如图所示： 直线的方程为：，代入，可得， 得，得， 同理得， 则， 设直线的方程为：，代入， 可得， 则，得， 故答案为：2；4 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 12．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)1 (3)为定值4，证明见解析. 【分析】（1）设，由题意建立关于a的等量关系求出a即可得解； （2）联立圆与抛物线方程，求出交点横坐标，由抛物线与圆有且只有一个交点得关于a的不等式即可求解； （3）设和过点M的圆E的切线方程为，由圆心到切线距离为半径1结合点到直线距离公式整理得方程，进而得两切线斜率满足，接着设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和，再由计算即可得证. 【详解】（1）由题可设，则，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）联立或， 因为抛物线与圆有且只有一个交点， 所以， 所以的最小值为1. （3）证明：由（2）得，由题可设， 设过点M的圆E的切线方程为，即， 由圆心到切线距离为半径1得，整理得， 两边平方得，展开化简得， 进一步整理得， 设两切线斜率分别为，则是上述方程的两根，故， 设，由消去x得， 则，即；同理得. 所以， ， 又， 所以. 所以是一个定值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及应用 精准理解 “平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹”，能利用定义转化距离关系、判断轨迹、求解最值问题 以小题形式考查 “定义的距离转化”，易错点为忽略“点不在准线上”的前提，分值约5分 抛物线的标准方程（四种形式） 掌握开口向右/左/上/下的四种标准方程，明确参数p（焦点到准线的距离）的几何意义，能根据焦点/准线求方程 高频小题考点，常考“由焦点/准线/顶点求标准方程”，需注意p>0的符号，分值5分 抛物线的几何性质（焦点、准线） 能快速写出不同开口方向的焦点坐标、准线方程，掌握抛物线的范围、对称性 结合标准方程考查，小题必考“焦点/准线的书写”，分值3-5分 抛物线的焦点弦性质 掌握焦点弦的核心结论：①弦长公式（如开口向右：∣AB∣=x1+x2+p）；②坐标关系③中点到准线的距离为弦长的一半 小题/大题前问高频考点，常考“焦点弦长计算”“坐标乘积关系”，分值5-8分 直线与抛物线的位置关系 会联立方程+判别式判定位置关系，用韦达定理求弦长/中点，注意“直线与抛物线相切可能只有1个交点”的特殊情况 期末大题核心考点（10-12分），常考“弦长、中点弦、面积最值”，需关注开口方向对范围的影响 抛物线的综合应用（定点定值、向量） 能综合抛物线知识与向量、函数，解决定点定值类解答题，掌握“设线（斜截式/参数式）→联立化简→条件推导”的流程 多作为解答题压轴小问，结合定点定值/向量数量积考查，难度中等偏上 知识点01 抛物线的定义 1、抛物线定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹。其中，定点F抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 2、抛物线定义的集合语言表示：. 注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质 知识点02 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点03 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点04 抛物线中弦长 直线与抛物线相交的弦长公式 （1）定义：连接抛物线上两个点的线段称为抛物线的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被抛物线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点05 抛物线的中点弦 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 知识点06 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. （1）抛物线，. （2）抛物线，. （3）抛物线，. （4）抛物线，. 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式. 知识点07 焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切.以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切 （2）(焦点弦长与中点关系) （3）. （4）若直线的倾斜角为，则. （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. （6）为定值. （7）其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角) 知识点08 抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为 注意：(1).通径长为 (2).焦点弦中，通径最短. (3).通径越长，抛物线开口越大 知识点09 抛物线中的阿基米德三角形 （1）阿基米德三角形的定义: 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形. （2）过焦点的阿基米德三角形的常见性质: 如图所示,是抛物线的过焦点的一条弦（焦点弦）,分别过,作抛物线的切线,交于点,连接,则有以下结论: ①点的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 ②两切线互相垂直,即; ③; ④点的坐标为. ⑤的最小值为. 题型一 抛物线的概念与轨迹方程 解｜题｜技｜巧 抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）二次函数图象的顶点的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【变式1】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【变式2】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 题型二 求抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 （2）求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） ①焦点为，准线为 ②焦点为，准线为 【典例1】（24-25高二上·北京平谷·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可） 【变式2】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，，； (2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程； (3)经过点的抛物线的标准方程. 【变式3】（24-25高二上·山西太原·期末）（1）已知抛物线C经过点，求C的标准方程和焦点坐标； （2）已知双曲线C经过点，，求C的标准方程和焦点坐标. 题型三 抛物线中距离最值问题 解｜题｜技｜巧 （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. （3）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. （4）代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（    ）. A．1 B．3 C．4 D．5 【典例2】（24-25高二上·河南焦作·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 【变式2】（多选）（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【变式3】（多选）（24-25高二上·湖南·期末）已知为曲线上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．到直线的距离的最小值为1 C．的最小值为 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 题型四 抛物线中的焦半径公式及应用 解｜题｜技｜巧 （1）设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则： ①x1x2＝，y1y2＝－p2. ②|AF|＝，|BF|＝ (其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧) . （2）设抛物线上一点的坐标为，焦点为. ①抛物线，. ②抛物线，. ③抛物线，. ④抛物线，. 【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则的值为 ． 【典例2】（24-25高二上·江苏·期末）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【变式2】（24-25高二上·四川眉山·期末）已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为 ． 【变式3】如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________． 题型五 抛物线的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得 ，.设线段的中点为，即， 同理，对于抛物线，则有 【典例1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广西贵港·期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与抛物线C：交于M，N两点，，O为坐标原点． (1)求p； (2)过点作直线l交抛物线于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求三角形OAB的面积． 题型六 抛物线的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 （1）抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) （2）（为直线与对称轴的夹角）． 【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【典例2】（多选）（24-25高二上·江苏·期末）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 【变式1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________. 【变式2】（24-25高二上·浙江·期末）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为 题型七 直线与抛物线的位置关系 解｜题｜技｜巧 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线过点，则（    ） A．拋物线的标准方程可能为 B．抛物线的标准方程可能为 C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条 D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l与抛物线C相切 C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点 D．当直线l与抛物线C无公共点时，或 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在上，证明：直线与相切． 题型八 抛物线中的面积问题 解｜题｜技｜巧 核心方法：代数工具（韦达定理）+几何公式 （1）弦长+距离法：联立直线与双曲线方程，用韦达定理得算弦长 ∣AB∣=（k为直线斜率）；求点到直线的距离d；则三角形的面积S=∣AB∣d。 （2）原点三角形的面积公式：若已知交点，，直接用：S=∣x1y2−x2y1∣（适用于过原点的三角形） 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． (1)求抛物线的方程； (2)求△的面积． 【变式1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【变式2】（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期末）动圆与圆外切，且与直线相切，记该动圆心的轨迹为曲线.过的直线与交于两点，过点作的切线，设直线分别与直线交于点. (1)求曲线的方程； (2)证明：与的横坐标之积为定值； (3)记的面积分别为，求的最大值. 题型九 与抛物线有关的参数最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响 【典例1】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线，直线交抛物线于点，则周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏·期末）已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【变式3】（24-25高二上·浙江台州·期末）动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 题型十 抛物线中的定点、定值、定直线问题 解｜题｜技｜巧 1.抛物线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.抛物线中定值 （1）抛物线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.抛物线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程 【典例1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，过原点直线交抛物线于另一点，且. (1)求抛物线方程； (2)已知为抛物线上两动点，且关于轴对称，，连接交抛物线于点，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标. 【典例2】（24-25高二上·山东青岛·期末）圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． (1)已知点，求切线l的方程； (2)过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 【典例3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)已知点是轴上一点，求的最小值； (3)已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 【变式2】（24-25高二上·甘肃·期末）已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式3】（24-25高二上·江苏·期末）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 题型十一 抛物线中的探究性、存在性问题 解｜题｜技｜巧 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，N两点. (1)若，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 ①求p的取值范围； ②证明：以为直径的圆过P，Q两点. 【变式1】（24-25高二上·河南周口·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 【变式2】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知抛物线，焦点为．斜率存在的直线与抛物线交于两点． (1)若直线的倾斜角为，且．求直线的方程； (2)给定一个正实数，分别过点作的切线，设交于点． （i）证明：点在定直线上的充要条件是直线过定点； （ii）已知直线与轴交于点，且．证明：． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．5 B．6 C． D．4 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点在抛物线上，为的焦点，，则（    ） A． B． C． D．16 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知抛物线上两点，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）点A（与原点O不重合）在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点B，过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 7．（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）下列关于抛物线的图象的几何特征描述正确的是（   ） A．顶点坐标是 B．对称轴方程为 C．焦点坐标为 D．准线方程为 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的通径长为4 B．线段的中点在定直线上 C．直线的斜率之积为定值 D．若，直线与的准线交于点，则 9．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是 ． 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为抛物线的焦点，且上一点到点的距离为，若斜率为的直线与交于、两点，且，则的方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 12．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． (1)求抛物线E的标准方程； (2)已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线与抛物线相交于M，N两点，线段的中点的横坐标为4，点T为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 8．（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（    ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 10．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的焦点为F，点，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线与C的另一个交点分别为M，N．当直线斜率不存在时， ；当直线斜率存在时， ． 11．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 12．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最小值； (3)当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $