4.4 数学归纳法（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过等差数列通项归纳、《应谐录》故事等情境导入，从不完全归纳法的局限出发，搭建从具体到抽象的学习支架，连接数列递推关系与严格证明方法。 其亮点在于用多米诺骨牌游戏类比原理（数学抽象），结合例题与题型专练培养逻辑推理和运算能力，帮助学生理解证明本质。学生能提升数学思维，教师可借助情境和分层练习高效教学。

第四章 数列 4.4 数学归纳法 ·选择性必修第二册· 1 学习目标 2 了解数学归纳法的原理，培养学生数学抽象核心素养. 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养. 通过对数学归纳法的学习、应用，使学生体验观察、归纳、猜想、证明的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生用数学的眼光发现问题，解决问题的能力. 3 4 情景导入 4.4 数学归纳法 01 引入新知 等差数列通项公式 情境一： 引入新知 明朝刘元卿的《应谐录》 情境二： 引入新知 明朝刘元卿的《应谐录》 情境二： 等差数列通项公式 情境一： 考查某类对象的一部分， 得到一般结论的推理方法 不完全归纳法 结论 不一定正确 引入新知 证明十个都是黄球 情境三： 有一袋球共十个，要如何证明这十个球都是黄球？ 考查某类对象的全体， 得到一般结论的推理方法 完全归纳法 结论 一定正确 引入新知 费马数猜想 情境四： 引入新知 数列通项公式的猜想 情境五： 引入新知 引入新知 无限步的验证 有限步的验证 有限的步骤 无限的对象 转化 证明 新课探究 4.4 数学归纳法 02 新课探究 多米诺骨牌游戏 新课探究 问题：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 思考1 试验①如图4.4 - 1,第一块骨牌不倒，多米诺骨牌是否全部倒下? 图4.4 - 1 新课探究 问题：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 思考2 试验②如图4.4 - 2,第一块骨牌倒下，但中间有的骨牌间的距离过大，超过一块骨牌倒下的距离，多米诺骨牌是否全部倒下? 图4.4 - 2 新课探究 问题：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 思考3 试验③如图4.4 - 3,在第一块骨牌倒下的同时，保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下，多米诺骨牌是否全部倒下? 图4.4 - 3 可以直观得到，试验①和试验②中多米诺骨牌没有全部倒下， 试验③中多米诺骨牌全部倒下. 新课探究 多米诺骨牌游戏的原理——倒下的条件 (1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 追问 这两个条件描述的骨牌之间的关系，与我们曾经学过的数列的哪一个知识点类似?如何用数学语言描述条件(2)? 数列的递推关系 第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 新课探究 问题： …… 新课探究 新课探究 追问1 “多米诺骨牌原理”与“猜想的证明步骤”的类比分析 多米诺骨牌原理 猜想的证明步骤 (1)第一块骨牌倒下 (2)第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下. 根据(1)(2)，所有骨牌都能倒下 新课探究 追问2 新课探究 追问3 新课探究 追问4 新课探究 问题： 新课探究 问题： 新课探究 数学归纳法证明命题的步骤 应用新知 4.4 数学归纳法 03 应用新知 例1： 分析 应用新知 证明 应用新知 归纳小结 应用新知 归纳小结 应用新知 例2： 分析 证明 应用新知 例2： 证明 应用新知 归纳小结 用数学归纳法证明等式的策略 应用新知 例3： 分析 解析 应用新知 下面用数学归纳法证明这个猜想． 应用新知 例4： 分析 应用新知 解法1 应用新知 下面用数学归纳法证明这个猜想． 应用新知 解法2 应用新知 下面用数学归纳法证明这个猜想． 应用新知 归纳小结 用数学归纳法证明不等式的四个关键： 重要题型 4.4 数学归纳法 04 重要题型专练 题型一 数学归纳法求通项公式 例题 解 析 重要题型专练 题型一 数学归纳法求通项公式 例题 解 析 重要题型专练 题型二 数学归纳法证明恒等式（不等式） 例题 解 析 重要题型专练 题型二 数学归纳法证明恒等式（不等式） 例题 解 析 重要题型专练 题型三 利用数学归纳法证明整除问题 例题 解 析 应用新知 方法总结 数学归纳法证明整除的关键点 重要题型专练 题型四 利用数学归纳法证明几何问题 例题 解 析 真题感知 4.4 数学归纳法 05 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 4.4 数学归纳法 06 课堂笔记 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后作业 4.4 数学归纳法 07 课堂小结 数学归纳法的应用 数学归纳法概念 证明一个与正整数n有关的命题 证明等式恒成立问题 证明不等式恒成立问题 证明数列的相关问题 证明整除的相关问题 归纳奠基： 归纳推理： 数学归纳法 作业布置 巩固作业：教科书第51页练习第1、2、3、4题. 教科书第51页习题4.4第3、4、5、6、7、8题. 课后练习答案 4.4 数学归纳法 08 作业答案（教科书第51页练习第1题） 证明 作业答案（教科书第51页练习第2题） 解析 作业答案（教科书第51页练习第2题） 解析 作业答案（教科书第51页练习第3题） 解析 作业答案（教科书第51页练习第3题） 解析 作业答案（教科书第51页练习第4题） 解析 作业答案（教科书第51页练习第4题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第3题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第3题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第4题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第4题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第4题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第5题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第5题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第6题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第6题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第6题） 解析 作业答案（教科书第51页习题4.4第7题） 证明 作业答案（教科书第51页习题4.4第8题） 证明 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 设一个等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的定义，可得 ，所以，，，...... 于是：, , , ...... 归纳可得：, 当时，式为，这就是说，上式当时也成立. 故等差数列通项公式为： 汝有田舍翁，家资殷盛，而累世不识“之”，一岁，聘楚士训其子。楚士始训之搦管临朱，书一画，训曰:“一字。”书二画，训曰:“二字。”书三画，训曰:“三字。”其子辄欣欣然掷笔归告其父曰"儿得矣，儿得矣!可无烦先生，重费馆谷也，请谢去。其父喜而从之，具币谢遭楚士， 逾时，其父拟征召姻友万氏姓者饮，令子展起治状。久之不成。父趣之，其子患曰:“天下姓字夥矣，奈何姓万?自晨起至今，才完五百画也。”初机士卿一解，而即訑訑自矜有得。殆类是已。 ，， 归纳出： “一，二，三”归纳出： 为万 法国数学家费马观察到： ,,,. 于是归纳猜想：任何形如的数都是质数. 半个世纪以后，数学家欧拉发现： 第5个费马数不是质数， 从而推翻了费马的猜想. 已知数列满足，，计算，，， 猜想通项公式，并证明你的猜想． 计算可得，，，再结合，由此猜想：． 如何证明这个猜想呢?我们自然会想到从开始一个个往下验证．一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦． 特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立． 回顾数列通项公式为的获得过程，归纳其与多米 诺骨牌游戏之间的共性，你能得到推理的一般结构吗? 数列通项公式为的猜想的获得过程如下： 由，利用递推关系，推出； 由，利用递推关系，推出； 由，利用递推关系，推出； 上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件(2)类似的递推结构： 以成立为条件，推出也成立． 它相当于命题：当时猜想成立，则时猜想也成立． 你能类比多米诺骨牌游戏中的递推结构，得出证明数列通项公式为的递推结构吗? (1)当时，成立 (2)由能推出成立 根据(1)(2)，成立 你能完成推出的证明过程吗? 如果时，成立， 那么, 故时，成立. 你能解释证明过程的合理性吗? 由时，成立，就可以得到时，成立； 由时，成立，就可以得到时，成立； ……, 所以，对于任意的成立， 故数列的通项公式为得到了证明. 在证明推出时，为什么要加条件? 确保通项公式对从开始的所有正整数都成立， 确保命题成立的递推性. 从问题3的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n有关的命题 的一般步骤吗? 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数 都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction)． 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当时，命题成立； （2）（归纳推理）以“当时，命题成立”为条件推出“当 时命题也成立”． 数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么?你认为数学归纳法 中的两个步骤有什么关系? 数学归纳法中，第一步称为归纳奠基，是命题递推的基础，缺少这个基础， 第二步就没有意义了.第二步称为归纳递推，假设为真，证明为真， 是命题递推的依据，缺少这个依据，递推也无法进行下去.两步缺一不可，交替 使用，就有若为真，则为真，则为真，……,若 为真，则为真，…….从而完成证明. 故对一个关于正整数n的命题,把用数学归纳法证明的形式改写 成条件和结论的推理过程即为： 条件：(1)为真；(2)若为真，则也为真． 结论：为真． 用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列， 那么 ①对任何都成立． 因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法 证明的第一步应证明时命题成立．第二步要明确证明的目 标，即要证明一个新命题：如果时①式是正确的，那么 时①式也是正确的． (1)当时，左边，右边，①式成立． (2)假设当时，①式成立，即， 根据等差数列的定义，有 于是． 即当时，①式也成立． 由(1)(2)可知，①式对任何都成立． 数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤 数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤 数学归纳法的三个关键点 验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一 定是1. 递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数 的变化，弄清式子两边的构成规律． 利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 用数学归纳法证明： ．—— ① 用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当时， ①式成立”为条件，得出“当时，①式也成立”的命题， 证明时必须用上上述条件． (1)当时，①式的左边， 右边， 所以①式成立． 用数学归纳法证明： ．—— ① (2)假设当时,①式成立,即， 在上式两边同时加上,有 即当时①式也成立．由(1)(2)可知，①式对任何都成立． 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即 (1)当n＝n0时，等式的结构． (2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k 时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 已知数列满足，，试猜想数列的 通项公式，并用数学归纳法加以证明． 先将数列的递推关系化为， 通过计算的值，归纳共性并作出猜想，在应用数学归 纳法证明猜想． 由可得，由可得 同理可得． 归纳上述结果，猜想—— ① (1)当时，①式左边，右边，猜想成立． (2)假设当时，①式成立，即， 那么． 即当时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，猜想对任何都成立． 设为正实数，为大于1的正整数，若数列 的前项和为,试比较与的大小,并用数学归纳法证明你的结论． 该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数． 一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关 系，并作出猜想； 另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想，两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想． 由已知可得： ． 当 时， ，由 可得 ； 当 时， ，由 ，可得 ； 由此，我们猜想，当 ， 且 时， ． (1)当 时，由上述过程知，不等式成立． (2)假设当 ，不等式成立，即 由 ，可得 ，所以 于是 ． 所以，当 时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式 对任何大于1的正整数 都成立． 显然，所给数列是等比数列，公比为 ，于是 ． 当 时， ，由 可得 当 时， ，由 可得 由此，我们猜想，当 ， 且 时，都有 ． (1)当 时，由上述过程知，不等式成立． (2)假设当 且 ，不等式 成立，即 由 ，知 ． 所以 ． 所以，当 时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式 对任何大于1的正整数 都成立． 求证：对任何正整数n，数都能被8整除 1°当时，，命题成立． 2°假设时，能被8整除， 则当时， , 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以也是8的倍数， 即时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当时，代数 式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及时的 代数式，根据归纳假设即可证明. 证明：当时，三角形的内角和为，即，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 假设凸边形，如下图所示： 则凸边形边形可以在以为边的与凸边形拼接而成，所以，，这说明当时，结论成立， 故凸边形的内角和. 1．（22-23高二上·新疆伊犁·期末） 利用数学归纳法证明时，第一步应证明（     ） A． B． C． D． 由题意，，即从起连续项正整数之和.则为从起连续3个正整数之和，故第一步应证明. 故选：B. 2．（22-23高二下·全国·课后作业） 用数学归纳法证明，第一步应验证 （     ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 3．（高二下·福建·期中）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证时，左边应取的项是（     ） A．1 B． C． D． 由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是. 故选：D． 4．（24-25高一下·上海·期末）观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（      ）. A．； B． C．； D． 注意到，则可猜想：，AD错误，或，B错误C正确. 故选：C 5．（23-24高二下·北京·期中） 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ． 假设时成立，即， 当时，等号左边为， 对比可知，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． 计算，，猜想数列的通项公式并证明； ，. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则， 故结论对成立. 综上，有成立. 7．（高二下·浙江嘉兴·期中）设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． （1）因为数列满足，，，所以当时，， 当时，．由此猜想数列的通项公式为． （2）证明：用数学归纳法证明如下：①当时，，成立； ②假设当时，成立，即，则当时， ，成立， 由①②，得：． 1．数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 （ⅰ）当n＝ 时，命题成立； （ⅱ）在假设（其中）时命题成立的前提下， 能够推出n＝ 时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于的所有自然数都成立． 2．数学归纳法的证明形式 记是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1） 为真； （2）若 为真，则 也为真． 结论： 为真． 3．数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中， 第一步验证（或证明）了当 时结论成立，即命题 ； 第二步是证明一种 关系， 实际上是要证明一个新命题： ． 只要将这两步交替使用，就有 真， 真…… 真， 真⋯⋯从而完成证明． 1．用数学归纳法证明：． (1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当时等式成立，即， 则当时， 左边 右边． 所以，当时，等式成立； 由(1)(2)可知，对，． 2.若数列的前n项和为，计算， 由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明． (1)，，； (2)由(1)猜想 ，下面用数学归纳法加以证明． ①时，，成立； ②假设时，有成立， 则当时， ， 时，猜想也成立， 故由①，②可知，猜想对都成立． 2.若数列的前n项和为，计算， 由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明． 3.观察下列两个数列，，数列：1，4，9，16，25，36，49， 64，81，…；数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…． 猜想从第几项起小于，并证明你的结论． 根据题意可得：数列的通项公式为，数列的通项公式为， 由， 猜想从第项起， 即证当时，，下面用数学归纳法证明： ①当时，，，显然，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即， 当时，， 即，即当时，猜想成立， 由①②可知，当时，都有，即． 3.观察下列两个数列，，数列：1，4，9，16，25，36，49， 64，81，…；数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…． 猜想从第几项起小于，并证明你的结论． 4.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳 法证明你的结论． 由可得，得， ，． 推测． 下面用数学归纳法证明： ①当时，左边，右边，结论成立． ②假设时等式成立，有， 则当时，． 故当时，结论也成立．由①②可知，对任何都有． 4.猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳 法证明你的结论． 3.已知数列满足，．计算 ，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 由得， ,,同理可求,,,猜想． 证明：①当时，猜想成立． ②设当时，猜想成立，即， 则当时，有， 所以当时猜想也成立．综合①②，猜想对任何都成立． 3.已知数列满足，．计算 ，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 4.已知数列,…的前n项和为．计算 ．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 由题意，数列，，，…， 可得， 可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数 表示为，所以可猜想，数学归纳法证明如下： ①当时，左边，右边，猜想成立； ②假设时，猜想成立，即， 当时， ， 4.已知数列,…的前n项和为．计算 ．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 所以当时，猜想也成立， 由①②可知，对任意都有成立， 所以，． 4.已知数列,…的前n项和为．计算 ．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 5.用数学归纳法证明． (1)当时，左边，右边，等式成立， (2)假设当时，等式成立，即， 当时， ， 即当时等式也成立． 由(1)(2)可知：等式对任何都成立， 故． 5.用数学归纳法证明． 6.已知数列的通项公式分别为，其中， 试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论． 当时,,,所以;当时,,,所以; 当时,,,所以;当时,同理计算可知,均有; 当时,,,所以; 当时,,,所以; 由此猜想,从第17项起,,下面用数学归纳法证明这个猜想. ①当时，由前面的计算可知，猜想成立． ②假设当时猜想成立，即有． 则当时，因为 ． 所以， 6.已知数列的通项公式分别为，其中， 试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论． 即当时猜想也成立． 由①②可知，当时，都成立． 综上可知，对都成立． 6.已知数列的通项公式分别为，其中， 试推断对哪些正整数n成立，证明你的结论． 7.已知数列满足，，试用数学归 纳法证明，并比较与的大小关系． ①当时，，成立， ②假设当时成立，则， 那么时，若，则，与 矛盾，故， 由①②可知，对一切，都有成立． ，因此． 8．证明能被6整除． ①当时，，显然能够被6整除，命题成立； ②假设当时，命题成立，即能够被6整除， 当时，， 由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除， 故能够被6整除，即当时，命题成立， 由①②可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除． $