学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（广州专用，人教版九年级第21～27章）

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1 2 5 6 8 9 10 B D A C A B C D C B 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11.1 12.②①③④ 13.27 4- 15.②④ 16.2≤m≤14 三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.【详解】解：原方程移项可得x(x-5)-x-5)=0, x-5)(x-1=0, 2分 x-5=0或x-1=0, 1=1,x2=5. 4分 18.【详解】(1)解：如图所示，△A,B,C、△A,B,C2即为所求； 2分 5-4-3-21QB12.345 (2)解：连接AA、CC2,AA,和CC,的交点即为旋转中心G,坐标为1.5,3). 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 5 C B、G, 3 4分 -5-4-3-21QB123.45 L-1--2 =4 19.【详解】解：过点E作HG∥BD,HG交AB于点G,交CD于点H,如图， D :CD⊥BD,EF⊥BD,AB⊥BD, DH=EF=GB=0.5米，EH=DF=2米，EG=FB, CH=CD-DH=1.7-0.5=1.2(米)， AG=AB-BG=4.1-0.5=3.6(米)， 3分 根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG, .△CHEAAGE, EH CH 21.2 EGAG'即 36,解得EG=6(米)， .BF=EG=6米， “.石碑与实验楼之间的距离为6米. 6分 20.【详解】(1)解：代入点A(1,4)到y=,得k=1×4=4, 4 .以=) …1分 4上 :点B在y= ∴-2m=4, m=-2, 代入点A1,4),B(-2,-2)到2=ax+b,得 4=a+b, -2=-2a+b, 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a=2, 解得b=2, y2=2x+2; 4分 (2)解：△ABC如图所示， :点C与点A关于y轴对称， .C(-1,4,CA平行于x轴， CA=1--1=2,h=4--2=6, 1 :S.c ×6×2=6. 6分 21.【详解】(1)解：a=1966÷2000=0.983, 由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.98附近波动，所以任意抽取 的一顶是合格品的概率估计值是0.98， 故答案为：0.983,0.98； 2分 (2)解：0.98×50000=49000， 答：估计这批头盔中合格品的有49000顶头盔。…4分 (3)解：如图，画出树状图 开始 白 6分 白 蓝 红蓝红 白 根据树状图可知，共有6种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 21 ·刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率= 63 …8分 22.【详解】(1)解：根据题意得：篱笆总长28m,AB的长为xm,则BC=28-x)m, 又边长为正数，故x>0且28-x>0, .0<x<28: 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故答案为：（28-x);0<x<28; …2分 (2)解：设AB的长为xm,则BC=(28-x)m,根据题意得： x28-x=192, 整理得x2-28x+192=0, 解得x=12或x=16, 当X为12m或16m时，劳动基地ABCD的面积为192m2;.5分 (3)解：设AB=xm,则BC=(28-xm,矩形ABCD的面积为Sm2,根据题意得： x≥8 28-x≥12 解得8≤x≤16， .=x28-x）=-X2+28x=-(x-14）+196,.7分 -1<0,8≤x≤16， 当x=14时，S有最大值，最大值为196m, 当x=8时，S有最小值，最小值为160m2, 故答案为：196；160. 10分 23.【详解】(1)证明：连接BE,如图所示： E CD=CD' D :ZDAC ZDBC :点E是ABC的内心， .BE平分∠ABC,AE平分∠BAC, CBE=LABE=LABC，∠BAE=ZCAE=7∠BAC, 21 :∠DAC=LDBC, .∠BAE=∠DBC, 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠BED是△ABE的一个外角， .∠BED=∠ABE+∠BAE, LDBE=∠DBC+LCBE, .∠DBE=∠DEB, .DE DB; 5分 (2)解：连接CE,如图所示： B D 由(1)知∠DAC=LCBD=32°， ·LBAC=2LCAD=2×32°=64°， 在ABC中，由三角形内角和定理可得LABC+∠ACB=180°-64°=116°，…8分 :点E是ABC的内心， .BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, 2C8E=248E-48c,∠BCE=∠ACE-=4CB, 在△BCE中，∠BEC=180°-∠CBE-LBCE -18wr-4ac-4c8 C+LAC) S180°-7x116⊙ =122°. … 10分 24.【详解】(1)解：当a=1时，则有二次函数解析式为y=x2+bx+c, 9+3b+c=-1 由条件可得 c=-4 b=-2 解得： c=-4' 2分 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 二次函数y=x2-2x-4=(x-1)2-5, 函数图象的顶点坐标为l,-5);.3分 (2)证明：若a=-2,则二次函数y2x2bxc, 抛物线开口向下， :函数图象与x轴有两个交点(x,0,x0),，且x1<-1<x2, .当x=-1时，y=-2×(-1)2-b+c>0, ∴.-2-b+c>0, .C>b+2;.5分 (3)解：：当x≤1时，y≥m+1;当x>1时，y≥m, ·抛物线开口向上， 0>0，… .6分 ①咖如图、若对称维右宜线=1左侧时，即一名1 x=1 :当x≤1时，y≥m+1;当x>1时，y≥m, 当= b -,y取最小值m+1, :m+1>m, 此时不符合题意： 9分 ②如图，若对称轴在直线x=1右侧时， 当x=时，y=a+b+c三m+,当名，P取最小值m) 6/8 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :函数图象经过点(3，m), b =3,9a+3b+c=m, 2a a+b+c-1=9a+3b+c,即8a+2b=-1,b=-6a, 1 解得：a= 4 …12分 25.【详解】(1)解：如图2，延长DG交BE于M,交AB于N, D G M 图2 :四边形ABCD、四边形EFGA为正方形， ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠GAE=90°， .∠BAE=∠DAG, .△DAG≌△BAE(SAS), BE=DG,∠ADG=∠ABE, :∠AND=∠BNM, ∴.∠BMN=∠NAD=90°， BE⊥DG, 故答案是：BE=DG,BE⊥DG; 4分 (2)解：BE、2 =。,BELDG,理由如下： DG 3 如图3，设BE与DG交于Q,BE与AG交于点P, E B 图3 :四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， .∠EAG=∠BAD=90°， 7/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠EAB=∠GAD, AE=AB 2 AG AD3' ∴.△EABn△GAD, 7分 BE AB 2 ,∠BEA=∠AGD, DG AD 3 :∠APE=∠GPQ, .∠EAP=∠GQP=90°， BE 1DG线9分 (3)解：如图3，连接GE,BD, E PAA 图3 AE AB 2 AGAD=3'AE=2,AB=5, 4G=3,AD=15 EG2=AE2+AG=2+32=13,BD2=AD2+AB2= 5） 2 +52325 4 由(2)知∠GQP=90°， :.∠GQP=∠EQD=∠BQD=∠BQG=90°， DE+BG=D02+QE2+0G2+0B2=EG2+BD2=13+325_377. 44 12分 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第21~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．密度计浸在液体中的深度是液体的密度的反比例函数，图象如图所示．下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 7．关于x的一元二次方程中，，则该方程根的情况正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个负实数根 C．两根之和为 D．两根之积为6 8．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 12．以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 13．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积 ． 14．如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 15．已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 16．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）解方程：． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 19．（6分）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 20．（6分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 21．（8分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 (1)求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； (2)如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ (3)这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 22．（10分）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 23．（10分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 24．（12分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 25．（12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为_____，位置关系为_____；（直接写出答案） (2)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图3，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，小组发现：在旋转过程中，的值是正值，请求出这个定值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1【/1 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 9 [A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) 5-43-2-1912345x 19.(6分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) B 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B 力0 A 23.(10分) E C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) D D E G A B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/] 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C]D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 1O[A][B][C[D] 3[A[B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12 13. 14 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(4分) 54321912345 5 19.(6分) A E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) B 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) B p A 77777777777777 23.(10分) E B C D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A D G D A G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第21~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．密度计浸在液体中的深度是液体的密度的反比例函数，图象如图所示．下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 7．关于x的一元二次方程中，，则该方程根的情况正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个负实数根 C．两根之和为 D．两根之积为6 8．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 12．以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 13．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积 ． 14．如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 15．已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 16．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）解方程：． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 19．（6分）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 20．（6分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 21．（8分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 (1)求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； (2)如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ (3)这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 22．（10分）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 23．（10分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 24．（12分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 25．（12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为_____，位置关系为_____；（直接写出答案） (2)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图3，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，小组发现：在旋转过程中，的值是正值，请求出这个定值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第21~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．以下软件的是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它是中心对称图形； C、它不是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：B． 2．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：将函数解析式化为顶点式，得， 将函数向右平移1个单位，向上平移2个单位，得到新抛物线为． 故选：D． 3．一元二次方程配方变形为，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：依题意，， ∴展开得， 即， ∵配方后的方程为， ∴得， 故选：A． 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，． ． ． ，，， ． 故选：A． 6．密度计浸在液体中的深度是液体的密度的反比例函数，图象如图所示．下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，． 下列判断正确的是（    ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】B 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． 关于的函数解析式为． 结论一． 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该结论不正确， 结论二．当，，故当浸在液体中的高度时，液体的密度，故结论二正确， 故选：B． 7．关于x的一元二次方程中，，则该方程根的情况正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个负实数根 C．两根之和为 D．两根之积为6 【答案】C 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ 判别式， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A错误． 设两根为， 则，， ， ， ∴ C 正确，D 错误． ∵ ， ∴ 两根符号相反，不可能均为负，故 B 错误． 故选： C． 8．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 9．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】 【详解】∵等边的边长为6 ∴， ∴ ∵ ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 10．我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．已知函数是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线对称；②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有三个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 【详解】解：由图象可知，函数图象与x轴交于和两点， ∴图象关于直线对称， 故①正确； 由图象可知，关于x的不等式的解是且， 故②不正确； 将代入，得， ∴当时，函数的图象与直线有四个交点，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线没有交点， ∴当时，关于x的方程有四个实数解，当时，关于x的方程有两个实数解，当时，关于x的方程没有实数解， 故③不正确； 由图象可知，当时，函数的y值随x值的增大而减小； 当时，函数的y值随x值的增大而增大；当时，函数的y值随x值的增大而减小；当时，函数的y值随x值的增大而增大； 故④正确． ∴正确的有①④共2个． 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， 故答案为：． 12．以下四个事件中，摸球一次，摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是 .（这些球除颜色外都相同） ① 8个白球，2个红球，3个黑球；② 3个蓝球，9个白球，1个红球 ③ 6个白球，4个蓝球，3个红球；④ 2个黑球，4个红球，7个白球 【答案】②①③ ④ 【详解】解：①一共13个球，其中2个红球，摸到红球的可能性为； ②一共13个球，其中1个红球，摸到红球的可能性为； ③一共13个球，其中3个红球，摸到红球的可能性为； ④一共13个球，其中4个红球，摸到红球的可能性为； ， 因此摸到红球的可能性从小到大的排列顺序是②①③④， 故答案为：②①③④． 13．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于3，则的面积 ． 【答案】27 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于3， ∴的面积为27． 故答案为：27． 14．如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、： 由半径为，得， 已知． ∵， ∴是直角三角形，． 扇形的面积：； 的面积：； 阴影面积=扇形面积-三角形面积：． 故答案为． 15．已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 【答案】/④② 【详解】解：对于结论①：当时，，故该函数图象不过点，结论①不正确。 对于结论②：当时，函数为，所以，故该函数与x轴有两个不同的交点，结论②正确； 对于结论③：当时，二次函数开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，所以，解得，故结论③不正确； 对于结论④：当时，二次函数开口向上，当时，；当时，，故函数与x轴负半轴交点满足，结论④正确； 综上，正确结论为②④； 故答案为②④． 16．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 【详解】如图所示，设直线和双曲线的图象交于点A， 直线和直线的图象交于点B，过点A作轴，过点B作轴交于点C， ∵直线和直线垂直 ∴根据题意得，如图所示，当直线在双曲线下面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连” 由图象得，是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ 联立得， 解得或 ∴ ∴ ∴将代入直线得， 解得； 如图所示，当直线在双曲线上面时， 当时，直线与双曲线恰好有且只有3个点的“正相连”， 同理可得， ∴将代入直线得， 解得； ∴m的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（4分）解方程：． 【详解】解：原方程移项可得， ∴， 2分 ∴或， ∴． 4分 18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，若的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (2)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； 2分 （2）解：连接、，和的交点即为旋转中心，坐标为． 4分 19．（6分）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 3分 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 6分 20．（6分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 【详解】（1）解：代入点到，得， ∴， 1分 ∵点B在上， ∴， ∴， 代入点，到，得 解得 ∴； 4分 （2）解：如图所示， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴，平行于x轴， ∴，， ∴． 6分 21．（8分）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 (1)求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； (2)如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ (3)这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【详解】（1）解：， 由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是， 故答案为：； 2分 （2）解：， 答：估计这批头盔中合格品的有49000顶头盔． 4分 （3）解：如图，画出树状图 6分 根据树状图可知，共有6种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 8分 22．（10分）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【详解】（1）解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；； 2分 （2）解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为； 5分 （3）解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， 7分 ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160． 10分 23．（10分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， 2分 ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； 5分 （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 8分 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 10分 24．（12分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， 2分 ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； 3分 （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴； 5分 （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， 6分 ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； 9分 ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：． 12分 25．（12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为_____，位置关系为_____；（直接写出答案） (2)把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，将矩形绕点按顺时针方向旋转至如图3，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，小组发现：在旋转过程中，的值是正值，请求出这个定值． 【详解】（1）解：如图2，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； 4分 （2）解：，，理由如下： 如图3，设与交于，与交于点， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 7分 ∴，， ∵， ∴， ∴； 9分 （3）解：如图3，连接，， ∵，，， ∴，， ∴，， 由（2）知， ∴， ∴． 12分 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $