第一章 反比例函数（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于反比例函数，下列叙述正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．函数图象在第一、三象限 C．当时， D．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形 2．已知点是双曲线上一点，则下列各点中在该图象上的点是（　　） A． B． C． D． 3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 4．关于函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．是中心对称图形，且对称中心为原点 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在y轴、x轴上，且，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 8．已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 9．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一点，分别过点作轴于点，轴于点，若四边形的面积为5，则的值是 ．    ． 13．如图，A，B是反比例函数（）上两点，纵坐标分别为3和1，连结并延长交双曲线于另一点C，连结，若，则k的值为 ． 14．如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴，若，则与的面积比为 ．    15．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式． 18．（6分）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 19．（6分）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 20．（8分）如图，反比例函数和一次函数的图象交于点和点． (1)求m、n的值； (2)求直线的函数表达式； (3)当时，直接写出x的取值范围__________； (4)连接、，直接写出的面积__________． 21．（10分）如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为． (1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22．（6分）在四边形中，，，，垂直平分，点H为垂足．设，，请求出y关于x的函数关系并写出自变量x的取值范围． 23．（9分）如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 25．（12分）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于反比例函数，下列叙述正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．函数图象在第一、三象限 C．当时， D．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质解答； 【详解】解：A、因为反比例函数的图象是双曲线，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，本选项错误，不符合题意； B、当时，图象位于第二、四象限，本选项错误，不符合题意； C、当时，在第二象限，在第四象限，本选项错误，不符合题意； D、反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，也是轴对称图形，本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记相关性质是关键． 2．已知点是双曲线上一点，则下列各点中在该图象上的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数的图象上的点的坐标均满足，根据这个规律依次分析即可． 【详解】解：∵点是双曲线上一点， ∴， ∵，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标的特征，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征是解题的前提． 3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 4．关于函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．是中心对称图形，且对称中心为原点 【答案】C 【分析】利用反比例函数图象与系数的关系进行分析判断； 【详解】解：A、当时，，即反比例函数的图象经过点，故选项A说法正确； B、因为反比例函数中的，所以图象分别在二、四象限，当时，随增大而增大，故选项B说法正确； C、因为反比例函数中的，所以图象分别在二、四象限，当时，或，故选项说法C错误； D、反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，故选项D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质是解此题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在y轴、x轴上，且，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．作轴，证明，由相似得到比例式，代入数据求出长即可得到点坐标，继而推导出点坐标，即可得到值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， ， ， 又 ， ， ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在反比例函数图象上， ． 故选：． 6．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数几何面积问题，等腰三角形性质．根据题意先设点B坐标为，再列出的面积代数式即可求出． 【详解】解：设点B坐标为， ∵是面积为4的等腰三角形， ∴的面积为：， ∵是等腰三角形， ∴， ∴的面积为：， ∵反比例函数图象过点B，在第四象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】延长交y轴于点D，连接，由反比例的几何意义得到，，代入计算解题即可． 【详解】如图，延长交y轴于点D，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即轴 由反比例的几何意义得， ，， ∵平行四边形的面积是3， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 8．已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再把自变量的值代入求值即可． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，， ∴， 解得：． ∴反比例函数为． 当时，． 故选：B． 9．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，证明，设，由点和点，则，，求得，可得，进而求得直线的解析式为，联立，然后求出，再通过即可求解． 【详解】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点， ∵直线与反比例函数相交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线解析式为，反比例函数， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵点和点， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G，易证，则可求，，确定函数解析式，点C向左平移n个单位后为，顶恰好落在反比例函数的图象上，进而求得n的值． 【详解】解：过D、C分别作轴，轴，垂足分别为E、F，交反比例函数的图象于G， ∵A，B为函数与x轴、y轴的交点． ∴当时，；当时，， ∴，， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴， 同理可证得：， ∴ ∴，， ∴，， 把，代入中， 解得：， 把代入中， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形判定与性质，图形平移等，给性比较强，正确添加常用辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一点，分别过点作轴于点，轴于点，若四边形的面积为5，则的值是 ．    【答案】 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图像在第二象限，即可得，写出的值即可． 【详解】点是反比例函数图像上的一点，分别过点作轴于点，轴于点，若四边形的面积为5， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图像在第二象限， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，理解掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 13．如图，A，B是反比例函数（）上两点，纵坐标分别为3和1，连结并延长交双曲线于另一点C，连结，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，以及两点间的距离公式，熟悉反比例函数图象是关于原点对称是解题的关键．根据点纵坐标分别为3和1，即可求出点的坐标，再根据点为点关于原点的对称点，即可求出点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解： 点纵坐标分别为3和1，是反比例函数（）上两点, 横坐标分别为，， 点坐标为，点坐标为， 反比例函数（）图象是关于原点对称的，连结并延长交双曲线于另一点C， 点为点关于原点的对称点， 点坐标为， ，， ， ，解得，又， ， 故答案为：． 14．如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴，若，则与的面积比为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的应用、平行线分线段成比例定理，作轴于，则，从而可得，设，则，由，得出，从而可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，   ， ∵轴， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比为， 故答案为：． 15．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    【答案】2 【分析】设，利用勾股定理得到，进而得到；根据推出，由此即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，完全平方公式的应用，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 【答案】 23 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，，在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是2和3， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， 即，，，与，，，，在曲线L的两侧， ， 整数的个数为：个， 故答案为：23； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键． 18．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 19．如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 20．如图，反比例函数和一次函数的图象交于点和点． (1)求m、n的值； (2)求直线的函数表达式； (3)当时，直接写出x的取值范围__________； (4)连接、，直接写出的面积__________． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题． （1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出的值； （）把，坐标代入一次函数解析式即可求解； （）结合函数图像以及交点即可得出答案． （4）作轴于点，轴于点，根据面积和差进行求解即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过， ∴， 解得：，； （2）由（）得，，； ∴， ∵一次函数的图象交于点，两点 ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为：， （3）当时，即反比例函数的图像在一次函数的图像下面， 由图像和，可知： 当时，或． （4）如图，作轴于点，轴于点，      ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为． (1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)函数图象见解析，当时，有最大值为3（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分，，两种情况讨论求关于x的函数关系式，根据三角形面积公式求关于x的函数关系式即可； （2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数的一条性质即可； （3）看在哪些区间的函数的图象在函数图象的上方即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时， 过D作于点G， ∵点D是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：列表得： 0 5 10 0 3 0 1 2 3 4 6 10 12 6 4 3 2 1.2 画图如下： 根据图象，知：当时，有最大值为3（答案不唯一）； （3）解：令， 解得：（舍去）； 令， 解得：（舍去）； 根据图象知：当时，． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数与一次函数的交点问题等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型． 22．在四边形中，，，，垂直平分，点H为垂足．设，，请求出y关于x的函数关系并写出自变量x的取值范围． 【答案】， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型． 由，得，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴则：， ∵， ∴ 23．如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）分两种情况：点D在线段上，此时；点D在线段上，此时；利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图像即可写出的一条性质； （3）观察图像，当的图像在的图像上方或相交时，即可确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当点D在线段上，此时； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 当点D在线段上，如图，此时，； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 综上，， （2）解：所画的两个函数的图像如下： 函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． （3）解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时． 【点睛】本题考查了了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数解析式，画函数图像，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用． 24．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 25．【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 反比例函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A C A D B B D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．0 12． 13． 14．． 15．2 16． 23 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分） 【解析】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． ……………………………………(4分) 18．（6分） 【解析】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． ……………………………………(3分) （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． ……………………………………(6分) 19．（6分） 【解析】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； …………………………………(2分) （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； …………………………………(4分) （3）解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． …………………………………(6分) 20．（8分） 【解析】（1）∵反比例函数的图象过， ∴， 解得：，； …………………………………(2分) （2）由（）得，，； ∴， ∵一次函数的图象交于点，两点 ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为：， …………………………………(4分) （3）当时，即反比例函数的图像在一次函数的图像下面， 由图像和，可知： 当时，或． …………………………………(6分) （4）如图，作轴于点，轴于点，      ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴． …………………………………(8分) 21．（10分） 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时， 过D作于点G， ∵点D是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 根据题意，得， ∵，，， ∴， ∴； …………………………………(4分) （2）解：列表得： 0 5 10 0 3 0 1 2 3 4 6 10 12 6 4 3 2 1.2 画图如下： 根据图象，知：当时，有最大值为3（答案不唯一）； …………………………………(7分) （3）解：令， 解得：（舍去）； 令， 解得：（舍去）； 根据图象知：当时，． …………………………………(10分) 22．（6分） 【解析】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ …………………………………(3分) ∴， ∴则：， ∵， ∴ …………………………………(6分) 23．（9分） 【解析】（1）解：当点D在线段上，此时； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 当点D在线段上，如图，此时，； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 综上，， …………………………………(6分) （2）解：所画的两个函数的图像如下： 函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． …………………………………(6分) （3）解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时． …………………………………(9分) 24．（11分） 【解析】【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则，    ∵点，， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， …………………………………(5分) （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，    ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． …………………………………(11分) 25．（12分） 【解析】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； …………………………………(4分) （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； …………………………………(4分) （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． …………………………………(12分) 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于反比例函数，下列叙述正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．函数图象在第一、三象限 C．当时， D．其图象既是轴对称图形也是中心对称图形 2．已知点是双曲线上一点，则下列各点中在该图象上的点是（　　） A． B． C． D． 3．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 4．关于函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．经过点 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．是中心对称图形，且对称中心为原点 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在y轴、x轴上，且，，斜边轴．若反比例函数的图象经过的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 8．已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 9．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一点，分别过点作轴于点，轴于点，若四边形的面积为5，则的值是 ．    13．如图，A，B是反比例函数（）上两点，纵坐标分别为3和1，连结并延长交双曲线于另一点C，连结，若，则k的值为 ． 14．如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴，若，则与的面积比为 ．    15．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    16．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是2和3，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数）．函数（）的图象为曲线L． （1）若L过点，则 ； （2）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 个． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式． 18．（6分）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 19．（6分）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 20．（8分）如图，反比例函数和一次函数的图象交于点和点． (1)求m、n的值； (2)求直线的函数表达式； (3)当时，直接写出x的取值范围__________； (4)连接、，直接写出的面积__________． 21．（10分）如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点分别是射线上的动点，的长度等于点走的路程，已知的面积为6，设点的运动时间为秒，点到的距离为的长度为． (1)求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据图形直接估计当时的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 22．（6分）在四边形中，，，，垂直平分，点H为垂足．设，，请求出y关于x的函数关系并写出自变量x的取值范围． 23．（9分）如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题： (1)直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．    (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 25．（12分）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $