专题02 对称图形—圆（期末复习专项训练，10大题型）九年级数学上学期苏科版

专题02 对称图形——圆 题型1 弧长与圆锥侧面积（常考点） 题型6 圆与相似结合（重点） 题型2 圆内接四边形（常考点） 题型7 切线的证明（常考点） 题型3 正多边形与圆（常考点） 题型8 动圆相切求t（难点） 题型4 圆中最值（难点） 题型9 圆中的无刻度尺作图（难点） 题型5 圆与三角函数结合（重点） 题型10 圆中的新定义（难点） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弧长与圆锥侧面积（常考点） 1．如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留） 题型二 圆内接四边形（常考点） 1．如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D、E在上，且，则 ． 题型三 正多边形与圆（常考点） 1．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 2．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 题型四 圆中最值（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 题型五 圆与三角函数结合（重点） 1．如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在圆的内接四边形中，，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为 ， ． 3．如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点． (1)求证：． (2)若，，求和半径的长． 题型六 圆与相似结合（重点） 1．如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，为过点的切线，为圆上一点，连接并延长交于点，为弧的中点，交于点．已知，，则 ， ． 3．如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足． (1)①求证： ②求证： (2)已知，求的值 题型七 切线的证明（常考点） 1．如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 2．如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 3．如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 题型八 动圆相切求t（难点） 1．如图，是的直径，，点是的中点．动点从点A出发，顺时针方向以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为，连结，作点关于直线的对称点，连结、． (1) ． (2)当、、三点共线时，求的长． (3)当是锐角三角形时，求t的取值范围． (4)当时，直接写出t的值． 2．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 3．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．    (1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______． (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？ (3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 题型九 圆中的无刻度尺作图（难点） 1．如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，点在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心． (2)在图2中，在圆上找一点，使得成立． (3)在图3中，在圆上找一点，使得，并简要说明你的依据． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，标出圆心O，再标出劣弧的中点E； (2)在图2中的线段BC上确定一点F，使得． 题型十 圆中的新定义（难点） 1．定义：有一组对角互余的凸四边形叫作对余四边形． 【理解】 （1）若四边形是对余四边形，且，则_____； 【证明】 （2）如图1，是的直径，点，，在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 【探究】 （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 2．定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”：_______； (2)求证：关于x的“经典方程”必有实数根； (3)如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 3．在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    $专题02 对称图形——圆 题型1 弧长与圆锥侧面积（常考点） 题型6 圆与相似结合（重点） 题型2 圆内接四边形（常考点） 题型7 切线的证明（常考点） 题型3 正多边形与圆（常考点） 题型8 动圆相切求t（难点） 题型4 圆中最值（难点） 题型9 圆中的无刻度尺作图（难点） 题型5 圆与三角函数结合（重点） 题型10 圆中的新定义（难点） 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 弧长与圆锥侧面积（常考点） 1．如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A．5 B．10 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为 ， ∵ 圆锥底面圆的周长为 ，且扇形弧长为 ， ∴， 解得 ． 故选B． 3．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 题型二 圆内接四边形（常考点） 1．如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，由于，则． 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 3．如图，点A、B、C、D、E在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质；连接，由圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补可得，最后由，即可得出结果. 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴. 故答案为：. 题型三 正多边形与圆（常考点） 1．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，的直角三角形的特点，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质与的直角三角形的特点可得的长，根据三角形的面积公式即可求得正八边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正八边形的面积可以看成8个全等的等腰三角形组成， ∴等腰三角形的顶角为， 设圆的半径为1， 如图为其中一个等腰三角形， 过点作交于点， ∵， ∴， 则中，， ∵， ∴， 即， ∴ 故正八边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正八边形面积近似估计的面积可得的估计值为． 故选：A． 3．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 题型四 圆中最值（难点） 1．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．根据矩形的性质，得出，根据，得出点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，得出此时最小，求出线段的最小值为即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点在上，， ∴，， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，如图所示： 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理得出，利用圆周角定理即可得出点在以为直径的圆上，则，可得，当、、三点共线时，有最小值，由勾股定理，可得，即可得线段的最小值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短． 题型五 圆与三角函数结合（重点） 1．如图，分别与圆相切于点，射线与的延长线相交于点，与圆相交于点，连接和，若，，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，由切线长定理及切线的性质得，，，进而由可设，，即得，，再证明，可得，即得到，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别与圆相切于点，是半径， ∴，，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴圆的半径为， 故选：． 2．如图，在圆的内接四边形中，，，点为四边形对角线交点，过点的切线与的延长线交于点，若，，则圆半径为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、相似三角形及解直角三角形的综合应用等，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系找到角的关系，结合三角函数和相似三角形求解． 连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，先证明，结合，得出，设，则，，利用，得，求出，即可求半径，利用平行证明，，利用，求出，即可得，利用相似的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，，设交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，得， ∴， ∵， ∴，即，即， 解得：． 故答案为：，． 3．如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点． (1)求证：． (2)若，，求和半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）由，得，，由，得，即可求证； （2）由圆周角定理得，由垂径定理得，设，由，得，，，由勾股定理得，根据，可求出的值，即可得出半径的长；证明，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ． ． （2）如图，连接， 为直径， ，． 又， ． 设与交点为， ． 设， ， ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． ， ，解得． ． ， ． ． ． ． 半径的长为． ， ． ． ． ． 题型六 圆与相似结合（重点） 1．如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到，即可得到，根据对应边成比例得到，进而解答即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， 设与圆O交于点E，连接，， 则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，为的直径，为过点的切线，为圆上一点，连接并延长交于点，为弧的中点，交于点．已知，，则 ， ． 【答案】 【分析】连接，，根据圆周角定理和切线的判定与性质可证，利用相似三角形的性质可得，即，利用勾股定理求得，；再证明，用勾股定理得，结合利用相似三角形的性质可得，，通过证明，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵为的直径，为过点的切线， ∴， ∵为弧的中点，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足． (1)①求证： ②求证： (2)已知，求的值 【答案】(1)①证明见详解，②证明见详解 (2)18 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角度的和差关系． （1）①由已知条件得出，证得，从而得到，通过同角的补角相等得出结论； ②连接，设，则，再由圆周角定理及①的结论得出，利用“”证得，从而得出； （2）先证明得出，进而得到，再由已知条件计算出圆的半径，证明得到，即，将所求的线段等量关系代入即可得出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ②如图，连接， ∵为的直径， 设，则， ∵， ∴由圆周角定理可知，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵所对的圆周角相等， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型七 切线的证明（常考点） 1．如图，点E是的内心，的延长线交于点F，交的外接圆于点D，连接，过点D作直线，使； (1)求证：直线是的切线； (2)若，，且，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形的内心等知识，解题的关键是： （1）首先根据三角形内心的性质得出，然后利用圆周角定理、垂径定理等可得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）先求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点E是的内心， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、圆周角定理及勾股定理的应用，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是直径，是的中点， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：设，则， 在中，， ，解得， ， ， ． 3．如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）解：证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 题型八 动圆相切求t（难点） 1．如图，是的直径，，点是的中点．动点从点A出发，顺时针方向以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为，连结，作点关于直线的对称点，连结、． (1) ． (2)当、、三点共线时，求的长． (3)当是锐角三角形时，求t的取值范围． (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，关键是求出． （1）由，由轴对称可知，即可求出； （2）当、、三点共线时，，套用弧长公式求的长． （3）找两个临界状态：和，求出相应的、、，最后写出当是锐角三角形时的范围． （4）过作，垂足为，放在和中利用勾股定理和方程思想求出，进而求出、、． 【详解】（1）解：是的直径，， ， 点是的中点， ， 点与点关于直线对称， ， 故答案为：2； （2）当、、三点共线时，如图： 此时， ； （3）当时， 当时，如图所示： ， ， ， 当时，如图所示： ， ， ， ， ， ， 当是锐角三角形时，求的取值范围为； 当时，在的下方，同理可到当是锐角三角形时，求的取值范围为； 综上所述：的取值范围为或； （4）当时，过作，垂足为，如图： 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，同理可求； 综上所述：的值为或． 2．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 3．如图，形如量角器的半圆的直径，形如三角板的中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．    (1)当 时，与所在的直线第一次相切，点到直线的距离为______． (2)当为何值时，直线与半圆所在的圆相切？ (3)当的一边所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积． 【答案】(1)， (2)t为4秒或16秒 (3)或 【分析】（1）由题意可知，为的直径，即，，所以，与所在的直线第一次相切，即点与点重合，也就是时；由，再根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可知； （2）此题有两种情况：第一种情况，直线与半圆相切，即过点的半径与所在的直线垂直，也就是，即点与点重合时，也就是；第二种情况，直线与半圆相切，即点运动到点的右侧时，即过点的半径与的延长线垂直，此时，也就是； （3）此题有两种情况：第一种情况是与相切时，此时重叠的部分为的四分之一，即为；第二种情况是与第二次相切时，此时的直径与的边重合，重叠部分的面积等于与扇形的和，即． 【详解】（1）解：如图，过点C作于F，   ， ， ， ， ， 当时，与所在直线第一次相切； ，， ； 故答案为：，． （2）解：如图，过作于， 同理得：，    当直线与半圆所在的圆相切时， 又圆心到的距离为，半圆的半径为， 且圆心又在直线上， 与重合，即当点运动到点时，半圆与的边相切， 此时，点运动了， 所求运动时间； 如图，当点运动到点的右侧时，且， 过作，交直线于，    在中，，则， 即与半圆所在的圆相切， 此时点运动了， 所求运动时间， 综上所述，当为秒或秒时，直线与半圆所在的圆相切； （3）解：有两种情况： ①当半圆与边相切于时，如图，重叠部分的面积；    ②当半圆与相切于时，如图，连接，   ， 与重合，与重合， ， ， ．过作于， ， ， 由勾股定理得：， ，此时重叠部分的面积； 综上所述，重叠部分的面积为或 【点睛】本题考查切线，求扇形面积，熟练掌握勾股定理的性质是解题关键． 题型九 圆中的无刻度尺作图（难点） 1．如图，在的正方形网格中，A，B，C为与网格线的交点，其中B，C为格点，用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画出圆心O，再在上画点D，使； (2)在图2中，先画的中点E，再画弦． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）取圆与格线的交点D，连接，然后作的垂直平分线交于点O，即可； （2）连接并延长交圆于，连接，，，由圆的对称性与圆周角定理可得四边形为矩形，取，与格线的交点，可得四边形，为平行四边形，连接，交于点，连接并延长交圆O于点S，则由中位线的性质可得，可得，可得是的中点，取圆与格线的交点，连接并延长交格线于，连接交于，则四边形为平行四边形，可得，则，连接，则． 【详解】（1）解：如图，点O，点D即为所求； ； 理由如下： ∵， ∴为直径， ∴弦的垂直平分线与的交点为圆心， 连接， ∴， ∴； （2）解：如图，点E即为所求． 理由如下：由作图可得：为直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴为的中点； 如图，弦即为所求， 理由如下： 由作图可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置，圆周角定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，点在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心． (2)在图2中，在圆上找一点，使得成立． (3)在图3中，在圆上找一点，使得，并简要说明你的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接，交于点，点即为圆心； （2）因为为的直径，则，则，只要过点作直径，就有； （3）作的垂直平分线，连接交直线于点，再连接并延长交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：圆心如图所示： ； （2）解：点如图所示： （3）解：点如图所示： 由作图知，直线是的一条对称轴，且点和点关于直线对称， ∴点和点关于直线对称， ∴直线， ∵直线，， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，圆周角定理，勾股定理，圆的对称性，掌握圆的基本性质是解题的关键． 3．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，标出圆心O，再标出劣弧的中点E； (2)在图2中的线段BC上确定一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图. （1）直接取点O，设中点为G，连接并延长交圆于E即可； （2）取点F，连接即可， 【详解】（1）解：直接取点O，设中点为G，连接并延长交圆于E即可 （2）取点F，连接即可， 可知是的中位线， 则. 题型十 圆中的新定义（难点） 1．定义：有一组对角互余的凸四边形叫作对余四边形． 【理解】 （1）若四边形是对余四边形，且，则_____； 【证明】 （2）如图1，是的直径，点，，在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形； 【探究】 （3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）；理由见解析． 【分析】本题考查新定义，多边形的内角和，互余，勾股定理，圆周角，等边三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，分类讨论：①当和互余时，②当与互余时，逐个分析求解即可； （2）先推导出，则，即可解答； （3）先求出，则将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，推导出是等边三角形，得到，继而证明，则，得到，即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是对余四边形， ①当和互余时， ， ∴． ②当与互余时， ， 则， ∴，不符合题意，舍去． 故答案为：． （2）证明：是的直径，点，，在上， ， 即， 四边形是对余四边形． （3）线段，和之间的数量关系为．理由如下： 在对余四边形中，， ． ， 将绕点逆时针旋转， 得到，连接，如图， ，， ，，， 是等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 2．定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”：_______； (2)求证：关于x的“经典方程”必有实数根； (3)如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过O作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”，、， ∴， ∴， ∴这个“经典方程”为或， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴， ∴关于x的“经典方程”必有实数根； （3）解：过O作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于x的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④．    （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形，动点与轨迹问题，勾股定理，圆的性质等知识点，准确找到主动点与从动点的几何关系并且构造相似从而找出从动点轨迹是解题的关键． $