4.4数学归纳法（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过数列问题引入（计算a₂,a₃,a₄后猜想通项公式，引发证明需求），借助多米诺骨牌游戏类比，搭建从具体现象到抽象方法的学习支架，衔接数列知识与逻辑证明，引导学生理解证明与正整数有关命题的新方法。 其亮点在于以类比迁移构建认知路径，用骨牌原理抽象出“归纳奠基”“归纳递推”步骤，培养数学眼光中的抽象能力和数学思维中的推理意识。例题涵盖等差数列通项、平方和公式等，强化数学语言表达，助力学生形成严谨逻辑，也为教师提供高效备课资源。

4.4数学归纳法 第4章 数列 人教A版选择性必修第二册·高二 问题引入 探究1.已知数列{}满足， = 计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 分析：计算可得, ,再结合,由此猜想:如何证明这个猜想呢？ 我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 思考：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 新知探究 （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 提供了基础 递推关系： 第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下 思考：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 结论：这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1）(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 合作探究 这样，对于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；……，所以，对于任意正整数，猜想都成立，即数列的通项公式是 . 递推公式： 分析：由条件容易知道，时猜想成立.这就相当于游戏的条件(1). 类比条件(2)，可知考虑证明一个递推关系： 探究3.你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 由及递推关系 由及递推关系 递推关系： 命题：当时猜想成立，则时猜想也成立. 通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法. “骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析 骨牌原理 猜想的证明步骤 （1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明时，猜想正确 （2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当时猜想成立，则时猜想也成立”是真命题 根据(1)(2)，所有骨牌都能倒下 根据(1)(2)，这个猜想对一切正整数都成立 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: 归纳奠基→证明当取第一个值时命题成立 归纳递推→以当“时命题成立”为条件, 推出“当________时命题也成立” 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 思考：数学归纳法的第一步的初始值是否一定为1？ 记是一个关于正整数的命题. 我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真. 结论：为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真. 只要将这两步交替使用，就有为真，为真……真，真……. 从而完成证明. 不一定. 如证明变形的内角和为 ，第一个值 . 思考：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 典例分析 例1.用数学归纳法证明:如果{}是一个公差为的等差数列， 那么=①对任何都成立. 分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果时, ①式正确的，那么时①式也是正确的. 证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即 = 根据等差数列的定义，有 于是 即当时，①式也成立 由(1)(2)可知，①式对任何都成立. 例1.用数学归纳法证明:如果{}是一个公差为的等差数列， 那么=①对任何都成立. 合作探究 例2.用数学归纳法证明： ② 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当时，②式成立”为条件，得出“当时，②式也成立”的命题，证明必须用上上述条件. 证明：（1）当时，②式的左边=， 右边=， 所以②式成立. 假设当时，②式成立，即 ， 在上式两边同时加上，有 例2.用数学归纳法证明： ② 即当时，②式也成立.由(1)(2)可知，②式对任何都成立. 合作探究 例3.已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 分析：先将数列的递推关系化为，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想. 由,可得 . 由 可得 同理可得 归纳上述结果，猜想 ③ 例3.已知数列满足 ，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当时，③式的左边=右边=，猜想成立. (2)假设当时， ③式成立，即 那么即当时，猜想也成立. 由可知，猜想对任何都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清取第一个值时等式两端项的情况; (2)弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 课堂练习 练习1.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　) A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1) C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4) 解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1), 所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即：1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C. 答案:C A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析:当时,左边=,故正确. 答案: 练习3.①欲证不等式成立，只需证 ②用数学归纳法证明,在验证n=1时，左边所得项为 ③“凡是自然数都是整数，0是自然数，所以0是整数” 以上三段论推理完全正确的个数是（ ） C 解：① 因为故推理不正确； ② 验证时，左边所得项为，故推理正确； ③ 命题中大前提是：凡是自然数都是整数，小前提是：0是自然数，结论为：0是整数，其中大前提，小前提，结论都正确，故推理正确。 这节课学习了哪些知识？ 数学归纳法 证明与正整数有关的数学命题 课堂小结 感谢聆听! 练习2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证成立时,左边计算所得的项是(　　) $