专题11 高一数学上学期期末考点综合（权方和柯西、糖水、对勾飘带复合抽象等12大题型100题）（期末专项训练）高一数学上学期人教A版

专题11 高一数学上学期期末微考点综合 （权方和、柯西、糖水、对勾飘带复合抽象镶嵌最大最小函数、同构、对偶、三角函数求参、辅助角） 题型1 权方和不等式（重点） 题型7 镶嵌函数（重难点） 题型2 柯西不等式（重点） 题型8 最大最小函数（难点） 题型3 糖水不等式（重点） 题型9 同构（重难点） 题型4对勾函数与飘带函数（重点） 题型10 对偶（难点） 题型5 复合函数（重难点） 题型11 三角函数求参（重难点） 题型6 抽象函数（重难点） 题型12 辅助角（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 权方和不等式（共12小题） 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 3．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．设函数，正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 5．若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 7．求的最大值为 8．已知正数，，满足，则的最小值为 9．已知，求的最小值为 10．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 11．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 12．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 题型二 柯西不等式（共8小题） 13．设实数，，，满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．已知是正数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 15．已知、、，且，，则的最小值为. A． B． C．36 D．45 16．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 17．已知，则的最小值为 ． 18．已知，则的取值范围是 ． 19．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ． 20．已知x，y，z满足，则的最小值为 . 题型三 糖水不等式（共6小题） 21．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 22．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 23．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 24．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 25．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 26．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 题型四 对勾函数与飘带函数（共8小题） 27．（多选）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.则对于函数下列说法正确的有（    ） A．函数是上的增函数 B．当时， C．函数与轴只有两个交点 D．函数的所有零点最大的为 28．（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（    ） A．方程有唯一根 B．函数在区间单调递增 C．函数在区间的值域为 D．方程有两个不同的根 29．若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 30．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 31．已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为 ． 32．形如的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 33．阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数． 阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 34．函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． (1)当时，计算的值； (2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型五 复合函数（共10小题） 35．（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 36．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 37．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 38．函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．函数的单调递增区间是（　  ） A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2） 40．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 41．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．函数在区间的最大值为 . 43．已知函数，有以下结论： ①函数在单调递减； ②函数在单调递减； ③函数的值域为； ④函数有对称轴x＝1； ⑤函数有对称中心 以上结论正确的是（只填序号即可） ． 44．关于函数有以下4个结论： ①定义域为； ②递增区间为； ③是非奇非偶函数； ④值域是. 则正确的结论是 （填序号即可）. 题型六 抽象函数（共16小题） 单选题 45．已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 46．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 47．已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（   ） A．的值不确定 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 48．已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 49．已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为上的减函数 D．若则的取值范围为 50．函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 51．已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 多选题 52．已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 53．设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（    ） A． B．在上单调递减 C． D． 54．已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D． 55．已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，.则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D．的值域为 56．已知函数的定义域为，且，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D． 57．已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 58．设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为非零函数，则为奇函数 C．若，则 D．若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 59．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．函数恰有3个零点 D． 60．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（   ） A． B． C．在上的最大值是2 D．不等式的解集为 题型七 镶嵌函数（共10小题） 61．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 62．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 64．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66．（多选）嵌套调用是计算机编程中实现循环迭代的重要结构，其中三角嵌套函数应用广泛．已知两个三角嵌套函数与，则（    ） A．，的值域均为 B．，都是偶函数 C．时，恒成立 D．，都是周期为的周期函数 67．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 68．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则下列关于的说法中正确的为 ．(填序号) ①；②为单调增函数；③为奇函数；④. 69．已知，若关于的方程有5个不同的解，则的取值范围为 . 70．已知函数是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式为 ，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 题型八 最大最小函数（共8小题） 71．记，设，则函数的最小值是（   ） A．0 B． C．1 D．2 72．定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 73．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ） A．方程有三个根 B．的单调减区间为和 C．的最大值为 D．的最小值为 74．定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 75．已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为 ． 76．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 题型九 同构（共6小题） 77．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 78．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则 ， . 79．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（    ） A．6 B．8 C． D． 80．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ． 81．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 82．阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？ 解析：， 有， 得， 设函数，则在上单调递增， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 阅读参考以上材料，解答下列问题： (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)已知，求的值. 题型十 对偶（共4小题） 83．（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 84．已知（），则（    ） A． B． C． D． 85．求值：. 86．如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，那么 . 题型十一 三角函数求参（共11小题） 87．已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 88．已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 89．已知函数（）的图象在区间上恰有一个最高点和一个最低点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 90．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 91．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 92．设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 函数在区间上恰有4个零点， 93．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 94．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 95．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 96．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 97．已知函数，若在区间上不存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十二 辅助角（共3小题） 98．函数取得最大值时的值是 . 99．当时，函数取得最大值，则 . 100．已知，若，则的最大值为 ． $专题11 高一数学上学期期末微考点综合 （权方和、柯西、糖水、对勾飘带复合抽象镶嵌最大最小函数、同构、对偶、三角函数求参、辅助角） 题型1 权方和不等式（重点） 题型7 镶嵌函数（重难点） 题型2 柯西不等式（重点） 题型8 最大最小函数（难点） 题型3 糖水不等式（重点） 题型9 同构（重难点） 题型4对勾函数与飘带函数（重点） 题型10 对偶（难点） 题型5 复合函数（重难点） 题型11 三角函数求参（重难点） 题型6 抽象函数（重难点） 题型12 辅助角（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 权方和不等式（共12小题） 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 3．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可. 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 4．设函数，正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，则，整理得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：B 5．若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 6．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】根据定义，构造出分母和为定值，根据指数构成分子，利用公式求得最小值. 【详解】， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：8 7．求的最大值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 8．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 9．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 10．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 11．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 12．权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)36 (3). 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 题型二 柯西不等式（共8小题） 13．设实数，，，满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意直接利用柯西不等式求解即可. 【详解】因为实数，，，满足，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 14．已知是正数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据变形可得，进而得，结合不等式即可求解. 【详解】由题意可得，，变形得， 则． 所以 ． 当且仅当时，即，即时，取等号．又， 所以当，时，达到最小值， 故选:C． 15．已知、、，且，，则的最小值为. A． B． C．36 D．45 【答案】C 【详解】由， . 知. 当时，取得最小值36. 故答案为C 16．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 17．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将原式变形，利用柯西不等式即可得出结果． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 故答案为：． 18．已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据柯西不等式可得，即可得，根据不等式性质结合两点间距离公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当，，时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：所求的取值范围是． 故答案为：. 19．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解. 【详解】由题意可知， ，当且仅当时取“”号． 所以原式的最小值为． 故答案为：. 20．已知x，y，z满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为, 即, 所以最小值为，当且仅当时取等号. 故答案为：. 题型三 糖水不等式（共6小题） 21．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 22．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 23．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B． C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BD 【分析】根据糖水不等式逐项判断即可. 【详解】A，由糖水不等式得：，时，，故A错误. B，，故B正确. C，，故C错误. D，，故D正确. 故选：BD 24．若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【答案】< 【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故答案为： 25．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 26．（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【答案】（1）的范围为，的范围为； （2） (i)，证明见解析；(ii） 【分析】结合不等式的性质即可求解； 利用作差法即可判断；结合的结论即可求解． 【详解】因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i）， 证明：， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得， 即 题型四 对勾函数与飘带函数（共8小题） 27．（多选）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.则对于函数下列说法正确的有（    ） A．函数是上的增函数 B．当时， C．函数与轴只有两个交点 D．函数的所有零点最大的为 【答案】BCD 【分析】分类讨论，由函数的单调性求解参数的值，将函数的零点问题和函数与轴的交点个数转化为方程的根的问题求解，逐一判断各选项即可. 【详解】飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1. 对于A，B，当时，是上的增函数， 所以，解得； 当时，是上的减函数， 所以，解得；故A错误，B正确； 对于C，令，即，则， 因为，所以，函数与轴有两个交点，故C正确； 对于D，由上可知，当时，函数零点为. 当时，函数零点为，故函数的所有零点最大的为，故D正确； 故选：BCD. 28．（多选）函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（    ） A．方程有唯一根 B．函数在区间单调递增 C．函数在区间的值域为 D．方程有两个不同的根 【答案】ABD 【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 29．若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 故答案为： 30．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】或/或 【分析】分，和三种情况，分别求函数在上的最大值和最小值，从而可求出的值. 【详解】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，，解得； ②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或. 当时，， 解得或(舍去)，则，经验证，符合题意. 当时，， 解得或，即(舍去)或(舍去). 综上，的值为或. 故答案为：或. 31．已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，∴实数的取值范围为，故答案为. 点睛：本题主要考查函数单调性的定义，能够根据的单调性得出函数的单调增区间，理解在整数集合内为增函数的含义是正确解题的关键，最容易忽视定义域为点集，而错把临界位置和1比较，即错表达为，得到错误结果. 32．形如的函数被我们称为“对勾函数”.具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】1 【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可. 【详解】,为奇函数， 且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时， 在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时, 在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1. 【点睛】方法点睛：根据已知给出的性质，先证明奇偶性再结合单调性，确定最值的差求参即可. 33．阅读一：称为对勾函数，当时，单调性如下：在上单调递减，在上单调递增；称为飘带函数，当时为增函数． 阅读二：若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质．若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． (1)设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； (2)设为上具有性质的偶函数．若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数．若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可； （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案； （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【详解】（1）设，则， 由函数为奇函数，故，即， 则，， 函数为奇函数，满足题意， 则有，设，， 解得或（舍） 即，解得，故； （2）设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故； （3）根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述：， ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立，则； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 34．函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． (1)当时，计算的值； (2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，易得的值； （2）分离参数后，转化为求最值问题； （3）设，，则，，原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有，按照于区间的位置关系分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， （2）当时，，设， 则由飘带函数单调性得，， （分离参数）， 即对于任意恒成立，则只需 设，由飘带函数单调性知在单调递增， 所以， 所以． （3）设在单调递减，可得， 则， 原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有． ①当，即时，在上单调递增， 则，， 由，解得， 所以； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 由， 若，即时， 则，由 解得， 所以； 若，即时， 则，由， 所以． ③当，即时，在上单调递减， 则，， 由，解得， 所以． 综上所述，存在正实数满足题意，且的取值范围为． 题型五 复合函数（共10小题） 35．（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误. 故选：AC 36．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 37．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 38．函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 39．函数的单调递增区间是（　  ） A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2） 【答案】D 【分析】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数， 其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”. 【详解】先考虑定义域：，解得或， 是开口向上的抛物线，对称轴为x=3， 在上单调递增，在上单调递减， 函数是由 和复合而成的， 是减函数，根据复合函数同增异减的原理， 当 时 是增函数， 故选：D. 40．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法，“同增异减”求得函数的递减区间. 【详解】令 ， 则由，得 ， 而函数 是单调减函数，要求的单调递减区间， 就要求的递增区间， 而的递增区间为 ， 故得单调递减区间为， 故选：C. 41．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 42．函数在区间的最大值为 . 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 43．已知函数，有以下结论： ①函数在单调递减； ②函数在单调递减； ③函数的值域为； ④函数有对称轴x＝1； ⑤函数有对称中心 以上结论正确的是（只填序号即可） ． 【答案】②④ 【分析】根据函数解析式，分析函数奇偶性单调性和值域，验证结论是否正确. 【详解】函数，定义域为， ， 令，由二次函数的性质可知，函数在单调递增，在单调递减， 函数在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递增，在单调递减，故①错误，②正确； 由，则的值域为，故③错误； ，所以函数图像上的点关于直线的对称点也在函数图像上，即函数有对称轴x＝1，故④正确，⑤错误. 故答案为：②④ 44．关于函数有以下4个结论： ①定义域为； ②递增区间为； ③是非奇非偶函数； ④值域是. 则正确的结论是 （填序号即可）. 【答案】①③ 【分析】①: 由求得函数的定义域; ②:单调增区间应为定义域内的一个子集,利用复合函数单调区间的求法求此函数的增区间; ③:根据函数图象的对称性判断此函数的奇偶性; ④:由真数的范围求此函数的值域. 【详解】由得,故函数的定义域为,故①正确； 函数的递增区间要在定义域内求，由复合函数单调区间的求法知此函数的增区间为,而区间不在定义域内,故②错误； 函数的图象既不关于轴对称也不关于原点对称,故此函数是非奇非偶函数，故③正确； 令,,则,故函数,所以函数的值域是R，故④错误. 综上,正确的结论有①③. 故答案为:①③ 题型六 抽象函数（共16小题） 单选题 45．已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 46．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】B 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 47．已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（   ） A．的值不确定 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】B 【分析】取特值可判定A；结合A的结论，根据奇函数定义赋值可证明B正确；取特殊函数，可否定CD. 【详解】对于A：设 ，，则，所以 ，故A不正确； 对于B：设 ，，则方程：，结合， 即得，所以是奇函数，故B正确； 对于CD：取，满足， 不是偶函数，，，不满足， 故CD错误. 故选：B 48．已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【详解】在中， 取，可得,解得， 再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确； 取，得，则有， 两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确； 由上分析，由，可得． 因,所以，故D正确； 取，得到：，再取，得，故C错误. 故选：C 49．已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为上的减函数 D．若则的取值范围为 【答案】B 【分析】令，可求得，判断A；令，并结合的值，由函数奇偶性的定义可判断B；根据函数单调性的定义可判断C；结合函数的单调性和奇偶性可解不等式，求得的取值范围，判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，所以A正确； 对于B，令，则，所以. 又因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以是奇函数，所以B错误； 对于C，设任意且，则.由题意得，即. 因为， 所以，即. 所以函数为上的减函数，所以C正确； 对于D，由选项的分析可知，函数是奇函数，由C选项可知函数是上的减函数. 若，则. 所以，即，，解得，所以D正确. 故选：B. 50．函数对，，且为奇函数，则下列说法不正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C． D．若时，则 【答案】C 【分析】对A：奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对B：通过奇偶性及函数周期即可判断；对C：通过函数周期可得，再利用计算即可得；对D：利用赋值计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则，则， 又，则，即有， 则，则有，故，故A正确； 对B：由，则周期为，又， 则，故的图象关于中心对称，故B正确； 对C：，又， 则，故，故C错误； 对D：由，则，即，故D正确. 故选：C. 51．已知定义在上的函数满足：对于任意的都有，，且成立，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】令结合建立方程求得判断A；结合奇函数性质判断B；令结合建立方程求得判断C；先求得，然后由及基本不等式求解即可判断D. 【详解】令，由得，即， 所以，故A错误； 令，由得，即， 所以，故C错误； 若定义在上的函数为奇函数，则，显然与矛盾，故B错误； 令，由得，即， 因为，则， 因为，所以， 则，所以， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：D 多选题 52．已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】先由可得C正确，再由及为偶函数可得BD正确，A错误. 【详解】对于A：因为为偶函数，所以，则， 再由，令，得，所以，故A错误； 对于C：因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，得，所以， ，且，所以，即， 所以，所以的图象关于点对称，故D正确； 对于B：由为偶函数，得，即， 且，所以， 以代替，得——①.再以代替，得——②， 联立①②得，再以代替，得，故B正确. 故选：BCD. 53．设函数的定义域为的偶函数，满足是奇函数，若．则下列结论正确的（    ） A． B．在上单调递减 C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知条件判断出是周期函数，根据周期性和奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的定义域为的偶函数，， 是奇函数，，用替换，得， 又函数为偶函数，，， 再用替换，得，，的周期为， ，令，得，，故A正确； 根据已知条件无法判断的单调性，故B错误； ，， ，由，令，得， ，，故C正确； 由，令，得；令，得，即一个周期内， 即， ，即，故D错误. 故选：AC. 54．已知函数满足：对任意实数、都有，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】令，结合可判断A选项；令，结合可求出的值，可判断B选项；令，结合函数奇偶性的定义可判断C选项；令可判断D选项. 【详解】令，得，又，则，故A错误； 令，得，故，故B正确； 令，得，即，即， 且函数的定义域为，所以为偶函数，故C正确； 令，得， 令，则该式可写为，即，故D正确. 故选：BCD. 55．已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；③当，时，.则（    ） A． B．在上单调递减 C．不等式的解集为 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】借助赋值法，令，代入计算可得A；结合函数单调性定义，取，计算出与的关系可得B；借助赋值法，令计算可得C；结合偶函数性质及所给条件可得D. 【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，， 令，，得：， 又由条件②得，，故A正确； 对于B，取，且， 则 ， ，，，， ，即，在上单调递增，B不正确； 对于C，，， 不等式等价于， 又在上单调递增，且由条件①得是偶函数， ，∴解集为，C正确； 对于D，由时，，，且是偶函数， 故的值域为，D正确. 故选：ACD. 56．已知函数的定义域为，且，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法计算可判断A；令，可得判断B；利用单调性定义可得的单调性判断C；计算可得，进而可判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，可得，所以， 所以，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由，可得， 令，且，则 因为，所以，从而， 即，所以，所以在上单调递增， 所以，又， 所以，所以，故C错误； 对于D，， 又，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 57．已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A：令，则．对． 对于B：令，则，所以．错． 对于C：赋为，为，则， 又，所以， 所以． 若，则，与不符，所以． 于是，即为偶函数．C错D对. 故选:． 58．设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为非零函数，则为奇函数 C．若，则 D．若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 【答案】ABD 【分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A，令，代入得 ， 因为，所以，A正确； 对于B，若为非零函数，令， 代入原式：，， 设，则，故为奇函数，B正确； 对于C，若，令，所以， 令，所以， 令，，所以， 所以，所以，C错误； 对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合， 时，；时，； 令，得， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，因此对任意成立，D正确. 故选：ABD. 59．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．函数恰有3个零点 D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据偶函数以及对称轴的定义分析判断；对于B：根据奇函数定义分析可得，，即可得；对于C：分析函数的周期性，结合图象分析函数的零点；对于D：根据题意结合函数的周期性运算求解. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 即，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 令可得，即， 由，令可得， 且，可得； 由，令可得，即， 又因为当时，， 则，解得，故B错误； 对于选项C：由可得， 且，可得， 即，可得， 即，可知函数的一个周期为4， 且当时，， 据此可得函数的图象，如图所示： 可知函数的零点个数即为函数与的交点个数， 由图可知函数与的交点有3个， 所以函数恰有3个零点，故C正确； 对于选项D：因为，，， 则， 且函数的一个周期为4， 所以，故D错误； 故选：AC. 60．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（   ） A． B． C．在上的最大值是2 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】令求出判断A；令得到，再替换、判断B；再利用定义法证明函数的单调性判断C；根据已知不等式化为，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代替，，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 题型七 镶嵌函数（共10小题） 61．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得出，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值. 【详解】设，则，由可得， 另一方面，， 由于函数、在上均为增函数，所以，函数为上的增函数， 因为，由可得，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数值的求解，解本题的关键在于令，结合已知条件得出，并利用函数的单调性求出，进而得出函数的解析式进行求解. 62．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用十字相乘法解，得或，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】解：若有三个零点， 即有三个根， 即或． 当时，由，即，则或， 即或， 则或无解，此时方程只有一个解， 则．有两个不同的根， 作出的图象如图： 由图象知，则，即， 即实数的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键． 63．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 64．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 65．已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 66．（多选）嵌套调用是计算机编程中实现循环迭代的重要结构，其中三角嵌套函数应用广泛．已知两个三角嵌套函数与，则（    ） A．，的值域均为 B．，都是偶函数 C．时，恒成立 D．，都是周期为的周期函数 【答案】BC 【分析】对于选项A，通过求出正弦函数和余弦函数的值域即可确定函数的值域；对于选项B，根据偶函数的定义来判断两个函数是否是偶函数；对于选项C，通过比较与的大小、比较与的大小来判断的大小；对于选项D，根据周期的定义进行判断. 【详解】对于A，当时，，， 则，，A错误． 对于B，已知两个函数的定义域均为，，，所以都是偶函数，В正确． 对于C，当时，，令，所以， 所以在上单调递增，所以. 由不等式在上恒成立，得． 因为在上单调递减，则由知， 从而恒成立，C正确． 对于D，， ， 所以的周期不为，的周期为，D错误． 故选：BC． 67．任意时，恒成立，且函数单调，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再求出函数值. 【详解】依题意，令，则，且， 由函数单调，得为正常数，于是，解得， 因此，所以. 故答案为：2020 68．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则下列关于的说法中正确的为 ．(填序号) ①；②为单调增函数；③为奇函数；④. 【答案】①② 【分析】令(为常数)，可得，且，令时，有，可得，再根据为增函数，可知有唯一解，从而可求出，最后根据指数函数的图象与性质，即可判断得出答案. 【详解】解：根据题意，令(为常数)，可得，且， 所以时，有， 将代入，等式成立，所以是的一个解， 因为随的增大而增大，所以可知为增函数， 所以方程有唯一解， 又因为，所以，即，故④错误； 所以，故①正确； 由指数函数的单调性可知为单调增函数，故②正确； 显然，不是奇函数，故③错误； 综上得①②正确． 故答案为：①②. 69．已知，若关于的方程有5个不同的解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，关于的方程有5个不同的解，令，则有两个根，设为，且，分类讨论即可求解. 【详解】的图象： 令，则由图可知：当时， 无解； 当时，有一根； 当时，有两个根； 当时，有三根； 当时，有两个根； 当时，有一根； 若关于的方程有5个不同的解，则 有两个根，设为，则，或 当时，，此时化为，不满足题意，舍去； 当时，，此时化为解得，不满足题意舍去； 当时，令，则 即，解得. 故答案为：. 70．已知函数是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式为 ，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据，令，则，由求得a即可;将不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立求解. 【详解】因为函数是定义域内的单调函数，且满足， 令，则， 所以，即， 所以， 所以. 因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为在上递增， 所以在上递增， 所以当时，y有最小值3， 所以 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则；； 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；. 题型八 最大最小函数（共8小题） 71．记，设，则函数的最小值是（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】分类讨论确定函数解析式，再计算最值即可. 【详解】易知当时，，令，即， 可得， 当时，，令， 即，显然恒成立， 由上可知，由二次函数与一次函数的单调性可知， 当时，取得最小值. 故选：B 72．定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 73．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ） A．方程有三个根 B．的单调减区间为和 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由的定义作出函数图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】由的定义作出函数图象，如图，    由图象可知： 对于A，的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，无最小值，D错误. 故选：A 74．定义，对于任意实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数的最小值进而得，化简即可求解. 【详解】设，则， 得， 设，则， 令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 得， 所以， 得，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由构造函数，利用导数求得即为题意所求. 75．已知函数，关于的方程恰有个不同实数解，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先求得的解析式并画出图象，利用换元法，结合一元二次方程的解列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】对于函数， ，所以当时，； 当时，. 所以， 令 ， 则方程 可化为 ①， 作出函数 的图象如下图所示， 则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根， 即，（符合），或. 所以的取值范围是或. 故答案为：或    76．以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解. 【详解】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 若，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 综上可知的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”. 题型九 同构（共6小题） 77．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】对原式处理，构造同构函数，从而得解. 【详解】（1）显然，则， 同构函数为； （2）显然，则 ，同构函数为； （3）显然，则， 同构函数为； （4）显然，则， 同构函数为； （5）， 同构函数为； （6）， 同构函数为. 78．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则 ， . 【答案】 3 8 【分析】化方程为，利用同构方程的意义求出；构造函数并利用导数确定单调性得即可计算得解. 【详解】关于b的方程， 依题意，，解得； 因此，显然， 函数，求导得，函数在上单调递增， 由，得，则，即， 所以. 故答案为：3；8 79．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，此时称与为同构式.已知实数满足，，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】利用同构式结合函数的单调性计算即可. 【详解】由，则 令，则，故在单调递增， 所以， 所以，故， 故 故选：B. 80．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ． 【答案】5 【分析】可将拼凑成，结合单调性和同构思想易得，将代入即可得解. 【详解】易判断为增函数，， ， 即，， 所以，. 故答案为：5 81．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 . 【答案】3 【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案. 【详解】函数在R上单调递增，且， 由，得，则， 即，因此，则， 所以. 故答案为：3 82．阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？ 解析：， 有， 得， 设函数，则在上单调递增， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 阅读参考以上材料，解答下列问题： (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)已知，求的值. 【答案】(1)函数在上的单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （2）依题意可得，即，根据（1）的结论得到，最后根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）函数在上的单调递增，证明如下： 设且， 所以， 因为且，所以，， 则， 所以，即，即， 所以在上的单调递增； （2）由，则，即， 显然，即， 因为，所以，，所以，则， 由（1）知在上的单调递增，所以， 即，即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是“同构”得到，结合（1）中函数的单调性得到. 题型十 对偶（共4小题） 83．（1）已知，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 /； . 【分析】（1）将已知等式两边平方求出，又，所以，，即，再利用完全平方公式计算即可求出的值； （2）方法一：由，构造，两式平方相加可求得，进而可求得； 方法二：根据题意，结合三角函数的平方关系，联立方程可求得， ，进而可求得； 方法三：令，与已知联立，可求得，，再根据三角函数的平方关系，可求得，进而可求得. 【详解】（1）由题意，所以， 解得. 又，所以，，所以， 所以， 解得． （2） 方法一： 由于，设，两式平方相加得，得到． 因此，从而，所以. 方法二： 由，得，代入， 得，即，解得， 所以，则． 方法三： 设，则，代入，得，则． 又，则，解得，即． 故答案为：（1）；（2）. 84．已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A 85．求值：. 【答案】 【分析】解法一：根据二倍角的余弦公式，逆用两角和与差的正弦、余弦公式化简即可求解； 解法二：逆用两角和与差的正弦、余弦公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】解法一：原式 . 解法二：原式 ． . 86．如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，那么 . 【答案】/0.5 【分析】根据韦达定理将两个不等式的两根关系表示出来，再根据对偶不等式定义列出等式计算出，在求出值即可得出答案. 【详解】设方程的两个根分别为， 则； 设方程的两个根分别为， 则. 因为两个不等式为对偶不等式，所以， ， ，，即. 故答案为：. 题型十一 三角函数求参（共11小题） 87．已知函数在区间上恰有3个零点，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象与性质结合整体代换思想计算即可. 【详解】由题意可知时，， 根据正弦函数的图象与性质知. 故选：D 【点睛】难点点睛：注意整体的思想得出，利用三角函数的图象与性质计算即可. 88．已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可. 【详解】若，则， 又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值， 所以当，即时， 只需满足，此时， 当，即时， 函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则， 此时， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 89．已知函数（）的图象在区间上恰有一个最高点和一个最低点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法，得到，再列出不等式组，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 则，则由题意得 则有，其中， 解得，其中， 时，，无解； 时，，解得； 时，，无解； 显然当，且，此时在正区间内，而在负区间内，两者无交集； 当，且，此时在负区间内，而在正区间内，两者无交集； 综上， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到，再结合余弦函数的图象与性质得到不等式组，解出范围，再对分类讨论即可. 90．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得. 【详解】由，得，依题意， ，解得（*）. 又又，则，故由（*）得，时，即①. 由，得，因对任意，都有， 则，解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：A. 91．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 92．设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出的范围，借助于的图象，即可建立关于的不等式，求解即得. 【详解】由 ， 设，由，可得，即， 作出函数的图象. 函数在区间上恰有4个零点， 由图，则，解得. 故选：C. 93．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果. 【详解】， 在上恰有两个零点，恰有两个最高点， ， 即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式无解， 当时, 不等式组为，不等式无解， 当时，，解得， 当时，，不等式无解， 当时，不等式无解. . 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据在上恰有两个零点、两个最高点建立不等式组. 94．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果. 【详解】，其中，，， ，，， 当时，， 在区间内没有零点，但有极值点，， ， ， 又，， ，， ， 则，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果. 95．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数分段处理，在，各有1个零点，所以有5个零点，利用三角函数图象与性质即可得解. 【详解】由题，当时，，显然在上单调递增，且，，此时在在有一个零点； 当时，，，所以在上单调递减， ，此时在上只有一个零点； 所有当时，有5个零点， 当时，，所以， 解得，即. 故选：C. 【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数. 96．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值， 则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心； 97．已知函数，若在区间上不存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简，结合周期公式列不等式确定，再求出函数在上存在零点时的的范围，从而在范围内去掉这些范围，即可得答案. 【详解】由题意得， 在区间上不存在零点，设的最小正周期为T， 则， 又函数的零点满足，即， 若，则， 因为，故，则时，， 时，，结合得， 由于在区间上不存在零点， 故在的范围内去除和， 则， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查根据函数在某区间上不存在零点求参数范围问题，解答时先确定参数，再假设函数在区间上存在零点，结合正弦函数性质求得参数范围，然后去掉这些范围，即可得答案. 题型十二 辅助角（共3小题） 98．函数取得最大值时的值是 . 【答案】 【分析】由辅助角公式化简，再由正弦函数性质求最大值及此时的值. 【详解】，其中，， 当，即时，取得最大值， ，即， 故答案为：. 99．当时，函数取得最大值，则 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解. 【详解】利用辅助角公式，其中 当时，函数取得最大值，则， 所以， 所以 又， 所以 故答案为：. 100．已知，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】，分别求与的最大值得的最大值. 【详解】将视为的函数，故，其中，， 所以当时的最大值为1， 设，当时，取得最大值，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将视为的函数，使用辅助角公式转化，再分别求与的最大值. $