7.1相交线（分层作业）数学新教材人教版七年级下册

7.1 相交线 知识点一 对顶角的定义 1．(24-25七下·重庆长寿实验中学校·月考)下列各图中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的特点，有公共顶点，两边互为反向延长线，进行判断即可． 【详解】解：A、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； B、与是对顶角，该选项符合题意； C、有公共顶点，两边不是互为反向延长线，与不是对顶角，该选项不符合题意； D、没有公共顶点，与不是对顶角，该选项不符合题意； 故选：B． 2．(25-26七下·广西南宁天桃实验学校·)下列图形中，和是对顶角的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键． 根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 【详解】解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意． 故选：A． 3．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族榕江县乐里中学·月考)下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义． 利用对顶角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与没有公共顶点，不满足对顶角的定义，不符合题意； B. 该选项与的两边不是互为反向延长线，不满足对顶角的定义，不符合题意； C. 该选项与满足对顶角的定义，符合题意； D. 该选项与的两边不是互为反向延长线，不满足对顶角的定义，不符合题意； 故选：C． 4．(24-25七下·天津滨海新区经济技术开发区国际学校·月考)下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，解题的关键是正确理解对顶角的定义； 根据对顶角的定义：如果两个角由公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 知识点二 对顶角相等 1．(23-24七下·河北唐山十二中·期中)课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握补角的性质是解题的关键． 根据同角的补角相等判断即可． 【详解】解：因为， ， 所以．（依据：同角的补角相等）， 故选：C． 2．(25-26七下·黑龙江佳木斯桦川县·)如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得出，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 3．(24-25七下·第一次阶段性测试数学试卷（范围：第七、八章）·)如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算．根据对顶角的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点，， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 4．(24-25七下·湖南长沙雅礼雨花中学·期末)如图是一把剪刀，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了初中数学中对顶角相等及邻补角性质的知识点，解题的关键在于理解并运用对顶角相等的原理计算出与各为，进而依据邻补角之和为的性质推导出 ．本题可先根据对顶角相等求出与的度数，再利用邻补角的性质求出的度数  ． 【详解】解：，， ， ． 故选 ：D． 知识点三 邻补角的定义 1．(2025九·河南省周口市·二模)将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 【答案】A 【分析】本题考查角度关系，涉及对顶角、邻补角等知识，根据题意，数形结合，逐项分析角度变化即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 与是对顶角，即；与是对顶角，即；， A、若增大，则减少，故A正确，符合题意； B、若增大，则增大，故B错误，不符合题意； C、若增大，则减少，故C错误，不符合题意； D、若增大，则减少，故D错误，不符合题意； 故选：A． 2．(24-25七下·北京第十五中学·期中)如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角，据此求解即可． 【详解】的邻补角是． 故选：D． 知识点四 邻补角求角度 1．(25-26七下·河北唐山迁安·期中)如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，余角和补角，先由邻补角的性质求出，再由角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：D． 2．(25-26七下·6.3.2角的比较与运算七年级数学上册（人教2024）·)如图，O是直线AB上一点，，OD是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，邻补角定义问题，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：O是直线AB上一点， 又是的平分线 故选：． 3．(24-25七下·湖北武汉·模拟)如图，A、O、B在一条直线上，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，掌握邻补角的性质是解题的关键．根据角平分线的定义可得的度数，再根据邻补角的定义即可求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．(24-25七下·陕西安康镇坪县牛头店镇九年制学校·期末)如图，已知直线，相交于点，平分．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，根据角平分线的定义可得，根据邻补角互补，即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选C． 知识点五 垂线的定义 1．(24-25七下··广东中山纪念中学·月考)如图，，不测量，比较和（    ） A．大 B．大 C．相等 D．大小不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义以及同角的余角相等，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 利用垂直的定义得到角的和为，再通过同角的余角相等来比较和． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：C． 2．(22-23七下·宁夏石嘴山第九中学·期中)如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 3．(24-25七下·河南开封祥符区·期末)如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键． 根据垂直定义求出，进而利用对顶角相等求出的度数，再根据角的差得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故选：B． 4．(23-24七下··上海虹口区·期末)以下说法正确的有（   ） ①有理数包括正有理数和负有理数；②同角（或等角）的余角相等；③两点之间，直线最短；④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，余角，线段的性质，垂线的应用，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：有理数包括正有理数，负有理数和0，故①说法错误； 同角（或等角）的余角相等；故②说法正确； 两点之间，线段最短；故③说法错误； “铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直；故④说法正确； 故选B． 知识点六 画垂线 1．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族从江县洛香镇初级中学·月考)下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 2．(24-25七下·广西防城港上思县·期中)过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．(2025九·吉林省长春市·模拟)利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A．B．C．D 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 4．(24-25七下·山西朔州怀仁·期中)如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 5．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． 6．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度； （2）根据题意画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到． 【详解】（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度； （2）解：如图所示； （3）解：，理由：垂线段最短． 7．(21-22七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·)如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 【答案】图见解析，理由：垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．按照“一落”、“二移”、“三画”过点作于点，则即为所求．理由是：垂线段最短，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为所求． 理由是：垂线段最短． 8．(24-25七下·新疆巴州焉耆县第二中学·月考)如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 知识点七 三线八角 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·月考)下列图形中，和不是同位角的是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25七下·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期末)如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 4．(22-23七下·河北秦皇岛海港区·期中)如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一分析每个选项．本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】解：同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角，∠1与∠C符合同位角的定义，故选项A正确，不符合题意． 内错角是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角，∠2与∠C不满足内错角的定义，故选项B错误，符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠B符合同旁内角的定义，故选项C正确，不符合题意． 同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角，∠3与∠C符合同旁内角的定义，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 5．如图，图中有 对同位角；有 对同旁内角；有 对内错角． 【答案】 8 4 5 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角，熟练掌握同位角，内错角和同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：同位角一共8对，分别是和，和，和，和，和，和，和，和； 同旁内角一共4对，分别是和，和，和，和； 内错角一共5对，分别是和，和，和，和，和． 故答案为：8；4；5． 知识点一 垂线段最短 1．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 2．(24-25七下·湖北咸宁崇阳县·期末)跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 3．（七上·河南洛阳伊川县·期末)设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 4．(24-25七下·河北石家庄北联邦外国语学校·月考)在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 5．(24-25七下·山东青岛第五十一中学·期中)如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 知识点二 点到直线的距离 1．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 2．(24-25七下·贵州遵义第九中学·期中)如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 4．(七下·广东佛山顺德区龙江镇·)如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 6．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 7．(24-25七下··江苏镇江丹阳·模拟)如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 8．(24-25七下·湖南岳阳华容县·期末)已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 9．(23-24七·人教版·期末)在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 10．(24-25七下·甘肃古浪县泗水初级中学·月考)如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 11．(七·河北石家庄复兴中学·期末)如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 12．(20-21七下·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义，掌握其定义，数形结合分析是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与不是内错角，不是同旁内角，也不是同位角，原判断错误； ④与是内错角，不是同位角，原判断错误； ⑤和是对顶角，不是邻补角，原判断错误； 综上分析可知：判断正确的是①②． 故答案为：①②． 13．(七下·河北沧州孟村县·期中)如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离． （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短； （3）解：∵，平分， ∴， ∴． 14．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用垂线的定义，平行线的性质进行画图即可； （2）根据平行线之间的距离相等，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1） 解： （2）解：连接， 由题意可知，， 故， 即， ， 故答案为：． 15．(24-25七下·河南焦作山阳区焦作城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学·月考)如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；线段的长度； (4)；垂线段最短． 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行线及垂线的作法是解答此题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （4）根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：∵， ∴线段的长度是点H到直线的距离； ∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故答案为：的长度； （4）解：∵， ∴． 又， ∴线段，，中，最短的是，判断依据是垂线段最短 故答案为：，垂线段最短． 16．(24-25八下·陕西西安长安区部分学校·)6．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 1．(20-21七下·北京海淀区北京交通大学附属中学第二分校·期末)如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线均在直线的上方，（），平分与互余． (1)若，则 ； (2)当在内部时， ①若，请在图2中补全图形，求的度数； ②判断射线是否平分，并说明理由； (3)若，请直接写出α的值． 【答案】(1)10； (2)①图见解析，；②平分，理由见解析； (3)或 【分析】（1）根据，，得，根据，得； （2）①根据与互余，得，根据平分，得，得∠； ②根据，得，即得平分； （3）当点F在上方时，证明，根据 ， ，得，得；当点F在下方时，根据，得，得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10． （2）解：① ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴； ∴； ∴平分； （3）解：当点F在上方时， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了角的运算．熟练掌握余角和补角定义，角度的和差倍分计算，角平分线的定义有关计算，平角性质，分类讨论，是解题关键． 2．(23-24七下·广西河池巴马瑶族自治县·期中)如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 相交线 知识点一 对顶角的定义 1．(24-25七下·重庆长寿实验中学校·月考)下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26七下·广西南宁天桃实验学校·)下列图形中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族榕江县乐里中学·月考)下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·天津滨海新区经济技术开发区国际学校·月考)下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 对顶角相等 1．(23-24七下·河北唐山十二中·期中)课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 2．(25-26七上·黑龙江佳木斯桦川县·)如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·第一次阶段性测试数学试卷（范围：第七、八章）·)如图，直线与相交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·湖南长沙雅礼雨花中学·期末)如图是一把剪刀，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点三 邻补角的定义 1．(2025九·河南省周口市·二模)将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 2．(24-25七下·北京第十五中学·期中)如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 知识点四 邻补角求角度 1．(25-26七下·河北唐山迁安·期中)如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26七下·6.3.2角的比较与运算七年级数学上册（人教2024）·)如图，O是直线AB上一点，，OD是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·湖北武汉·模拟)如图，A、O、B在一条直线上，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·陕西安康镇坪县牛头店镇九年制学校·期末)如图，已知直线，相交于点，平分．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 知识点五 垂线的定义 1．(24-25七下·广东中山纪念中学·月考)如图，，不测量，比较和（    ） A．大 B．大 C．相等 D．大小不能确定 2．(22-23七下·宁夏石嘴山第九中学·期中)如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·河南开封祥符区·期末)如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．(23-24七下·上海虹口区·期末)以下说法正确的有（   ） ①有理数包括正有理数和负有理数；②同角（或等角）的余角相等；③两点之间，直线最短；④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 知识点六 画垂线 1．(24-25七下·贵州黔东南苗族侗族从江县洛香镇初级中学·月考)下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A．B．C． D． 2．(24-25七下·广西防城港上思县·期中)过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A．B．C．D． 3．(2025九·吉林省长春市·模拟)利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D 4．(24-25七下·山西朔州怀仁·期中)如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． B． C． D． 5．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 6．如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 7．(21-22七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·)如图，要修一条公路将村庄与公路连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出图形，并说明理由． 8．(24-25七下·新疆巴州焉耆县第二中学·月考)如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 知识点七 三线八角 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·月考)下列图形中，和不是同位角的是（  ） A．B．C． D． 2．如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．(24-25七下·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期末)如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 4．(22-23七下·河北秦皇岛海港区·期中)如图所示，下列说法错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 5．如图，图中有 对同位角；有 对同旁内角；有 对内错角． 知识点一 垂线段最短 1．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．(24-25七下·湖北咸宁崇阳县·期末)跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 3．(七上·河南洛阳伊川县·期末)设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 4．(24-25七下·河北石家庄北联邦外国语学校·月考)在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A．B．C． D． 5．(24-25七下·山东青岛第五十一中学·期中)如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 知识点二 点到直线的距离 1．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25七下·贵州遵义第九中学·期中)如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 3．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．    4．(七下·广东佛山顺德区龙江镇·)如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 6．(24-25七下·河北廊坊三河润德学校·月考)点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 7．(24-25七下··江苏镇江丹阳·模拟)如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 8．(24-25七下·湖南岳阳华容县·期末)已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 9．(23-24七·人教版·期末)在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 10．(24-25七下·甘肃古浪县泗水初级中学·月考)如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 11．(七·河北石家庄复兴中学·期末)如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 12．(20-21七下·新疆克孜勒苏柯尔克孜·期中)如图，有下列判断：①和是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是邻补角．其中正确的是 ． 13．(七下·河北沧州孟村县·期中)如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 14．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2) 在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 15．(24-25七下·河南焦作山阳区焦作城乡一体化示范区宁郭镇张庄初级中学·月考)如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 16．(24-25八下·陕西西安长安区部分学校·)6．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 1．(20-21七下·北京海淀区北京交通大学附属中学第二分校·期末)如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线均在直线的上方，（），平分与互余． (1)若，则 ； (2)当在内部时， ①若，请在图2中补全图形，求的度数； ②判断射线是否平分，并说明理由； (3)若，请直接写出α的值． 2．(23-24七下·广西河池巴马瑶族自治县·期中)如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $