数学一模突破卷08（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】B 【解析】由，即，， 又，所以. 故选：B 2．在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.【答案】A 【解析】由于， 所以在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限. 所以在复平面内，对应的点位于第一象限. 故选：A 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 3.【答案】D 【解析】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确； 对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确； 对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确； 对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误. 故选：D 4. 已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 4.【答案】D 【解析】由题可知，则， 又，所以，． 故选：D. 5.已知函数的值域为，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.【答案】A 【解析】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线， 且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值： 且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为， 故在上单调递减，且 故，这不符合范围是的子集的要求； 综上，的取值范围是． 故选：A． 6．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 6.【答案】C 【解析】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 7. 设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7.【答案】A 【解析】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A. 8. 如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8.【答案】C 【解析】由题意知，，则平面ADC，所以， 又，，所以平面ABC，将三棱锥放入对应的长方体中，如图： 易知，所以为直线AB与DC所成的角， 所以，解得. 设长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则，，， 三式相加得，所以长方体的外接球的半径为， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量 等可能取 ，则 B. 已知随机变量 ，则 C. 设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率 D. 若随机变量 的概率分布为 且 是常数，则 9.【答案】ABC 【解析】对于A，因包含四种情况，则，故A正确； 对于B，因，则,故，故B正确； 对于C，随机变量 服从两点分布，则，又， 解得，故C正确； 对于D，依题意，，解得，故D错误. 故选：ABC. 10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 10.【答案】BCD 【解析】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有个交点，A错； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，且， 故，CD都对. 故选：BCD. 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 11.【答案】ABD 【解析】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为 . 12.【答案】0.92 【解析】该选手在这个靶位上得分包括第一次命中或第一次未命中且第二次命中， 所以得分的概率为. 故答案为：0.92. 13．在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示 ；若，则的值为 . 13.【答案】 【详解】因为，所以， 所以； 设()，则， 设()，则， 又，，三点共线，则，得， 因为菱形的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理得， 解得或（舍去）．故． 故答案为：； 14. 已知各项均不为0的数列的前n项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_______. 14.【答案】 【解析】，令得， 又，代入可得， 令得，将和代入可得， 猜想，， 下证，假设，则， 故，解得，故满足要求， 两边取对数得， 将和代入，变形得， 令，， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以，， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． （1）求的值； （2）若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 15.（13分） 【解析】（1）， （2分） 由正弦定理得， （4分） ，则， 因为，所以，又，所以 （6分） （2）①由得， （8分） 由余弦定理得， 所以． （10分） ②由得 （12分） 所以 （13分） 16.（15分） 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 16.（15分） 【解析】（1）因为四边形是正方形，故,又平面平面， 且平面平面 , 所以平面，平面，故, （3分） 又为的中点，，所以, 由勾股定理可得所以， 故平面，故平面, 平面,则， （5分） 又,故， 又，平面， 故平面， 平面，故平面平面； （7分） （2）以射线分别为非负轴建立空间直角坐标系，设, 则， （8分） 由（1）知是平面一个法向量， （9分） ，设平面的法向量为， 则，令，则， （13分） 设平面和平面夹角为， 则， （14分） 故，即平面和平面夹角为， （15分） 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 17．（15分） 【详解】（1）因为左焦点为，所以， （1分） 由点在椭圆上， 代入可得， （3分） 又，与上式联立可得， 所以椭圆E的方程为： （5分） （2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为x=0，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，， 联立，可得， （7分） ， ， 则 （9分） =. 又，， （11分） 由可得，直线PQ的斜率为， 所以， 所以， （13分） 令，则，所以 代入上式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为 （15分） 18． （17分） 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 18．（17分） 【解析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， （3分） 所以． （5分） （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （9分） （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； （10分） 因补贴买品牌B的概率，； （12分） 非补贴买品牌A的概率，；（14分） 非补贴买品牌B的概率，；（15分） 则由全概率公式得 ． （17分） 19.（17分） 定义运算：，已知函数. （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：； （3）若函数存在两个极值点，证明：. 19.（17分） 【解析】（1）由题意知：，， （2分） ①当时，，单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， （3分） 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，则， （4分） 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 又，. （6分） （2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以，即， （8分） 当时，  ． ， ． （10分） （3）证明： （12分） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， （13分） ， 要证，即证， （14分） ，不妨令，故 由，得，即证， 令 在恒成立， （15分） 所以函数在上单调递减，故． 成立． （17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D D A C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0.92. 13．； 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 【解析】（1）， （2分） 由正弦定理得， （4分） ，则， 因为，所以，又，所以 （6分） （2）①由得， （8分） 由余弦定理得， 所以． （10分） ②由得 （12分） 所以 （13分） 16.（15分） 【解析】（1）因为四边形是正方形，故,又平面平面， 且平面平面 , 所以平面，平面，故, （3分） 又为的中点，，所以, 由勾股定理可得所以， 故平面，故平面, 平面,则， （5分） 又,故， 又，平面， 故平面， 平面，故平面平面； （7分） （2）以射线分别为非负轴建立空间直角坐标系，设, 则， （8分） 由（1）知是平面一个法向量， （9分） ，设平面的法向量为， 则，令，则， （13分） 设平面和平面夹角为， 则， （14分） 故，即平面和平面夹角为， （15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为左焦点为，所以， （1分） 由点在椭圆上， 代入可得， （3分） 又，与上式联立可得， 所以椭圆E的方程为： （5分） （2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为x=0，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，， 联立，可得， （7分） ， ， 则 （9分） =. 又，， （11分） 由可得，直线PQ的斜率为， 所以， 所以， （13分） 令，则，所以 代入上式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为 （15分） 18．（17分） 【解析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， （3分） 所以． （5分） （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （9分） （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； （10分） 因补贴买品牌B的概率，； （12分） 非补贴买品牌A的概率，；（14分） 非补贴买品牌B的概率，；（15分） 则由全概率公式得 ． （17分） 19.（17分） 【解析】（1）由题意知：，， （2分） ①当时，，单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， （3分） 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，则， （4分） 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 又，. （6分） （2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以，即， （8分） 当时，  ． ， ． （10分） （3）证明： （12分） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， （13分） ， 要证，即证， （14分） ，不妨令，故 由，得，即证， 令 在恒成立， （15分） 所以函数在上单调递减，故． 成立． （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 4. 已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 5.已知函数的值域为，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 7. 设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量 等可能取 ，则 B. 已知随机变量 ，则 C. 设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率 D. 若随机变量 的概率分布为 且 是常数，则 10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为 . 13．在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示 ；若，则的值为 . 14. 已知各项均不为0的数列的前n项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． （1）求的值； （2）若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 16.（15分） 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 18． （17分） 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 19.（17分） 定义运算：，已知函数. （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：； （3）若函数存在两个极值点，证明：. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8 B. 分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大 C. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则 D. 两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好 4. 已知一容器中有两种菌，为菌的个数，为菌的个数，且在任何时刻两种菌的个数均满足．若分别用和来表示菌、菌个数的指标，则当时，（ ） A. B. C. D. 5.已知函数的值域为，实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 7. 设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量 等可能取 ，则 B. 已知随机变量 ，则 C. 设随机变量 服从两点分布，若 ，则成功概率 D. 若随机变量 的概率分布为 且 是常数，则 10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在双向飞碟比赛中，运动员在一个靶位上对一个飞碟最多可以进行两次射击，如果第一次命中，直接得分；若第一次未命中则进行第二次射击，命中也得分.已知某选手在某个靶位上第一次射击命中的概率为0.8，第二次射击命中的概率为0.6，则该选手在这个靶位上得分的概率为 . 13．在边长为1的菱形中，，记，，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，三点共线.若，则用，表示 ；若，则的值为 . 14. 已知各项均不为0的数列的前n项和为，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． （1）求的值； （2）若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 16.（15分） 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面.为的中点，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 18． （17分） 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. （1）从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. （2）已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. （3）该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 19.（17分） 定义运算：，已知函数. （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：； （3）若函数存在两个极值点，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $