19.3 二次根式的加法与减法（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

19.3 二次根式的加法与减法 知识点一 同类二次根式 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 知识点二 分母有理化 1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简： ． 2．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）化简： ． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ； ． 4．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 知识点三 比较二次根式的大小 1．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 知识点四 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）计算： 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算：． 4．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： 知识点五 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算：． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 知识点一 已知字母的值，化简求值 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 3．（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值． 4．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 知识点二 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 1．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 2．（22-23八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3 二次根式的加法与减法 知识点一 同类二次根式 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识，属于基础知识；判断二次根式能否与合并，需将各选项化简，检查化简后的被开方数是否为3． 【详解】解：∵ ， ∴ 与的被开方数相同，可以合并，故选项A符合题意； 而，被开方数为2； ，被开方数为6； 已是最简二次根式，被开方数为30； 均不能与合并，故选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答． 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简． 要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与的被开方数一致． 【详解】解： 选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项C：，化简为，与的被开方数均为，是同类二次根式，可以合并． 选项D：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 故选C． 4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 知识点二 分母有理化 1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式分母有理化即可，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·天津河西·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】该题考查了二次根式的性质，根据分母有理化的方法化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）化简 ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化的计算，掌握二次根式的性质是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：①；②；③ ． 4．（24-25八年级下·海南·期末）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点三 比较二次根式的大小 1．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点四 二次根式的加减运算 1．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算， 先化简原式，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式    . ． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 知识点五 二次根式的混合运算 1．（24-25八年级下·吉林白山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， 对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算； 对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可； 对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式计算，再加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质和二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式性质，平方差公式，二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点一 已知字母的值，化简求值 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期中）若，，求代数式的值． 【答案】13 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先求得和的值，再化简得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 3．（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 4．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的： ． 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据题意可直接进行分母有理化； （2）根据分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减运算可进行求解即可； （3）先分母有理化，可得，可得，然后再进行代值求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 知识点二 二次根式的应用 1．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）某加工厂有一批面积为56平方分米的铝合金板，它的宽是分米． (1)若用这批铝合金板裁出如下包含正方形A、B的工件，计算剩余材料阴影部分的面积； (2)用这种铝合金板能裁出两张面积均为25平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键； （1）依据题意，由铝合金板的长：（分米），可得另一边长为：（分米），则剩余材料的面积：（平方分米），即可得解； （2）依据题意，由，但，即可判断得解． 【详解】（1）解：铝合金板的长：（分米）， 另一边长为：（分米）， 剩余材料的面积：（平方分米）． （2）解：不能裁出；理由：（分米），（分米）， ，但， 不能裁出． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（kg）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4 (2) (3)严禁高空抛物 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）依据题意，根据公式，代入计算即可． （2）依据题意，先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量高度，计算能量即可； （3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：由题意，结合（2）， ∴对人构成伤害． 故严禁高空抛物． 3．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）定义：对于正数，把叫做与的算术平均数，叫做与的几何平均数；而且两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即如果，那么，当时，等号成立． (1)2和12的算术平均数和几何平均数分别为___________、___________； (2)①已知，则的最小值是___________； ②已知，且，则的最大值是___________； (3)已知，记，求的取值范围． 【答案】(1)7， (2)①2；②25 (3) 【分析】本题以算术平均数和几何平均数为背景，主要考查了二次根式和分式的相关运算，正确理解算术平均数和几何平均数的定义是解题的关键； （1）根据算术平均数和几何平均数的定义求解即可； （2）①根据两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数求解即可； ②根据题意可得，代入后再进一步求解即可； （3）将原式变形为，再利用求解即可． 【详解】（1）解： 2和12的算术平均数是，几何平均数是； 故答案为：7，； （2）解：①根据题意可得：，当且仅当时取“=”； 故答案为：2； ②∵，且， ∴，即， ∴ 则的最大值是25； 故答案为：25； （3）解：∵， ∴，当即时取等号， ∴， ∴的取值范围是． 1．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． (1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； (2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； (3)若，，求此时三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【详解】（1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 2．（22-23八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)①见详解②③ 【分析】（1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值． 【详解】（1）解：当，时， ， ． 故答案为：；； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， ∵都是正数， ∴都是正数， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴当时，取最小值， 此时，即， 整理，可得， ∴， ∵， ∴， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 3．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 4．（24-25八年级下·江西南昌·月考）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $